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1[中]反比例函数$y=\frac{k-3}{x}$与一次函数$y=kx+k$（其中$x$为自变量，$k$为非零常数）在同一直角坐标系中的大致图象是（
B
）答案
1. B 【解析】
|选项|一次函数$y=kx+k$| |反比例函数$y=\frac{k-3}{x}$|判断|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|A|下降趋势
与$y$轴交点的位置|$k＜0$
$k＞0$|不一致|$k＜3$|不合题意|
|B|上升趋势
与$y$轴交点的位置|$k＞0$
$0＜k＜3$|$0＜k＜3$|$k＜3$|符合题意|
|C|上升趋势
与$y$轴交点的位置|$k＞0$
$0＜k＜3$|$0＜k＜3$|$k＞3$|不合题意|
|D|下降趋势
与$y$轴交点的位置|$k＜0$
$-3＜k＜0$|$-3＜k＜0$|$k＞3$|不合题意|
|选项|一次函数$y=kx+k$| |反比例函数$y=\frac{k-3}{x}$|判断|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|A|下降趋势
与$y$轴交点的位置|$k＜0$
$k＞0$|不一致|$k＜3$|不合题意|
|B|上升趋势
与$y$轴交点的位置|$k＞0$
$0＜k＜3$|$0＜k＜3$|$k＜3$|符合题意|
|C|上升趋势
与$y$轴交点的位置|$k＞0$
$0＜k＜3$|$0＜k＜3$|$k＞3$|不合题意|
|D|下降趋势
与$y$轴交点的位置|$k＜0$
$-3＜k＜0$|$-3＜k＜0$|$k＞3$|不合题意|
2[中]函数 $y=\begin{cases}\dfrac{1}{x} & (x＞0), \\ -\dfrac{1}{x} & (x＜0)\end{cases}$ 的图象上有两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，针对$y_1$与$y_2$的大小关系，三人的说法如下，甲：若$x_1＜0＜x_2$，则$y_1＞y_2$；乙：若$x_1+x_2=0$，则$y_1=y_2$；丙：若$0＜x_1＜x_2$，则$y_1＞y_2$。下列判断正确的是（ ）
A.只有甲错
B.只有丙对
C.甲、丙都对
D.甲、乙、丙都错
A.只有甲错
B.只有丙对
C.甲、丙都对
D.甲、乙、丙都错
答案
2. A 【解析】函数 $y=\begin{cases}\dfrac{1}{x} & (x＞0), \\ -\dfrac{1}{x} & (x＜0)\end{cases}$ 的图象如图，可知函数的图象关于 $y$ 轴对称. 若 $x_1＜0＜x_2$, 则不能判断 $y_1,y_2$ 的大小, 故甲是错误的; 若 $x_1+x_2=0$, 则 $y_1=y_2$, 故乙是正确的; $\because$ 当 $x＞0$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小, $\therefore$ 若 $0＜x_1＜x_2$, 则 $y_1＞y_2$, 故丙是正确的, 故选 A.
3[中]如图,在平面直角坐标系中,直线$y=4x$,$y=x$分别与双曲线$y=\dfrac{k}{x}$的一支在第一象限内交于点$A,B$,连接$AB$,若$△ AOB$的面积为$3$,则$k=$
4
.答案
3. 4 【解析】过点 $A$ 作 $AC⊥ x$ 轴于 $C$, 过点 $B$ 作 $BD⊥ x$ 轴于 $D$. 解方程组 $\begin{cases}y=4x,\\y=\dfrac{k}{x}\end{cases}$ 得 $\begin{cases}x=\dfrac{\sqrt{k}}{2},\\y=2\sqrt{k}\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=-\dfrac{\sqrt{k}}{2},\\y=-2\sqrt{k}\end{cases}$, 则 $A(\dfrac{\sqrt{k}}{2},2\sqrt{k})$. 解方程组 $\begin{cases}y=x,\\y=\dfrac{k}{x}\end{cases}$ 得 $\begin{cases}x=\sqrt{k},\\y=\sqrt{k}\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x=-\sqrt{k},\\y=-\sqrt{k}\end{cases}$, 则 $B(\sqrt{k},\sqrt{k})$.
