1 下列图形中，$∠ BAC$是圆周角的是 （）

1.B 【解析】圆周角的两个基本特征:①顶点在圆周上;②两边都与圆相交. 由题图可知∠BAC是圆周角的只有B选项,故选B.

2 如图，AB是半圆O的直径，点C，D将$\overset{\frown}{AB}$分成相等的三段弧，点P在$\overset{\frown}{AC}$上。已知点Q在$\overset{\frown}{AB}$上且$∠ APQ=115°$，则点Q所在的弧是（）

A.$\overset{\frown}{AP}$
B.$\overset{\frown}{PC}$
C.$\overset{\frown}{CD}$
D.$\overset{\frown}{DB}$

（第2题图）
（第3题图）

2.D 【解析】连接 OQ, OD. $\because ∠APQ = 115°$, $\therefore ∠APQ$ 对应优弧 $\overset{\frown}{ABQ}$,$\therefore$ 根据圆周角定理易知优弧 $\overset{\frown}{ABQ}$ 所对圆心角为 $230°$,则劣弧 $\overset{\frown}{AQ}$ 所对圆心角 $∠AOQ=130°$. $\because C,D$ 为 $\overset{\frown}{AB}$ 的三等分点,$\therefore ∠AOD=120°$,故点 Q 应位于 $\overset{\frown}{DB}$ 上,故选 D.

3 [2026河北邯郸期中]如图,在$\odot O$中,$∠ BAC=18°,∠ ADC=24°$,则$∠ AOB$的度数为 ()

A.$40°$
B.$42°$
C.$66°$
D.$84°$

3.D 【解析】如图,连接 OC.
$\because ∠BAC = 18°, ∠ADC = 24°, \therefore ∠AOC = 2∠ADC = 48°, ∠BOC = 2∠BAC = 36°$,
$\therefore ∠AOB = ∠AOC + ∠BOC = 84°$. 故选 D.

4[2026湖北黄石质检]如图,半径为2的$\odot O$的弦$AD=BC$,且$AD ⊥ BC$于点$E$,连接$AB$,$AC$,则$AB$的长为（）


A.$2\sqrt{2}$
B.$2$
C.$\sqrt{2}$
D.$1$

4.A 【解析】如图,连接 OA, OB. $\because AD = BC, \therefore \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BC}$,
$\therefore \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}, \therefore ∠C = ∠CAD$.
$\because AD ⊥ BC, \therefore ∠AEC = 90°$,
$\therefore ∠C = ∠CAD = 45°, \therefore ∠O = 2∠C = 90°$,
$\therefore AB = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$. 故选 A.

5 如图，弦AB所对的圆心角为$80°$，则弦AB所对的圆周角的度数为。

5.$40°$或$140°$ 【解析】如图,$∠ACB$ 和 $∠ADB$ 为弦 $AB$ 所对的圆周角. $\because ∠AOB$ 和 $∠ACB$ 都对应 $\overset{\frown}{AB}, \therefore ∠ACB=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{1}{2}×80°=40°$. $\because$ 易知 $∠ACB + ∠ADB = 180°, \therefore ∠ADB = 180° - 40° = 140°$,即弦 $AB$ 所对的圆周角的度数为 $40°$ 或 $140°$. 故答案为 $40°$ 或 $140°$.

6 如图，AB为$\odot O$的直径，点C，D在圆上且在直径AB的两侧，若$∠ BAC=25°$，则$∠ D$的度数为（）

A.$40°$
B.$45°$
C.$65°$
D.$75°$

6.C 【解析】如图,连接 BC. $\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径,
$\therefore ∠ACB = 90°, \therefore ∠CBA = 90° - ∠BAC = 90° - 25° = 65°, \therefore ∠D = ∠CBA = 65°$. 故选 C.

7[2025福建厦门期中]如图,在每个小正方形的边长均为1的网格图中,一段圆弧经过格点A,B,C,格点A,D的连线交圆弧于点E,则AE的长为。

灵感爆棚鸭

7.$\frac{\sqrt{26}}{2}$ 【解析】如图,连接 CE, CD, AC. $\because$ 每个小正方形的边长均为 $1, \therefore AD = \sqrt{1^2 + 5^2} = \sqrt{26}$,
$AC = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}, CD = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$,
$\therefore CD^2 + AC^2 = AD^2, AC = CD, \therefore ∠ACD = 90°$,
$\therefore △ ACD$ 是等腰直角三角形. $\because ∠ABC = 90°$,
$\therefore AC$ 是圆弧所在圆的直径, $\therefore ∠AEC = 90°$,
$\therefore CE ⊥ AD, \therefore AE = \frac{1}{2}AD = \frac{\sqrt{26}}{2}$,故答案为 $\frac{\sqrt{26}}{2}$.

8[2025江苏南京质检]已知P是$\odot O$上一点,在$\odot O$上作两点A,B,使得$∠ APB$分别满足以下条件:
(1)在图(1)中,$∠ APB=90°$;
(2)在图(2)中,$∠ APB=30°$.
(说明:第(1)题只用无刻度的直尺作图,第(2)题只用圆规作图.保留作图痕迹,不写作法)

8.【解】(1)如图(1),点 A,B 即为所求.

(2)如图(2),点 A,B 即为所求.