1 [2026 山东济南期中,中]二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象如图所示,则一次函数 $y=-bx+b^2-4ac$ 与反比例函数 $y=\dfrac{a+b+c}{x}$ 在同一平面直角坐标系内的图象大致为 ()

1.B 【解析】由题图可知,$a＜0,-\frac{b}{2a}＞0,\therefore b＞0$,即$-b＜0.$
∵二次函数的图象与x轴有两个不同的交点,$\therefore b^2-4ac＞0,$
∴一次函数$y=-bx+b^2-4ac$的图象经过第一、二、四象限. 对于$y=ax^2+bx+c$,当$x=1$时,$a+b+c＞0,$
∴反比例函数$y=\frac{a+b+c}{x}$的图象位于第一、三象限. 故选 B.

2[中]函数$y=k_{1}x(k_{1}≠0)$与$y=\frac{k_{2}}{x}(k_{2}≠0)$的图象没有交点，那么（）

A.$k_{1}+k_{2}=0$
B.$k_{1}k_{2}＞0$
C.$k_{1}k_{2}＜0$
D.$|k_{1}|=|k_{2}|$

2.C 【解析】当$k_1＞0$时,正比例函数图象经过第一、三象限,当$k_1＜0$时,图象经过第二、四象限;当$k_2＞0$时,反比例函数图象位于第一、三象限,当$k_2＜0$时,图象位于第二、四象限. 这两个函数的图象没有交点,则$k_1,k_2$一定异号,$\therefore k_1$与$k_2$的乘积为负,故选 C.

3[2026贵州铜仁质检,中]若双曲线$y=\frac{3-2k}{x}$与直线$y=-5x$一定有交点,则k的取值范围是()

A.$k＞\frac{3}{2}$
B.$k＞\frac{2}{3}$
C.$k≠\frac{3}{2}$
D.$k＜\frac{3}{2}$

3.A 【解析】由题意可得$\frac{3-2k}{x}=-5x$,化简得$5x^2=2k-3.$
∵双曲线$y=\frac{3-2k}{x}$与直线$y=-5x$一定有交点,
∴方程$5x^2=2k-3$有解. 又
∵双曲线$y=\frac{3-2k}{x}$中$3-2k≠0,$
∴$2k-3＞0$,解得$k＞\frac{3}{2}$. 故选 A.

4[中]已知双曲线$y=\frac{3}{x}$与函数$y=|x-a|$的图象有两个交点，则$a$的值是。

4.$2\sqrt{3}$ 【解析】如图，
∵双曲线$y=\frac{3}{x}$与函数$y=|x-a|$的图象有两个交点,
∴由图可知,一次函数$y=-x+a$的图象与$y=\frac{3}{x}$的图象只有一个交点,且$a＞0$,可得$\frac{3}{x}=-x+a$,整理得$-x^2+ax-3=0,$
∴方程$-x^2+ax-3=0$有两个相等的实数根,$\therefore \Delta=a^2-12=0$,解得$a=2\sqrt{3}$或$-2\sqrt{3}$(舍去).故答案为$2\sqrt{3}$.

5[2025 江苏苏州质检,中]小明在草稿纸上画了
反比例函数$y=\frac{k}{x}$在第二象限内的图象,并把矩形直尺放在上面,如图.根据图中信息计算,点C的坐标为.

5.$(-\frac{3}{2},4)$ 【解析】由题图可知,点A的坐标为$(-3,2),\therefore$ 直线 OA 的解析式为$y=-\frac{2}{3}x.$
∵反比例函数图象过点A,$\therefore k=-3×2=-6,$
∴反比例函数解析式为$y=-\frac{6}{x}.$由题意易知,直线 OA 向上平移 3 个单位得到直线 BC,
∴直线 BC 的解析式为$y=-\frac{2}{3}x+3.$联立得$\begin{cases}y=-\frac{2}{3}x+3,\\y=-\frac{6}{x},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-\frac{3}{2},\\y=4\end{cases}$或$\begin{cases}x=6,\\y=-1\end{cases}$(舍去),
∴点 C 坐标为$(-\frac{3}{2},4).$故答案为$(-\frac{3}{2},4).$

6[2026河北保定期末,中]题目:已知正比例函数$y_1=-2x$与反比例函数$y_2=-\frac{8}{x}$.对于实数$m$,当$x=m$时,$y_1＞y_2$;当$x=m+1$时,$y_1＜y_2$,求$m$的取值范围.甲答:$-3＜m＜-2$;乙答:$-1＜m＜0$;丙答:$1＜m＜2$.下列判断正确的是 ()

A.只有甲答得对
B.甲、丙答案合在一起才完整
C.乙、丙答案合在一起才完整
D.三人答案合在一起才完整

6.B 【解析】联立得$\begin{cases}y=-2x,\\y=-\frac{8}{x},\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2,\\y=-4\end{cases}$或$\begin{cases}x=-2,\\y=4,\end{cases}$即正比例函数$y_1=-2x$与反比例函数$y_2=-\frac{8}{x}$的图象的交点坐标为$(2,-4),(-2,4)$,画出大致图象如图. 由函数图象可知,当$x＜-2$或$0＜x＜2$时,$y_1＞y_2$;当$-2＜x＜0$或$x＞2$时,$y_1＜y_2.$
∵对于实数$m$,当$x=m$时,$y_1＞y_2$;当$x=m+1$时,$y_1＜y_2,$
∴$\begin{cases}m＜-2,\\-2＜m+1＜0\end{cases}$或$\begin{cases}0＜m＜2,\\m+1＞2,\end{cases}$解得$-3＜m＜-2$或$1＜m＜2$,故选 B.

7[中]如图,已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$P(2,3)$,与反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象在第一象限交于点$Q(m,n)$.若一次函数$y$的值随$x$值的增大而增大,则$m$的取值范围是.

(第7题图)
(第8题图)

7.$\frac{2}{3}＜m＜2$ 【解析】过点 P 作$PA// x$轴,交反比例函数的图象于点 A,作$PB// y$轴,交反比例函数的图象于点 B,如图.
∵$P(2,3)$,反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x},$
∴易得$A(\frac{2}{3},3),B(2,1).$
∵一次函数$y$的值随$x$值的增大而增大,
∴点$Q(m,n)$在点 A,B 之间,$\therefore \frac{2}{3}＜m＜2$. 故答案为$\frac{2}{3}＜m＜2$.

8[2025河南洛阳期末,中]如图,直线$y=2x+b$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象交于点$A(3,m)$,与y轴交于$B(0,-4)$,P为线段AB上一动点(不包含端点),过点P作$PQ// y$轴交反比例函数的图象于点Q,连接OP,OQ.当$△ OPQ$面积最大时,点P的坐标为.

8.$(1,-2)$ 【解析】
∵直线$y=2x+b$与 y 轴交于$B(0,-4),\therefore b=-4,$
∴直线的解析式为$y=2x-4.$
∵直线$y=2x-4$经过点$A(3,m),\therefore m=6-4=2,$
∴$A(3,2).$
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象过点$A(3,2),\therefore k=6,\therefore y=\frac{6}{x}.$设$P(a,2a-4)$,则$Q(a,\frac{6}{a}),0＜a＜3,\therefore PQ=\frac{6}{a}-2a+4,$
∴$△ POQ$的面积为$\frac{1}{2}×a×(\frac{6}{a}-2a+4)=-a^2+2a+3=-(a-1)^2+4.$
∵$-1＜0,$
∴当$a=1$时,$△ POQ$的面积最大,此时$P(1,-2).$