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6.「2026福建漳浦月考，★☆」随机投掷一枚纪念币的试验，得到的结果如表所示：
下面有3个推断：
①抛掷次数是1 000时，“正面向上”的频率是0.511，所以“正面向上”的概率是0.511；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3 000时，出现“正面向上”的次数不一定是1 558次.
其中所有合理推断的序号是（
A.①②
B.②③
C.①③
D.③
下面有3个推断：
①抛掷次数是1 000时，“正面向上”的频率是0.511，所以“正面向上”的概率是0.511；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3 000时，出现“正面向上”的次数不一定是1 558次.
其中所有合理推断的序号是（
B
）A.①②
B.②③
C.①③
D.③
答案
做大量重复试验后,可以用一个事件发生的频率作为这个事件发生的概率的估计值,①不合理,②合理;做随机抛掷纪念币的试验,出现“正面向上”是随机的,则再次抛掷3 000次时,出现“正面向上”的次数不一定是1 558次,③合理.故选B.
解析
【分析】
解决本题要先明确频率与概率的核心关系：概率是事件的固有属性，只有当大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数才能作为概率的估计值，单次或少量试验的频率不能直接等同于概率；同时随机事件的结果具有不确定性，每次试验的结果不是固定的。按照这个思路逐一判断三个推断即可。
【解析】
对三个推断逐一分析：
① 抛掷1000次时“正面向上”的频率0.511只是单次试验的结果，不能直接等同于事件的概率，概率需要通过大量重复试验的频率稳定值来估计，因此①不合理；
② 观察表格数据可知，随着投掷次数不断增加，“正面向上”的频率始终在0.520附近摆动，呈现出明显的稳定性，因此可以估计“正面向上”的概率是0.520，因此②合理；
③ 随机抛掷纪念币属于随机事件，每次试验的结果都存在不确定性，因此再次做抛掷试验时，即使抛掷次数为3000次，出现“正面向上”的次数也不一定是1558次，因此③合理。
综上，合理推断为②③，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；随机事件的特点；频率与概率的区别
【点评】
本题考查对频率估计概率概念的理解，易错点是容易将单次试验的频率直接等同于概率，掌握“大量重复试验的频率稳定值可估计概率、随机事件结果不固定”的核心知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.75
解决本题要先明确频率与概率的核心关系：概率是事件的固有属性，只有当大量重复试验时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数才能作为概率的估计值，单次或少量试验的频率不能直接等同于概率；同时随机事件的结果具有不确定性，每次试验的结果不是固定的。按照这个思路逐一判断三个推断即可。
【解析】
对三个推断逐一分析：
① 抛掷1000次时“正面向上”的频率0.511只是单次试验的结果，不能直接等同于事件的概率，概率需要通过大量重复试验的频率稳定值来估计，因此①不合理；
② 观察表格数据可知，随着投掷次数不断增加，“正面向上”的频率始终在0.520附近摆动，呈现出明显的稳定性，因此可以估计“正面向上”的概率是0.520，因此②合理；
③ 随机抛掷纪念币属于随机事件，每次试验的结果都存在不确定性，因此再次做抛掷试验时，即使抛掷次数为3000次，出现“正面向上”的次数也不一定是1558次，因此③合理。
综上，合理推断为②③，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率；随机事件的特点；频率与概率的区别
【点评】
本题考查对频率估计概率概念的理解，易错点是容易将单次试验的频率直接等同于概率，掌握“大量重复试验的频率稳定值可估计概率、随机事件结果不固定”的核心知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.75
7.「2026浙江舟山期中，★☆」如图1，在面积为$64\ \mathrm{cm}^2$的正方形内部有一不规则图案(图中阴影部分)，为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示，小亮由此估计阴影部分面积为
22.4
$\mathrm{cm}^2$。答案
答案 22.4
解析 由题图2可估计点落在阴影上的概率为0.35.设阴影部分的面积为$x\ \mathrm{cm}^2$,则有$\frac{x}{64}=0.35$,解得$x=22.4$,所以估计阴影部分的面积为$22.4\ \mathrm{cm}^2$.故答案为22.4.
