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12. 项目学习 新趋势 为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，避免造成水资源浪费，课外实践活动中，王老师安排数学兴趣小组“慎思组”和“博学组”两组同学分别做水龙头漏水试验.“慎思组”同学用于接水的量筒最大容量为 200 mL，“博学组”同学用于接水的量筒最大容量为 100 mL.
试验一：“慎思组”同学在做水龙头漏水试验时，每隔 10 s观察一次量筒中水的体积，记录的数据如下表.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请在图①的平面直角坐标系中描出上表中数据对应的点，画出 y 与 x 的图象，并判断 y 是 x 的什么函数，且求出此函数的表达式.
(2)若继续试验，求至少几秒后量筒中的水会溢出.
(3)按此漏水速度，1 h 会漏水
试验二：“博学组”同学根据自己的试验数据画出的图象如图②所示，为什么图象中会出现与横轴“平行”的部分？请说出你的理由.
试验一：“慎思组”同学在做水龙头漏水试验时，每隔 10 s观察一次量筒中水的体积，记录的数据如下表.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请在图①的平面直角坐标系中描出上表中数据对应的点，画出 y 与 x 的图象，并判断 y 是 x 的什么函数，且求出此函数的表达式.
(2)若继续试验，求至少几秒后量筒中的水会溢出.
(3)按此漏水速度，1 h 会漏水
1.1
L.（精确到 0.1 L）试验二：“博学组”同学根据自己的试验数据画出的图象如图②所示，为什么图象中会出现与横轴“平行”的部分？请说出你的理由.
答案
解:试验一:(1)图象如图①所示.
y是x的一次函数.设y关于x的函数表达式为$y=kx+b$.把(10,2),(20,5)代入,得$\begin{cases} 10k+b=2,\\20k+b=5,\end{cases}$解得$\begin{cases} k=\dfrac{3}{10},\\b=-1.\end{cases}$所以y关于x的函数表达式为$y=\dfrac{3}{10}x-1$.(2)由题意,得$\dfrac{3}{10}x-1≥200$,解得$x≥670$.所以至少670 s后,量筒中的水会溢出.(3)1.1 试验二:由图知“博学组”接水的量筒40 s后装满会溢出,量筒内的水位不再发生变化,所以图象中会出现与横轴“平行”的部分.解析
【分析】
首先解决试验一的问题：
(1) 先根据给出的坐标点在坐标系中描点连线，观察图象是直线，因此判断y是x的一次函数；求一次函数解析式使用待定系数法，选取两组对应的x、y值代入$y=kx+b$，解二元一次方程组即可得到k、b的值，从而得到函数表达式。
(2) 量筒水溢出意味着水的体积不小于量筒的最大容量200mL，因此列不等式$\frac{3}{10}x -1 ≥200$，解不等式得到x的最小值即为所求时间。
(3) 先把1小时换算为3600秒，代入函数表达式求出漏水体积，再将单位从mL换算为L，按要求保留一位小数即可。
再解决试验二的问题：图象平行于横轴说明y值不随x的增大而变化，结合量筒有最大容量的特点，可知是量筒装满后水溢出，内部水的体积不再增加，因此出现水平段。
【解析】
试验一
(1) 描点、连线画出图象如图①所示，观察图象可知y是x的一次函数。
设y关于x的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，选取两组数据$(10,2)$、$(20,5)$代入得：
$\begin{cases} 10k+b=2 \\20k+b=5 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$10k=3$，解得$k=\frac{3}{10}$，
将$k=\frac{3}{10}$代入$10k+b=2$，得$3+b=2$，解得$b=-1$，
因此函数表达式为$y=\frac{3}{10}x-1$。
(2) 量筒最大容量为200mL，水溢出时满足$y≥200$，代入解析式得：
$\frac{3}{10}x-1≥200$
移项得$\frac{3}{10}x≥201$，解得$x≥670$。
