1.已知二次函数$y=x^2 -2x -3$的图象与$x$轴交于$A,B$两点，在$x$轴上方的抛物线上有一点$C$，且$△ ABC$的面积等于24，则点$C$的坐标为（）

A.$(5,12)$
B.$(-3,12)$
C.$(5,12)$或$(-3,12)$
D.$(3,12)$

1.C

2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数$y=x^2+mx+2$的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其顶点为D，若$△ ABC$与$△ ABD$的面积比为$3:5$，则m的值为。

2.$-\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$

3.如图,在$\mathrm{Rt}△ ACB$中,$∠ ACB=90°$,$AC=BC=\sqrt{2}$,$D$是$AB$上的一个动点,连接$CD$,将$△ BCD$绕点$C$顺时针旋转$90°$得到$△ ACE$,连接$DE$,则$△ ADE$面积的最大值等于$\underline{\hspace{5em}}$。

3.$\dfrac{1}{2}$

4.(2025·淮安期末)如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C的坐标为$(4,3)$,D是抛物线$y=-x^2+6x$上一点,且在x轴上方,则$△ BCD$面积的最大值为.

4.15

5.(2025·滨州期末)如图,抛物线$y=-\frac{1}{3}x^2+bx+c$交x轴于A(-3,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,P是抛物线上一点,连接AC,BC.
(1)求b,c的值.
(2)若点P在第一象限内,过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点D,求线段PD的最大值.
(3)连接OP,BP,若$S_{△ BOP}=2S_{△ AOC}$,请判断是否存在符合要求的点,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

5.解:(1)由题意,得$\begin{cases}-3-3b+c=0,\\-\dfrac{16}{3}+4b+c=0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}b=\dfrac{1}{3},\\c=4,\end{cases}$$\therefore b=\dfrac{1}{3},c=4.$
(2)由(1)得抛物线的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{3}x+4$,$\therefore C(0,4).$
设直线$BC$的函数解析式为$y=kx+n$,
将$B(4,0),C(0,4)$分别代入,得
$\begin{cases}4k+n=0,\\n=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\n=4,\end{cases}$
故直线$BC$的函数解析式为$y=-x+4.$
设$P(a,-\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{3}a+4)$,则$D(a,-a+4)$,
$\therefore PD=-\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{3}a+4-(-a+4)=-\dfrac{1}{3}(a-2)^2+\dfrac{4}{3}.$
$\because -\dfrac{1}{3}＜0$,$\therefore$当$a=2$时,线段$PD$有最大值,最大值为$\dfrac{4}{3}.$
(3)$\because A(-3,0),B(4,0),C(0,4)$,
$\therefore OA=3,OB=4,OC=4$,
$\therefore S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}OA· OC=\dfrac{1}{2}×3×4=6.$
①如答图①,当点$P$在$x$轴上方时,
设$P(m,-\dfrac{1}{3}m^2+\dfrac{1}{3}m+4)$,
$\therefore S_{△ BOP}=\dfrac{1}{2}OB· y_P=\dfrac{1}{2}×4(-\dfrac{1}{3}m^2+\dfrac{1}{3}m+4)=-\dfrac{2}{3}m^2+\dfrac{2}{3}m+8.$
$\because S_{△ BOP}=2S_{△ AOC}$,$\therefore -\dfrac{2}{3}m^2+\dfrac{2}{3}m+8=12,$
整理,得$m^2-m+6=0$,
$\therefore \Delta=(-1)^2-4×1×6=-23＜0$,
$\therefore$此方程无实数根,
$\therefore$在$x$轴上方不存在点$P$满足题意.
②如答图②,当点$P$在$x$轴下方时,
由①得$S_{△ BOP}=\dfrac{1}{2}OB· (-y_P)=\dfrac{1}{2}×4(\dfrac{1}{3}m^2-\dfrac{1}{3}m-4)=\dfrac{2}{3}m^2-\dfrac{2}{3}m-8.$
$\because S_{△ BOP}=2S_{△ AOC}$,$\therefore \dfrac{2}{3}m^2-\dfrac{2}{3}m-8=12$,
解得$m_1=6,m_2=-5$,
当$m=6$时,$y=-\dfrac{1}{3}m^2+\dfrac{1}{3}m+4=-6$;
当$m=-5$时,$y=-\dfrac{1}{3}m^2+\dfrac{1}{3}m+4=-6$.
$\therefore$点$P$的坐标为$(6,-6)$或$(-5,-6).$