1[中]如图,直线AB交x轴于点C,交反比例函数$y=\frac{a-1}{x}(a＞1)$的图象于A,B两点,过点B作$BD ⊥ y$轴,垂足为点D,若$S_{△ BCD}=5$,则a的值为 ()


A.8
B.9
C.10
D.11

1. D 【解析】
连接OB，由同底等高的两个三角形面积相等，可得$S_{△ ODB}=S_{△ BCD}$，$\frac{1}{2}|a-1|=5$，解得$a=11$或$a=-9$，又$a＞1$，故$a=11$。

2[2025宁夏银川期末,中]如图,点A是反比例函数$y=-\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上的一点,以A为顶点作$□ ABCD$,使点B,C在x轴上,点D在y轴上,若$□ ABCD$的面积为6,则k的值是 ()


A.1
B.3
C.6
D.-6

2. C 【解析】作$AE ⊥ BC$于E，如图。
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ $AD// x$轴，
∴ 易知四边形ADOE为矩形，
∴ $S_{□ ABCD}=S_{矩形ADOE}=6$。
∵ $S_{矩形ADOE}=|-k|$，
∴ $|-k|=6$。
∵ 反比例函数的图象在第二象限，
∴ $-k＜0$，
∴ $k＞0$，
∴ $k=6$。故选 C.
快解
对于选择题、填空题,可以直接利用模型解题,即 $S_{四边形ACBD}=2|k|=12. \because k＞0,\therefore k=6.$
关键点拨
本题考查反比例函数与一次函数图象的综合,理解并掌握“一点一垂线”的模型特征是解题关键.

3[2025四川达州质检,中]如图,点A(2,12)在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象上,AB,AC分别垂直于x轴、y轴,垂足分别为B,C,点D在位于AB右侧的反比例函数图象上,DE,DF分别垂直于x轴、线段AB,垂足分别为E,F,若四边形DEBF为正方形,则这个正方形的面积等于()


A.24
B.18
C.16
D.12

3. C 【解析】如图,延长DF交y轴于K.
∵ 点A(2,12)在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象上,
∴ $k=2×12=24$,
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{24}{x}$. 由题意易知四边形ABOC和四边形DEOK为矩形,
∴ $S_{矩形ABOC}=|k|=24=S_{矩形DEOK}$,
∴ $S_{正方形DEBF}=S_{四边形AFKC}$. 设正方形DEBF的边长为m.
∵ A(2,12),
∴ $AF=CK=12-m$,$KF=2$,
∴ $m^2=2(12-m)$,整理得$m^2+2m-24=0$,解得$m_1=4$,$m_2=-6$(不符合题意,舍去),
∴ 正方形DEBF的面积为$4^2=16$. 故选 C.

4[2025安徽亳州质检,中]如图,点A,B是双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0)$上的点,$AC ⊥ y$轴正半轴于点C,$BD ⊥ y$轴负半轴于点D,连接AD,BC,若四边形ACBD是面积为12的平行四边形,则$k=$.

(第4题图)
(第5题图)

4. 6 【解析】如图,连接OA,OB.
∵ 点A,B是双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0)$上的点,$AC ⊥ y$轴正半轴于点C,$BD ⊥ y$轴负半轴于点D,
∴ $AC// BD$.
∵ 四边形ACBD是面积为12的平行四边形,
∴ $AC=BD$,
∴ A,B关于原点对称,
∴ $OA=OB$,$OC=OD$,
∴ $S_{四边形ACBD}=4S_{△ AOC}=12$,
∴ $S_{△ AOC}=3$,
∴ $k=2×3=6$,故答案为6.

5[中]两个反比例函数$C_1:y=\dfrac{2}{x}$和$C_2:y=\dfrac{1}{x}$在第一象限内的图象如图所示，点$P$在$C_1$的图象上，$PC ⊥ x$轴于点$C$，交$C_2$的图象于点$A$，$PD ⊥ y$轴于点$D$，交$C_2$的图象于点$B$，则四边形$PAOB$的面积为（）

A.1
B.2
C.3
D.4

5. A 【解析】
∵ $PC ⊥ x$轴,$PD ⊥ y$轴,
∴ $S_{△ AOC}=S_{△ BOD}=\frac{1}{2}×|1|=\frac{1}{2}$,$S_{矩形PCOD}=|2|=2$,
∴ 四边形PAOB的面积为$2-2×\frac{1}{2}=1$.

6[2025河北石家庄期中,中]已知反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$和反比例函数$y=-\frac{8}{x}(x＜0)$的图象如图所示.
(1)点A在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上,
过点A作y轴的垂线交反比例函数$y=-\frac{8}{x}(x＜0)$的图象于点B,交y轴于点M,点P在x轴上,连接PA,PB,求$△ PAB$的面积;
(2)直线$y=n(n＞0)$交反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象于点C,交反比例函数$y=-\frac{8}{x}(x＜0)$的图象于点D,若$CD=4$,求$n$的值.

6. 【解】(1) 如图,连接OA,OB.
∵ $AB ⊥ y$轴,
∴ $S_{△ OAM}=1$,$S_{△ OBM}=4$,$AB// x$轴,
∴ $S_{△ PAB}=S_{△ OAB}=S_{△ OAM}+S_{△ OBM}=1+4=5$.
(2) 当$y_C=y_D=n$时,
$y_C=\frac{2}{x_C}=n$,$y_D=-\frac{8}{x_D}=n$,
∴ $x_C=\frac{2}{n}$,$x_D=-\frac{8}{n}$,
∴ $CD=\frac{2}{n}-(-\frac{8}{n})=\frac{10}{n}$.
∵ $CD=4$,
∴ $\frac{10}{n}=4$,解得$n=\frac{5}{2}$,经检验,$n=\frac{5}{2}$是分式方程的解,
∴ $n=\frac{5}{2}$.