(3) $1\ \mathrm{h}=3600\ \mathrm{s}$，将$x=3600$代入解析式得：
$y=\frac{3}{10}×3600 -1=1079\ \mathrm{mL}$
换算单位得$1079\ \mathrm{mL}=1.079\ \mathrm{L}\approx1.1\ \mathrm{L}$。
试验二
“博学组”使用的量筒最大容量为100mL，当接水时间达到40s时，量筒已经被装满，后续漏水会溢出，量筒内水的体积不会再随时间增加而变大，因此图象会出现与横轴平行的部分。
【答案】
试验一:(1)图象如图①所示. y是x的一次函数，函数表达式为$y=\dfrac{3}{10}x-1$.(2)至少670 s后量筒中的水会溢出.(3)1.1 试验二:“博学组”接水的量筒40 s后装满会溢出，量筒内的水位不再发生变化，所以图象中会出现与横轴“平行”的部分。
【知识点】
一次函数的应用、待定系数法求解析式、一元一次不等式的应用
【点评】
本题以节约用水的生活场景为背景，结合函数图象考查一次函数的相关知识，既需要掌握待定系数法求函数解析式、解一元一次不等式等基础技能，也需要结合实际场景理解函数图象的几何意义，同时渗透了节约水资源的生活理念。
【难度系数】
0.7
首先解决试验一的问题：
(1) 先根据给出的坐标点在坐标系中描点连线，观察图象是直线，因此判断y是x的一次函数；求一次函数解析式使用待定系数法，选取两组对应的x、y值代入$y=kx+b$，解二元一次方程组即可得到k、b的值，从而得到函数表达式。
(2) 量筒水溢出意味着水的体积不小于量筒的最大容量200mL，因此列不等式$\frac{3}{10}x -1 ≥200$，解不等式得到x的最小值即为所求时间。
(3) 先把1小时换算为3600秒，代入函数表达式求出漏水体积，再将单位从mL换算为L，按要求保留一位小数即可。
再解决试验二的问题：图象平行于横轴说明y值不随x的增大而变化，结合量筒有最大容量的特点，可知是量筒装满后水溢出，内部水的体积不再增加，因此出现水平段。
【解析】
试验一
(1) 描点、连线画出图象如图①所示
，观察图象可知y是x的一次函数。设y关于x的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$，选取两组数据$(10,2)$、$(20,5)$代入得：
$\begin{cases} 10k+b=2 \\20k+b=5 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$10k=3$，解得$k=\frac{3}{10}$，
将$k=\frac{3}{10}$代入$10k+b=2$，得$3+b=2$，解得$b=-1$，
因此函数表达式为$y=\frac{3}{10}x-1$。
(2) 量筒最大容量为200mL，水溢出时满足$y≥200$，代入解析式得：
$\frac{3}{10}x-1≥200$
移项得$\frac{3}{10}x≥201$，解得$x≥670$。
(3) $1\ \mathrm{h}=3600\ \mathrm{s}$，将$x=3600$代入解析式得：
$y=\frac{3}{10}×3600 -1=1079\ \mathrm{mL}$
换算单位得$1079\ \mathrm{mL}=1.079\ \mathrm{L}\approx1.1\ \mathrm{L}$。
试验二
“博学组”使用的量筒最大容量为100mL，当接水时间达到40s时，量筒已经被装满，后续漏水会溢出，量筒内水的体积不会再随时间增加而变大，因此图象会出现与横轴平行的部分。
【答案】
试验一:(1)图象如图①所示.
y是x的一次函数，函数表达式为$y=\dfrac{3}{10}x-1$.(2)至少670 s后量筒中的水会溢出.(3)1.1 试验二:“博学组”接水的量筒40 s后装满会溢出，量筒内的水位不再发生变化，所以图象中会出现与横轴“平行”的部分。【知识点】
一次函数的应用、待定系数法求解析式、一元一次不等式的应用
【点评】
本题以节约用水的生活场景为背景，结合函数图象考查一次函数的相关知识，既需要掌握待定系数法求函数解析式、解一元一次不等式等基础技能，也需要结合实际场景理解函数图象的几何意义，同时渗透了节约水资源的生活理念。
【难度系数】
0.7
