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11.如图，分别过$△ ABC$的顶点$A$，$B$作$AD // BE$.若$∠ CAD = 25°$，$∠ EBC = 80°$，则$∠ C$的度数为（
A.$65°$
B.$75°$
C.$85°$
D.$95°$
B
）A.$65°$
B.$75°$
C.$85°$
D.$95°$
答案
11.B
解析
【分析】
解题时先从已知条件AD//BE入手，根据平行线的性质可得到同位角∠ADC与∠EBC相等，先求出∠ADC的度数；再将所求的∠C放在△ADC中，利用三角形内角和为180°的性质，代入已知的∠CAD和求出的∠ADC的度数，即可计算出∠C的大小。
【解析】
∵ AD//BE，根据两直线平行，同位角相等，
∴ ∠ADC = ∠EBC = 80°，
在△ADC中，由三角形内角和定理得：
∠CAD + ∠ADC + ∠C = 180°，
已知∠CAD=25°，代入得：
∠C = 180° - ∠CAD - ∠ADC = 180° - 25° - 80° = 75°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的角度计算综合题，核心是通过平行线的性质建立已知角和未知角所在三角形的内角的联系，再结合三角形内角和定理求解，是几何角度计算类的常见考查题型。
【难度系数】
0.75
解题时先从已知条件AD//BE入手，根据平行线的性质可得到同位角∠ADC与∠EBC相等，先求出∠ADC的度数；再将所求的∠C放在△ADC中，利用三角形内角和为180°的性质，代入已知的∠CAD和求出的∠ADC的度数，即可计算出∠C的大小。
【解析】
∵ AD//BE，根据两直线平行，同位角相等，
∴ ∠ADC = ∠EBC = 80°，
在△ADC中，由三角形内角和定理得：
∠CAD + ∠ADC + ∠C = 180°，
已知∠CAD=25°，代入得：
∠C = 180° - ∠CAD - ∠ADC = 180° - 25° - 80° = 75°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础的角度计算综合题，核心是通过平行线的性质建立已知角和未知角所在三角形的内角的联系，再结合三角形内角和定理求解，是几何角度计算类的常见考查题型。
【难度系数】
0.75
12.(教材P68练习T4变式)一个三角形的三个内角中,至少有 （
A.一个锐角
B.两个锐角
C.一个钝角
D.一个直角
B
）A.一个锐角
B.两个锐角
C.一个钝角
D.一个直角
答案
12.B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形内角和为180°的核心定理，可采用排除法或反证法逐一验证选项：先判断错误选项的矛盾点，比如假设只有1个锐角、或者必须有钝角/直角时，是否符合内角和要求，最终筛选出正确答案。
【解析】
已知三角形的内角和为180°，逐一分析选项：
1. 分析选项A：若三角形只有1个锐角，则剩下2个内角均≥90°，两个角的和就≥180°，加上锐角后总内角和会超过180°，不符合内角和定理，A错误；
2. 分析选项B：若三角形锐角数量少于2个，即0或1个锐角，都会出现内角和超过180°的矛盾，因此任意三角形至少有2个锐角，B正确；
3. 分析选项C：锐角三角形的三个内角都是锐角，没有钝角，因此“至少有一个钝角”不成立，C错误；
4. 分析选项D：锐角三角形、钝角三角形都不存在直角，因此“至少有一个直角”不成立，D错误。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题是三角形角的关系的基础考题，主要考查对内角和定理的理解，解题时结合排除法可快速得出结论，需牢记任意三角形都至少存在2个锐角的结论。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形内角和为180°的核心定理，可采用排除法或反证法逐一验证选项：先判断错误选项的矛盾点，比如假设只有1个锐角、或者必须有钝角/直角时，是否符合内角和要求，最终筛选出正确答案。
【解析】
已知三角形的内角和为180°，逐一分析选项：
1. 分析选项A：若三角形只有1个锐角，则剩下2个内角均≥90°，两个角的和就≥180°，加上锐角后总内角和会超过180°，不符合内角和定理，A错误；
2. 分析选项B：若三角形锐角数量少于2个，即0或1个锐角，都会出现内角和超过180°的矛盾，因此任意三角形至少有2个锐角，B正确；
3. 分析选项C：锐角三角形的三个内角都是锐角，没有钝角，因此“至少有一个钝角”不成立，C错误；
4. 分析选项D：锐角三角形、钝角三角形都不存在直角，因此“至少有一个直角”不成立，D错误。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题是三角形角的关系的基础考题，主要考查对内角和定理的理解，解题时结合排除法可快速得出结论，需牢记任意三角形都至少存在2个锐角的结论。
【难度系数】
0.9
13.如图，在△ABC中，若DE//BC，FG//AC，∠BDE=120°，∠DFG=115°，则∠C的度数为
55°
。答案
13.55°
解析
【分析】
要计算∠C的度数，我们可以按以下思路推导：首先利用平行线的性质求出△ABC中∠B的度数，再结合邻补角的性质和平行线的性质求出∠A的度数，最后根据三角形内角和为180°，即可算出∠C的度数。
【解析】
解：
1. 求∠B的度数：
∵ DE//BC，∠BDE=120°