$\because S_{\mathrm{四边形}ABDO}=S_{△ AOC}+S_{\mathrm{梯形}ABDC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOD}$, 且 $S_{△ AOC}=S_{△ BOD}$,$\therefore S_{\mathrm{梯形}ABDC}=S_{△ AOB}$,$\therefore \dfrac{1}{2}· (\sqrt{k}+2\sqrt{k})· (\sqrt{k}-\dfrac{\sqrt{k}}{2})=3$,$\therefore k=4$. 故答案为 4.
$\because S_{\mathrm{四边形}ABDO}=S_{△ AOC}+S_{\mathrm{梯形}ABDC}=S_{△ AOB}+S_{△ BOD}$, 且 $S_{△ AOC}=S_{△ BOD}$,$\therefore S_{\mathrm{梯形}ABDC}=S_{△ AOB}$,$\therefore \dfrac{1}{2}· (\sqrt{k}+2\sqrt{k})· (\sqrt{k}-\dfrac{\sqrt{k}}{2})=3$,$\therefore k=4$. 故答案为 4.
4[中]如图,在平面直角坐标系$xOy$中,已知菱形$ABCD$的顶点$A(0,2\sqrt{3})$和$C(2,0)$,顶点$B$在$x$轴上,顶点$D$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,向右平移菱形$ABCD$,对应得到菱形$A'B'C'D'$,当这个反比例函数图象经过$C'D'$的中点$E$时,点$E$的坐标是
刷素养走向重高
(8,√3)
.刷素养走向重高
答案
4. $(8,\sqrt{3})$ 【解析】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形, $\therefore AB=BC=AD$. 设菱形的边长为 $a$, 则 $AB=BC=AD=a$. $\because A(0,2\sqrt{3})$,$C(2,0)$,$\therefore OA=2\sqrt{3}$,$OB=a-2$. $\because AB^2=OB^2+OA^2$,$\therefore a^2=(a-2)^2+(2\sqrt{3})^2$, 解得 $a=4$,$\therefore AD=4$,$\therefore D(4,2\sqrt{3})$. $\because$ 顶点 $D$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$($x＞0$) 的图象上, $\therefore k=4×2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$,$\therefore y=\dfrac{8\sqrt{3}}{x}$. $\because D(4,2\sqrt{3})$, 点 $E$ 是 $C'D'$ 的中点, $\therefore$ 点 $E$ 的纵坐标为 $\sqrt{3}$. 把 $y=\sqrt{3}$ 代入 $y=\dfrac{8\sqrt{3}}{x}$, 得 $\sqrt{3}=\dfrac{8\sqrt{3}}{x}$, 解得 $x=8$,$\therefore$ 点 $E$ 的坐标是 $(8,\sqrt{3})$. 故答案为 $(8,\sqrt{3})$.
5 核心素养 运算能力 [2026湖南常德期中,较难]如图(1),已知反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$的图象与矩形OABC的边AB,BC分别交于点D(2,3)与点E.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)连接OB交反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$的图象于点F,若OF=BF,求点E的坐标;
(3)如图(2),连接OB,OD,过点D作y轴的平行线交OB于点G,连接GE.记△DGO与四边形OGEC的面积分别为$S_1$与$S_2$,求证:$S_2 - S_1$为定值.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)连接OB交反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＞0)$的图象于点F,若OF=BF,求点E的坐标;
(3)如图(2),连接OB,OD,过点D作y轴的平行线交OB于点G,连接GE.记△DGO与四边形OGEC的面积分别为$S_1$与$S_2$,求证:$S_2 - S_1$为定值.
答案
5. (1)【解】$\because$ 点 $D(2,3)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{m}{x}$($x＞0$) 的图象上, $\therefore 3=\dfrac{m}{2}$,$\therefore m=3×2=6$,$\therefore$ 该反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$.
(2)【解】$\because$ 四边形 $OABC$ 是矩形, $\therefore AO=BC$,$AB=OC$,$∠ OCB=∠ AOC=90°$. $\because$ 点 $D(2,3)$ 在 $AB$ 上, $\therefore AO=BC=3$. 设 $B(2n,3)$. $\because OF=BF$,$\therefore$ 点 $F$ 是 $OB$ 的中点, $\therefore x_F=\dfrac{0+2n}{2}=n$,$y_F=\dfrac{0+3}{2}=\dfrac{3}{2}$,$\therefore F(n,\dfrac{3}{2})$. $\because$ 点 $F$ 在反比例函数 $y=\dfrac{6}{x}$($x＞0$) 的图象上, $\therefore \dfrac{3}{2}=\dfrac{6}{n}$,$\therefore n=4$,$\therefore 2n=4×2=8$,$\therefore B(8,3)$. $\because$ 点 $E$ 在 $BC$ 上, $∠ OCB=90°$,$\therefore x_E=8$. $\because$ 点 $E$ 在反比例函数 $y=\dfrac{6}{x}$($x＞0$) 的图象上, $\therefore y_E=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$,$\therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(8,\dfrac{3}{4})$.
