6.(2025·南充)已知某函数图象关于y轴对称,当$0≤x≤2$时,$y=x^2 - 2x$;当$x＞2$时,$y=2x - 4$.若直线$y=x + b$与这个函数图象有且仅有四个不同交点,则实数$b$的范围是 ()

A.$-\frac{1}{4} ＜ b ＜ 0$
B.$-\frac{9}{4} ＜ b ＜ -\frac{1}{4}$
C.$-\frac{1}{4} ≤ b ≤ 0$
D.$b ≤ -\frac{1}{4}$或$b ＞ 0$

6.A

7.(2025·武汉模拟)已知二次函数$y=ax^2+bx+c$的$y$与$x$的部分对应值如下表：

下列结论：①$abc＞0$；②若点$(m,y_1),(-m-2,y_2)$均在二次函数的图象上，则$y_1=y_2$；③当$-4＜x＜1$时，$y$的取值范围为$0＜y＜5$；④满足$ax^2+(b+1)x+c＜2$的$x$的取值范围是$-3＜x＜2$.其中正确的为________.(填序号)

7.①②

8.如图,在平面直角坐标系$xOy$中,抛物线$y=x^2-4x+3$与$x$轴相交于点$A,B$(点$A$在点$B$的左边),与$y$轴相交于点$C$.
(1)求直线$BC$的函数解析式;
(2)垂直于$y$轴的直线$l$与抛物线相交于点$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$,与直线$BC$交于点$M(x_3,y_3)$,且$x_3＜x_2＜x_1$,请结合函数图象,求$x_1+x_2+x_3$的取值范围.

8.解:(1)当$x=0$时,$y=x^2-4x+3=3$,$\therefore C(0,3)$.
当$y=0$时,$x^2-4x+3=0$,解得$x=1$或$x=3$,
$\therefore A(1,0),B(3,0)$.设直线$BC$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$,将$B(3,0),C(0,3)$代入,
得$\begin{cases}3k+b=0,\\b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=3,\end{cases}$
$\therefore$直线$BC$的函数解析式为$y=-x+3$.
(2)$y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1$,
$\therefore$抛物线$y=x^2-4x+3$的对称轴是直线$x=2$,顶点坐标是$(2,-1)$.
$\because$垂直于$y$轴的直线$l$与抛物线相交于点$P(x_1,y_1)$,$Q(x_2,y_2)$,$\therefore y_1=y_2$,$\therefore x_1+x_2=4$.
$\because x_3＜x_2＜x_1$,$\therefore x_3＜0$,$\therefore x_1+x_2+x_3＜4$.

9.下面是嘉嘉同学积累本的部分内容,请仔细阅读,并解答相应的问题.
探究:抛物线$y=x^2 - c$($c$为常数)在$0≤x≤3$的部分与直线$y=2x$的公共点.
思路:①问题转化为抛物线$y=x^2 - 2x$($0≤x≤3$)与直线$y=$的公共点;
②在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线$y=x^2 - 2x$在$0≤x≤3$的部分;
③结合②中图象,根据$c$的取值范围讨论两个图象公共点的个数.
任务一:根据上述思路完成解答;
任务二:若抛物线$y=-x^2 + (m+4)x + m$($m$为常数)在$x≥1$的部分与直线$y=mx + 2$有两个公共点.仿照上述思路,直接写出$m$的取值范围.

9.任务一:①$c$
②解:如答图①.
③解:当$c=-1$或$0＜c≤3$时,两个图象只有一个交点;
当$-1＜c≤0$时,两个图象有两个交点;
当$c＜-1$或$c＞3$时,两个图象没有交点.
任务二:解:问题转化为抛物线$y=x^2-4x+2(x≥1)$与直线$y=m$有两个公共点.
如答图②,作出抛物线$y=x^2-4x+2(x≥1)$.
根据答图②可以发现,$m$的取值范围是$-2＜m≤-1$.