∴ ∠B + ∠BDE = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴ ∠B = 180° - 120° = 60°
2. 求∠A的度数：
∵ ∠DFG=115°，∠DFG与∠BFG为邻补角
∴ ∠BFG = 180° - 115° = 65°
又
∵ FG//AC
∴ ∠A = ∠BFG（两直线平行，同位角相等）
∴ ∠A = 65°
3. 求∠C的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 65° - 60° = 55°
【答案】
55°
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是准确识别平行线被截线形成的角的位置关系，结合邻补角、三角形内角和的性质即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.75
要计算∠C的度数，我们可以按以下思路推导：首先利用平行线的性质求出△ABC中∠B的度数，再结合邻补角的性质和平行线的性质求出∠A的度数，最后根据三角形内角和为180°，即可算出∠C的度数。
【解析】
解：
1. 求∠B的度数：
∵ DE//BC，∠BDE=120°
∴ ∠B + ∠BDE = 180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴ ∠B = 180° - 120° = 60°
2. 求∠A的度数：
∵ ∠DFG=115°，∠DFG与∠BFG为邻补角
∴ ∠BFG = 180° - 115° = 65°
又
∵ FG//AC
∴ ∠A = ∠BFG（两直线平行，同位角相等）
∴ ∠A = 65°
3. 求∠C的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 65° - 60° = 55°
【答案】
55°
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是准确识别平行线被截线形成的角的位置关系，结合邻补角、三角形内角和的性质即可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.75
14.整体思想 新理念 如图，点D在$△ ABC$内，且$∠ BDC=120°$，$∠ 1+∠ 2=55°$，则$∠ A$的度数为
65°
。答案
14.65°
解析
【分析】
要求∠A的度数，根据三角形内角和定理，只需先求出△ABC中∠ABC+∠ACB的度数即可。观察图形可知∠ABC=∠1+∠DBC，∠ACB=∠2+∠DCB，已知∠1+∠2=55°，因此只需先求出△BDC中∠DBC+∠DCB的度数，再整体代入计算∠ABC+∠ACB的和，最后用三角形内角和减去这个和就能得到∠A的度数。
【解析】
解：在△BDC中，三角形内角和为180°，已知∠BDC=120°，
则∠DBC + ∠DCB = 180° - ∠BDC = 180° - 120° = 60°。
由图可知：∠ABC = ∠1 + ∠DBC，∠ACB = ∠2 + ∠DCB，
因此∠ABC + ∠ACB = (∠1 + ∠2) + (∠DBC + ∠DCB)，
代入∠1+∠2=55°，可得∠ABC + ∠ACB = 55° + 60° = 115°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
则∠A = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - 115° = 65°。
【答案】
65°
【知识点】
三角形内角和定理，整体思想，角度和差计算
【点评】
本题属于三角形角度计算的常规题型，解题时利用整体思想计算角度和，无需单独求解每个小角的度数，可有效简化运算过程。
【难度系数】
0.7
要求∠A的度数，根据三角形内角和定理，只需先求出△ABC中∠ABC+∠ACB的度数即可。观察图形可知∠ABC=∠1+∠DBC，∠ACB=∠2+∠DCB，已知∠1+∠2=55°，因此只需先求出△BDC中∠DBC+∠DCB的度数，再整体代入计算∠ABC+∠ACB的和，最后用三角形内角和减去这个和就能得到∠A的度数。
【解析】
解：在△BDC中，三角形内角和为180°，已知∠BDC=120°，
则∠DBC + ∠DCB = 180° - ∠BDC = 180° - 120° = 60°。
由图可知：∠ABC = ∠1 + ∠DBC，∠ACB = ∠2 + ∠DCB，
因此∠ABC + ∠ACB = (∠1 + ∠2) + (∠DBC + ∠DCB)，
代入∠1+∠2=55°，可得∠ABC + ∠ACB = 55° + 60° = 115°。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
则∠A = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - 115° = 65°。
【答案】
65°
【知识点】
三角形内角和定理，整体思想，角度和差计算
【点评】
本题属于三角形角度计算的常规题型，解题时利用整体思想计算角度和，无需单独求解每个小角的度数，可有效简化运算过程。
【难度系数】
0.7
15.(教材P67例2变式)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=∠ ABC=2∠ A$,D是AC上一点,且$∠ BDC=90°$,求$∠ DBC$的度数.
