1 坐标法 [2025浙江杭州期末,中]如图,点A是反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上一点,过点A分别作x轴、y轴的平行线,交反比例函数$y=-\frac{2}{x}$的图象于B,D两点,以AB,AD为邻边作矩形ABCD,矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形,面积分别记为$S_1,S_2,S_3,S_4$,若$S_2+S_3+S_4=\frac{11}{2}$,则k的值为 ()


A.$\frac{5}{2}$
B.$\frac{5}{3}$
C.4
D.$\frac{8}{3}$

1. D 【解析】由题意得$S_2=S_4=2$. 设$A(m,\frac{k}{m})$,则$B(-\frac{2m}{k},\frac{k}{m}),D(m,-\frac{2}{m}),\therefore C(-\frac{2m}{k},-\frac{2}{m})$,
$\therefore S_3=\frac{4}{k}.\because S_2+S_3+S_4=\frac{11}{2},\therefore 2+\frac{4}{k}+2=\frac{11}{2}$,解得$k=\frac{8}{3}$,经检验,$k=\frac{8}{3}$是分式方程的解,且符合题意. 故选D.

2 “三角形”化“梯形”法 [中]如图，等边$△ OAB$的边长为8，点A在y轴上，点B在第一象限，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过AB的中点M，与OB相交于点N.
(1)求k的值；
(2)连接OM，MN，求$△ OMN$的面积.

2. 模型解读 “三角形”化“梯形”模型
作 $AC ⊥ x$轴，$BD ⊥ x$轴
结 论：① $S_{△ AOC}=S_{△ BOD}=\frac{|k|}{2}$；
②$S_{△ AOE}=S_{四边形ECDB}$；
③$S_{△ AOB}=S_{梯形ACDB}$
【解】(1)$\because$ 等边$△ OAB$的边长为8,点A在y轴上,点B在第一象限, $\therefore A(0,8)$, 易得$B(4\sqrt{3},4)$.
$\because M$是AB的中点,$\therefore M(2\sqrt{3},6).\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过AB的中点M,$\therefore k=2\sqrt{3}×6=12\sqrt{3}$.
(2)如图,作 $MC ⊥ x$轴于C, $ND ⊥ x$轴于D,则$S_{△ MOC}=S_{△ NOD}=\frac{1}{2}k$.
$\because B(4\sqrt{3},4),\therefore$ 直线OB的解析式为$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$. 联立得$\begin{cases}y=\frac{\sqrt{3}}{3}x,\\y=\frac{12\sqrt{3}}{x},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=6,\\y=2\sqrt{3}\end{cases}$或$\begin{cases}x=-6,\\y=-2\sqrt{3}\end{cases}$(舍去), $\therefore N(6,2\sqrt{3}),\therefore S_{△ OMN}=S_{△ OMC}+S_{梯形MCDN}-S_{△ OND}=S_{梯形MCDN}=\frac{1}{2}(6+2\sqrt{3})×(6-2\sqrt{3})=12$.

关键点拨
(1)连接OA,OB,由反比例函数的比例系数的几何意义得到$S_{△ OAM}=1,S_{△ OBM}=4$是解题关键.
思路分析
(1)由等边$△ OAB$易得A,B的坐标,进一步求得M的坐标,代入$y=\frac{k}{x}$即可求得k的值;
(2)作$MC ⊥ x$轴于C,$ND ⊥ x$轴于D,则$S_{△ MOC}=S_{△ NOD}=\frac{1}{2}k$,求出直线OB的解析式,然后求得N的坐标,进而根据$S_{△ OMN}=S_{梯形MCDN}$即可求得答案.