6.如图，二次函数$y=\frac{1}{2}x^2+bx+c$的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为$(-1,0)$，点C的坐标为$(0,-3)$，连接BC.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当$△ BCP$的面积最大时，BC边上的高PN的值为.

6.(1)解:把$(-1,0)$和$(0,-3)$代入$y=\dfrac{1}{2}x^2+bx+c$,得
$\begin{cases}\dfrac{1}{2}-b+c=0,\\c=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-\dfrac{5}{2},\\c=-3,\end{cases}$
$\therefore$二次函数的解析式为$y=\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{5}{2}x-3.$
(2)$\dfrac{9\sqrt{5}}{5}$

7.(2025·句容期末)如图,抛物线$y=-x^2+2x+3$的顶点为P,与x轴交于点B,A,与y轴交于点C.
(1)点A的坐标为,点B的坐标为.
(2)求$△ PAC$的面积.
(3)D是直线AC上方抛物线上的点(不与点P重合),是否存在点D,使得$△ DAC$和$△ PAC$面积相等?若存在,直接写出点D的坐标;若不存在,请说明理由.

备用图

7.(1)$(3,0)$ $(-1,0)$
(2)解:$y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,
$\therefore P(1,4)$,令$x=0$,则$y=3$,$\therefore C(0,3).$
设直线$AC$的函数解析式为$y=kx+3(k≠0)$,
把$A(3,0)$代入,得$3k+3=0$,解得$k=-1$,
$\therefore$直线$AC$的函数解析式为$y=-x+3.$
如答图①,过点$P$作$PE⊥ x$轴于点$E$,交$AC$于点$F$,
把$x=1$代入$y=-x+3$,得$y=-1+3=2$,$\therefore F(1,2)$,
$\therefore PF=4-2=2$,$OE=1$,$AE=3-1=2$,
$\therefore S_{△ PAC}=S_{△ PCF}+S_{△ PAF}=\dfrac{1}{2}PF· OE+\dfrac{1}{2}PF· AE=\dfrac{1}{2}PF· (OE+AE)=\dfrac{1}{2}×2×3=3$,
即$△ PAC$的面积为3.

(3)如答图②,过点$D$作$DG⊥ x$轴于点$G$,交$AC$于点$H$,
设$D(d,-d^2+2d+3)(0＜d＜3,d≠1)$,
则$H(d,-d+3)$,
$\therefore DH=-d^2+2d+3-(-d+3)=-d^2+3d.$
$S_{△ PAC}=S_{△ DAC}=\dfrac{1}{2}DH× (OG+AG)=\dfrac{1}{2}DH×3=3$,
$\therefore DH=2$,$\therefore -d^2+3d=2$,
解得$d_1=1$(不符合题意,舍去),$d_2=2$,
当$d=2$时,$-d^2+2d+3=-2^2+2×2+3=3$,
$\therefore D(2,3)$,
$\therefore$存在点$D$,使得$△ DAC$和$△ PAC$面积相等,坐标为$D(2,3).$

8.(2025·杨浦区二模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2-2ax-3a(a＞0)$与x轴交于点A和点B(点A在点B左侧),与y轴交于点C,顶点为D,过点C作$CE// x$轴交抛物线于点E.
(1)直接写出抛物线的对称轴及点A,B的坐标.
(2)连接AE,如果AE平分$∠ BAC$,求a的值.
(3)P是抛物线上一点,线段PD,AE交于点F,如果$S_{△ AFD}=S_{△ PFE}$,那么直线PD是否一定会经过一个定点?如果会,求出这个定点的坐标;如果不会,请说明理由.

8.解:(1)令$y=ax^2-2ax-3a=0$,则$x=-1$或$x=3$,
$\therefore$点$A$,$B$的坐标分别为$(-1,0)$,$(3,0)$,
$\therefore$抛物线的对称轴为直线$x=1.$
(2)$\because CE// x$,$\therefore ∠ AEC=∠ EAB.$
$\because AE$平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ CAE=∠ BAE$,
$\therefore ∠ CAE=∠ AEC$,$\therefore AC=CE.$
在$y=ax^2-2ax-3a$中,令$x=0$,则$y=-3a$,
$\therefore C(0,-3a)$,$E(2,-3a)$,$\therefore AC=CE=2.$
$\because A(-1,0)$,$\therefore AC^2=1+9a^2=4$,
解得$a=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$(负值已舍去).
(3)过定点.理由:连接$AP$,$DE$,如答图.
$\because S_{△ AFD}=S_{△ PFE}$,$\therefore S_{△ APD}=S_{△ APE}$,$\therefore DE// AP.$
由点$D(1,-4a)$,$E(2,-3a)$,得
直线$DE$的函数解析式为$y=a(x-1)-4a$,
$\therefore$直线$AP$的函数解析式为$y=a(x+1)$,
联立上式和抛物线的函数解析式得$ax^2-2ax-3a=a(x+1)$,
解得$x_1=-1$(舍去),$x_2=4$,$\therefore P(4,5a).$
由$P(4,5a)$,$D(1,-4a)$,得
直线$PD$的函数解析式为$y=3a(x-1)-4a=a(3x-7)$,
当$x=\dfrac{7}{3}$时,$y=0$,即直线$PD$过定点$(\dfrac{7}{3},0).$