答案
15.解:因为$∠C+∠ABC+∠A=180°,∠C=∠ABC=2∠A$,所以$5∠A=180°$.所以$∠A=36°$.所以$∠C=2∠A=72°$.因为$∠BDC=90°$,所以$∠DBC=180°-∠BDC-∠C=18°$.
解析
【分析】
首先根据题目给出的△ABC三个内角的数量关系，想到利用三角形内角和为180°的定理，将三个角都用∠A表示，先求出∠A的度数，进而得到∠C的度数；再在Rt△BDC中，结合已知的∠BDC=90°，再次利用三角形内角和定理即可求出∠DBC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，由三角形内角和定理可得∠C+∠ABC+∠A=180°，
∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴2∠A+2∠A+∠A=180°，即5∠A=180°，
∴∠A=36°，
∴∠C=2∠A=72°。
在△BDC中，∠BDC=90°，
∴∠DBC=180°-∠BDC-∠C=180°-90°-72°=18°。
【答案】
18°
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形角度计算
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，重点考察三角形内角和定理的应用，解题核心是通过角的倍数关系先求出∠C的度数，再结合直角条件求解未知角，掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
首先根据题目给出的△ABC三个内角的数量关系，想到利用三角形内角和为180°的定理，将三个角都用∠A表示，先求出∠A的度数，进而得到∠C的度数；再在Rt△BDC中，结合已知的∠BDC=90°，再次利用三角形内角和定理即可求出∠DBC的度数。
【解析】
解：在△ABC中，由三角形内角和定理可得∠C+∠ABC+∠A=180°，
∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴2∠A+2∠A+∠A=180°，即5∠A=180°，
∴∠A=36°，
∴∠C=2∠A=72°。
在△BDC中，∠BDC=90°，
∴∠DBC=180°-∠BDC-∠C=180°-90°-72°=18°。
【答案】
18°
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形角度计算
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，重点考察三角形内角和定理的应用，解题核心是通过角的倍数关系先求出∠C的度数，再结合直角条件求解未知角，掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
16. 如图，若$∠ 1 = ∠ A$，$∠ 2 = ∠ B$，请判断$△ ABC$的形状，并说明理由。
答案
16. 解:$△ABC$是直角三角形.理由如下:因为$∠1=∠A,∠2=∠B$,所以$∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠1+∠2=2(∠1+∠2)=180°$.所以$∠1+∠2=90°$,即$∠ACB=90°$.所以$△ABC$是直角三角形.
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，需先确定其内角的特征。已知∠1=∠A、∠2=∠B，且∠ACB=∠1+∠2，我们可以借助三角形内角和为180°的性质，将△ABC的三个内角全部用∠1、∠2代换，通过计算得出∠ACB的度数，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵ ∠1=∠A，∠2=∠B，∠ACB=∠1+∠2
∴ ∠A+∠B+∠ACB = ∠1 + ∠2 + ∠1 + ∠2 = 2(∠1+∠2)
根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°，因此：
2(∠1+∠2)=180°
解得∠1+∠2=90°，即∠ACB=90°
∴ △ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定；等量代换
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题的关键是利用已知的角相等关系进行等量代换，结合三角形内角和定理求出特殊角的度数，进而判断三角形形状，这类题型是三角形章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
要判断△ABC的形状，需先确定其内角的特征。已知∠1=∠A、∠2=∠B，且∠ACB=∠1+∠2，我们可以借助三角形内角和为180°的性质，将△ABC的三个内角全部用∠1、∠2代换，通过计算得出∠ACB的度数，即可判断三角形的形状。
【解析】
解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵ ∠1=∠A，∠2=∠B，∠ACB=∠1+∠2
∴ ∠A+∠B+∠ACB = ∠1 + ∠2 + ∠1 + ∠2 = 2(∠1+∠2)
根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°，因此：
2(∠1+∠2)=180°
解得∠1+∠2=90°，即∠ACB=90°
∴ △ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定；等量代换
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，解题的关键是利用已知的角相等关系进行等量代换，结合三角形内角和定理求出特殊角的度数，进而判断三角形形状，这类题型是三角形章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
17. 阅读理解 新趋势 在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”.例如，三个内角分别为$120°,40°,20°$的三角形是“三倍角三角形”.
(1)在$△ ABC$中，若$∠ A=35°,∠ B=40°$，则$△ ABC$是“三倍角三角形”吗？为什么？
(2)若$△ ABC$是“三倍角三角形”，且$∠ B=30°$，求$△ ABC$中最小内角的度数.
(1)在$△ ABC$中，若$∠ A=35°,∠ B=40°$，则$△ ABC$是“三倍角三角形”吗？为什么？
(2)若$△ ABC$是“三倍角三角形”，且$∠ B=30°$，求$△ ABC$中最小内角的度数.
