1[2026江苏无锡质检,中]如图,四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形,顶点P在$\overset{\frown}{MN}$上,且不与点M,N重合,数学学习小组在探究时得出以下结论:
①$PB+PA$是定值;
②当点P是$\overset{\frown}{MN}$的中点时,四边形PAOB是正方形;
③当点P在$\overset{\frown}{MN}$上移动时,矩形PAOB的大小随之变化,但AB的长度不变;
④连接MP,PN,若$\overset{\frown}{MP}=2\overset{\frown}{PN}$,则$MP=2PN$.
以上结论正确的序号是 ()

A.①②④
B.②③④
C.②③
D.①②③④

(第1题图)
(第2题图)

1.C 【解析】设半径为 r,连接 OP,如图.
∵ 四边形 PAOB 为矩形,
∴ PB=AO,∠OAP=∠AOB=∠OBP=90°. 当∠OPA=30°时,在Rt△OAP 中,OA=$\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}r$,易得 PA=$\frac{\sqrt{3}}{2}r$,此时 PA+PB=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}r$;当∠OPA=45°时,在Rt△OAP 中,易得 OA=PA=$\frac{\sqrt{2}}{2}r$,此时PA+PB=$\sqrt{2}r$,
∴ PB+PA 不是定值,故①不正确.
∵ 点 P 是 $\overset{\frown}{MN}$ 的中点,
∴ $\overset{\frown}{PM}=\overset{\frown}{PN}$,
∴ ∠AOP=∠BOP=45°,
∴ ∠OPA=180°-90°-45°=45°,
∴ ∠AOP=∠OPA,
∴ AP=AO,
∴ 矩形 PAOB 是正方形,故②正确.
∵ 四边形 AOBP 是矩形,
∴ AB=OP=r,
∴ 当点 P 在 $\overset{\frown}{MN}$ 上移动时,矩形 PAOB 的大小随之变化,但 AB 的长度不变,故③正确.
∵ $\overset{\frown}{MP}=2\overset{\frown}{PN}$,
∴ ∠MOP=2∠PON,
∴ ∠MOP=$\frac{2}{3}$∠AOB=60°,∠PON=$\frac{1}{3}$∠AOB=30°.
∵ OP=OM,
∴ △OPM 是等边三角形,
∴ MP=OP=r. 在Rt△OBP 中,∠POB=30°,
∴ PB=$\frac{1}{2}r$＜PN,
∴ 2PN＞r,
∴ 2PN＞MP,故④不正确. 故选 C.

2[较难]如图,已知在扇形OAB中,∠AOB=90°,OB=4,C为弧AB的中点,D为半径OB上一动点,点B关于直线CD的对称点为M,若点M落在扇形OAB内(不含边界),则OD长的取值范围是 ()

A.$4\sqrt{2}-4＜OD＜2\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}＜OD＜4\sqrt{2}$
C.$0＜OD＜2\sqrt{2}$
D.$4-2\sqrt{2}＜OD＜4$

2.A 【解析】当点 M 落在 OB 上时,CD ⊥ OB, 如图(1),连接 OC. 由题意得,∠AOB = 90°,$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CB}$,
∴ ∠AOC=∠COB=45°.
∵ ∠CDO=90°,
∴ ∠DCO=∠COD=45°,易得 CD=OD=$2\sqrt{2}$;当点 M 落在 OA 上时,连接 CM,CB,CO,DM,过点 C 作 CT ⊥ OB 于点 T,CJ ⊥ OA 于点 J,如图(2).
∵ ∠CJO=∠JOT=∠OTC=90°,
∴ 四边形 JOTC 是矩形.
∵ ∠COB=45°,
∴ 易得 OT=TC,
∴ 四边形 JOTC 是正方形,
∴ OJ=OT=CJ=CT=$2\sqrt{2}$.
∵ 点 B 关于直线 CD 的对称点为 M,
∴ CM=CB,DM=DB. 又
∵ CJ=CT,∠CJM=∠CTB=90°,
∴ Rt△CJM ≌ Rt△CTB(HL),
∴ JM=TB=4-$2\sqrt{2}$. 设 OD=y,则 DM=DB=4-y.
∵ OM²+OD²=DM²,
∴ $[2\sqrt{2}-(4-2\sqrt{2})]^2+y^2=(4-y)^2$, 解得 y=$4\sqrt{2}-4$. 综上,点 M 落在扇形 OAB 内(不含边界)时,OD 长的取值范围为 $4\sqrt{2}-4＜OD＜2\sqrt{2}$. 故选 A.
关键点拨
找出两处特殊位置:①点 M 落在 OB 上;②点 M 落在 OA 上.