(3)【证明】设直线 $OB$ 的解析式为 $y=kx$. $\because$ 四边形 $OABC$ 是矩形, 点 $D(2,3)$ 在 $AB$ 上, $\therefore y_B=3$,$\therefore x_B=\dfrac{3}{k}$. $\because$ 点 $E$ 在 $BC$ 上, $∠ OCB=90°$,$\therefore x_E=\dfrac{3}{k}$. $\because$ 点 $E$ 在反比例函数 $y=\dfrac{6}{x}$($x＞0$) 的图象上, $\therefore y_E=\dfrac{6}{\dfrac{3}{k}}=2k$. $\because DG// y$ 轴, $D(2,3)$,$\therefore x_G=2$.
$\because$ 点 $G$ 在 $OB$ 上, $\therefore y_G=2k$,$\therefore y_E=y_G$,$\therefore GE// OC$,$\therefore$ 四边形 $OGEC$ 为梯形, $\therefore S_1=(3-2k)×2×\dfrac{1}{2}=3-2k$,$S_2=(\dfrac{3}{k}-2+\dfrac{3}{k})×2k×\dfrac{1}{2}=6-2k$,$\therefore S_2-S_1=(6-2k)-(3-2k)=3$,$\therefore S_2-S_1$ 为定值.
(2)【解】$\because$ 四边形 $OABC$ 是矩形, $\therefore AO=BC$,$AB=OC$,$∠ OCB=∠ AOC=90°$. $\because$ 点 $D(2,3)$ 在 $AB$ 上, $\therefore AO=BC=3$. 设 $B(2n,3)$. $\because OF=BF$,$\therefore$ 点 $F$ 是 $OB$ 的中点, $\therefore x_F=\dfrac{0+2n}{2}=n$,$y_F=\dfrac{0+3}{2}=\dfrac{3}{2}$,$\therefore F(n,\dfrac{3}{2})$. $\because$ 点 $F$ 在反比例函数 $y=\dfrac{6}{x}$($x＞0$) 的图象上, $\therefore \dfrac{3}{2}=\dfrac{6}{n}$,$\therefore n=4$,$\therefore 2n=4×2=8$,$\therefore B(8,3)$. $\because$ 点 $E$ 在 $BC$ 上, $∠ OCB=90°$,$\therefore x_E=8$. $\because$ 点 $E$ 在反比例函数 $y=\dfrac{6}{x}$($x＞0$) 的图象上, $\therefore y_E=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$,$\therefore$ 点 $E$ 的坐标为 $(8,\dfrac{3}{4})$.
(3)【证明】设直线 $OB$ 的解析式为 $y=kx$. $\because$ 四边形 $OABC$ 是矩形, 点 $D(2,3)$ 在 $AB$ 上, $\therefore y_B=3$,$\therefore x_B=\dfrac{3}{k}$. $\because$ 点 $E$ 在 $BC$ 上, $∠ OCB=90°$,$\therefore x_E=\dfrac{3}{k}$. $\because$ 点 $E$ 在反比例函数 $y=\dfrac{6}{x}$($x＞0$) 的图象上, $\therefore y_E=\dfrac{6}{\dfrac{3}{k}}=2k$. $\because DG// y$ 轴, $D(2,3)$,$\therefore x_G=2$.
$\because$ 点 $G$ 在 $OB$ 上, $\therefore y_G=2k$,$\therefore y_E=y_G$,$\therefore GE// OC$,$\therefore$ 四边形 $OGEC$ 为梯形, $\therefore S_1=(3-2k)×2×\dfrac{1}{2}=3-2k$,$S_2=(\dfrac{3}{k}-2+\dfrac{3}{k})×2k×\dfrac{1}{2}=6-2k$,$\therefore S_2-S_1=(6-2k)-(3-2k)=3$,$\therefore S_2-S_1$ 为定值.