答案
17.解:(1)$△ABC$是“三倍角三角形”.理由如下:因为$∠A=35°,∠B=40°$,所以$∠C=180°-∠A-∠B=105°$.所以$∠C=3∠A$.所以$△ABC$是“三倍角三角形”.(2)设$△ABC$中最小内角的度数为$x$.因为$△ABC$是“三倍角三角形”,所以有一个内角的度数为$3x$.分三种情况讨论:①当$3x=30°$时,$x=10°$,另一个角为$140°$,符合题意;②当$x=30°$时,$3x=90°$,另一个角为$60°$,符合题意;③当$x+3x=180°-30°=150°$时,$x=37.5°$,$30＜37.5$,不符合题意,舍去.综上所述,$△ABC$中最小内角的度数为$10°$或$30°$.
解析
【分析】
（1）要判断三角形是否为“三倍角三角形”，核心是验证三个内角中是否存在一个内角是另一个内角的3倍。首先利用三角形内角和为180°求出第三个角的度数，再比对三个角的数量关系即可得出结论。
（2）已知三角形是三倍角三角形且∠B=30°，求最小内角时需要分情况讨论：先设最小角为x，则三倍角为3x，分三种情况分析：①30°为三倍角；②30°为最小角；③30°既不是最小角也不是三倍角。求出x后要验证是否符合“x是最小角”的设定，不符合的结果要舍去，最后综合所有符合条件的结果即可。
【解析】
(1) △ABC是“三倍角三角形”，理由如下：
已知∠A=35°，∠B=40°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 35° - 40° = 105°$
因为$105° = 3×35°$，即$∠ C=3∠ A$，符合“三倍角三角形”的定义，所以△ABC是“三倍角三角形”。
(2) 设△ABC中最小内角的度数为x，根据“三倍角三角形”的定义，可知三个内角中必有一个角为$3x$。
已知$∠ B=30°$，分三种情况讨论：
① 当$3x=30°$时，解得$x=10°$，此时第三个内角为$180° - 30° - 10° = 140°$，10°是最小角，符合题意；
② 当$x=30°$时，三倍角为$3x=90°$，此时第三个内角为$180° - 30° - 90° = 60°$，30°是最小角，符合题意；
③ 当x和3x都不是30°时，可得$x+3x=180° - 30° = 150°$，解得$x=37.5°$，此时$37.5°＞30°$，说明30°才是最小角，与假设x是最小角矛盾，舍去该情况。
综上，△ABC中最小内角的度数为10°或30°。
【答案】
(1) $△ ABC$是“三倍角三角形”，理由见解析；
(2) $10°$或$30°$
【知识点】
三角形内角和定理，新定义理解，分类讨论
【点评】
本题结合新定义考查三角形内角和的应用，解题关键是准确理解新定义的内涵，第二问要做到分类不重不漏，同时需要对结果进行验证，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
（1）要判断三角形是否为“三倍角三角形”，核心是验证三个内角中是否存在一个内角是另一个内角的3倍。首先利用三角形内角和为180°求出第三个角的度数，再比对三个角的数量关系即可得出结论。
（2）已知三角形是三倍角三角形且∠B=30°，求最小内角时需要分情况讨论：先设最小角为x，则三倍角为3x，分三种情况分析：①30°为三倍角；②30°为最小角；③30°既不是最小角也不是三倍角。求出x后要验证是否符合“x是最小角”的设定，不符合的结果要舍去，最后综合所有符合条件的结果即可。
【解析】
(1) △ABC是“三倍角三角形”，理由如下：
已知∠A=35°，∠B=40°，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 35° - 40° = 105°$
因为$105° = 3×35°$，即$∠ C=3∠ A$，符合“三倍角三角形”的定义，所以△ABC是“三倍角三角形”。
(2) 设△ABC中最小内角的度数为x，根据“三倍角三角形”的定义，可知三个内角中必有一个角为$3x$。
已知$∠ B=30°$，分三种情况讨论：
① 当$3x=30°$时，解得$x=10°$，此时第三个内角为$180° - 30° - 10° = 140°$，10°是最小角，符合题意；
② 当$x=30°$时，三倍角为$3x=90°$，此时第三个内角为$180° - 30° - 90° = 60°$，30°是最小角，符合题意；
③ 当x和3x都不是30°时，可得$x+3x=180° - 30° = 150°$，解得$x=37.5°$，此时$37.5°＞30°$，说明30°才是最小角，与假设x是最小角矛盾，舍去该情况。
综上，△ABC中最小内角的度数为10°或30°。
【答案】
(1) $△ ABC$是“三倍角三角形”，理由见解析；
(2) $10°$或$30°$
【知识点】
三角形内角和定理，新定义理解，分类讨论
【点评】
本题结合新定义考查三角形内角和的应用，解题关键是准确理解新定义的内涵，第二问要做到分类不重不漏，同时需要对结果进行验证，避免出现不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