3[2026浙江温州期中,中]如图(1),已知AB,CD是$\odot O$中位于圆心O上下两侧的两条弦,且满足$\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=180°$,设$AB=x$,$CD^2=y$,$y$关于$x$的函数图象如图(2)所示,当$CD=2AB$时,$CD$的长为 ()


A.$\frac{1}{5}\sqrt{5}$
B.$\frac{2}{5}\sqrt{5}$
C.$\frac{3}{5}\sqrt{5}$
D.$\frac{4}{5}\sqrt{5}$

3.D 【解析】如图,连接 OA,OB,OC,OD,作 OE ⊥ CD,OF ⊥ AB,则 OA=OB=OC=OD,AF=$\frac{1}{2}AB$,DE=$\frac{1}{2}CD$,∠DOE=$\frac{1}{2}∠DOC$,∠AOF=$\frac{1}{2}∠AOB$.
∵ $\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}=180°$,
∴ ∠COD+∠AOB=180°,
∴ ∠DOE+∠AOF=90°.
∵ ∠AOF+∠FAO=90°,
∴ ∠FAO=∠DOE.
∵ ∠DEO=∠AFO=90°,OD=OA,
∴ △OED ≌ △AFO,
∴ OE=AF=$\frac{1}{2}AB$.
∵ CD=2AB,
∴ OE=$\frac{1}{4}CD=\frac{1}{2}DE$.
∵ 当 x=0 时,y=4,此时 CD 为直径,
∴ ⊙O 的直径为$\sqrt{4}=2$,
∴ OD=1.设 OE=m,则 DE=2m,
∴ OD=$\sqrt{OE^2+DE^2}=\sqrt{5}m=1$,
∴ m=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,
∴ CD=4OE=4m=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$. 故选 D.

4[中]如图，AB是$\odot O$的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，点P是直径AB上一点，若$\odot O$的半径为2，则PC+PD的最小值是。

4.$2\sqrt{2}$ 【解析】如图,作点 C 关于直径 AB 的对称点 $C_1$,连接 $DC_1$,交 AB 于点 P,此时 PC+PD 的值最小,连接 OD,$OC_1$.
∵ 点 C 和点 $C_1$ 关于直径 AB 对称,点 C 是上半圆上的三等分点,
∴ AB 垂直平分 $CC_1$,点 $C_1$ 是下半圆上的三等分点,
∴ PC=$PC_1$,∠$AOC_1$=60°,
∴ PC+PD=PD+$PC_1$=$DC_1$.
∵ 点 D 是 $\overset{\frown}{AC}$ 的中点,
∴ 易得 ∠AOD=30°,
∴ ∠$DOC_1$=∠DOA+∠$AOC_1$=90°,
∴ 在Rt△$DOC_1$ 中,$DC_1=\sqrt{DO^2+OC_1^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}$,
∴ PC+PD 的最小值为 $2\sqrt{2}$.
刷有所得|求线段长的最值常用模型
点A,B在直线l的同侧,要在直线l上找一点C,使点C到点A,B的距离之和最小,只需作点B关于直线l的对称点B',连接AB',AB'与直线l的交点即为所求点C.

5 核心素养推理能力[难]小明在完成作业“$∠ AOB=90°$，$C,D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，弦$AB$分别交$OC$，$OD$于点$E,F$，求证：$AE=BF=CD$”的基础上，做了如下尝试，把$∠ AOB=90°$改为$∠ AOB=120°$，其他不变，证明成功后，大胆猜想“如图，$∠ AOB=n°$，$C,D$是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，弦$AB$分别交$OC$，$OD$于点$E,F$，求证：$AE=BF=CD$”。请写出小明“尝试”和“猜想”的证明过程。

5.【解】尝试:连接 AC,BD.
∵ 在⊙O 中,∠AOB = 120°,C,D 是 $\overset{\frown}{AB}$ 的三等分点,
∴ ∠AOC=$\frac{1}{3}∠AOB=\frac{1}{3}×120°=40°$.
∵ OA=OB,
∴ ∠OAB=∠OBA=30°,
∴ ∠AEC=∠OAB+∠AOC=30°+40°=70°.
∵ OA=OC,∠AOC=40°,
∴ ∠ACE=70°,
∴ ∠ACE=∠AEC,
∴ AC=AE.
同理,BF=BD.
∵ C,D 是 $\overset{\frown}{AB}$ 的三等分点,
∴ AC=CD=BD,
∴ AE=BF=CD.
猜想:连接 AC,BD.
∵ 在⊙O 中,∠AOB = n°,C,D 是 $\overset{\frown}{AB}$ 的三等分点,
∴ ∠AOC=$\frac{1}{3}∠AOB=\frac{1}{3}×n°=(\frac{n}{3})°$.
∵ OA=OB,
∴ ∠OAB=∠OBA=$(\frac{180-n}{2})°$,
∴ ∠AEC = ∠OAB + ∠AOC = $(\frac{180-n}{2}+\frac{n}{3})°=(90-\frac{n}{6})°$.
∵ OA=OC,∠AOC=$(\frac{n}{3})°$,
∴ ∠ACE=$(\frac{180-\frac{n}{3}}{2})°=(90-\frac{n}{6})°$,
∴ ∠ACE=∠AEC,
∴ AC=AE.
同理,BF=BD.
∵ C,D 是 $\overset{\frown}{AB}$ 的三等分点,
∴ AC=CD=BD,
∴ AE=BF=CD.
刷有所得
本题“尝试”中的结论和∠AOB 的度数没有关系,只要 C,D 还是弧 AB 的三等分点,那么 AE = BF = CD 的结论就一直成立.
思路分析
根据∠APQ=115°找到所对应的弧以及弧所对应的圆心角,从而得到∠AOQ 的度数,即可确定Q所在位置.