解析 由题图2可估计点落在阴影上的概率为0.35.设阴影部分的面积为$x\ \mathrm{cm}^2$,则有$\frac{x}{64}=0.35$,解得$x=22.4$,所以估计阴影部分的面积为$22.4\ \mathrm{cm}^2$.故答案为22.4.
解析
【分析】
解题时首先明确：大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。第一步观察频率折线图，当试验次数足够多时，频率稳定在0.35，因此可估计点落在阴影部分的概率为0.35；第二步结合几何概率的计算原理：点落在阴影部分的概率等于阴影部分面积与正方形总面积的比值；第三步设阴影面积为未知数，根据上述等量关系列方程求解即可。
【解析】
由图2的频率折线图可知，随着试验次数增加，点落在阴影部分的频率稳定在0.35附近，因此估计点落在阴影部分的概率为0.35。
设阴影部分的面积为$x\ \mathrm{cm}^2$，根据几何概率的计算公式：
$\frac{\mathrm{阴影部分面积}}{\mathrm{正方形总面积}}=\mathrm{点落在阴影部分的概率}$
代入已知数据得$\frac{x}{64}=0.35$，
解得$x=64×0.35=22.4$。
【答案】
22.4
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 几何概率计算
【点评】
本题是基础应用类题目，核心是理解频率与概率的关系，结合几何概率的面积比规律求解，解题时要注意从折线图中准确提取频率稳定值。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确：大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值。第一步观察频率折线图，当试验次数足够多时，频率稳定在0.35，因此可估计点落在阴影部分的概率为0.35；第二步结合几何概率的计算原理：点落在阴影部分的概率等于阴影部分面积与正方形总面积的比值；第三步设阴影面积为未知数，根据上述等量关系列方程求解即可。
【解析】
由图2的频率折线图可知，随着试验次数增加，点落在阴影部分的频率稳定在0.35附近，因此估计点落在阴影部分的概率为0.35。
设阴影部分的面积为$x\ \mathrm{cm}^2$，根据几何概率的计算公式：
$\frac{\mathrm{阴影部分面积}}{\mathrm{正方形总面积}}=\mathrm{点落在阴影部分的概率}$
代入已知数据得$\frac{x}{64}=0.35$，
解得$x=64×0.35=22.4$。
【答案】
22.4
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 几何概率计算
【点评】
本题是基础应用类题目，核心是理解频率与概率的关系，结合几何概率的面积比规律求解，解题时要注意从折线图中准确提取频率稳定值。
【难度系数】
0.8
8.「2025广东云浮新兴期末，★☆」在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其他完全相同的红、白两种颜色的球共60个.做摸球试验:将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒子中,不断重复上述过程.“摸到白色
球”的频率分布图如图所示.
(1)估计摸到白球的概率为
(2)如果要使摸到白球的概率为$\frac{3}{5}$,那么需要往盒子里再放入多少个白球?
球”的频率分布图如图所示.
(1)估计摸到白球的概率为
0.50
（精确到0.01）;假如你摸一次球,你摸到白球的概率为0.5
.(2)如果要使摸到白球的概率为$\frac{3}{5}$,那么需要往盒子里再放入多少个白球?
答案
(1)0.50;0.5.
(2)$\because$ 盒子里装有除颜色不同外其他完全相同的红、白两种颜色的球共60个,摸到白球的概率为0.5,
$\therefore$ 白球的个数为$60×0.5=30$,$\therefore$ 红球的个数为$60-30=30$.
设需要往盒子里再放入$x$个白球.
根据题意,得$\frac{30+x}{60+x}=\frac{3}{5}$,解得$x=15$.
经检验,$x=15$是分式方程的解,且符合题意.
答:需要往盒子里再放入15个白球.
(2)$\because$ 盒子里装有除颜色不同外其他完全相同的红、白两种颜色的球共60个,摸到白球的概率为0.5,
$\therefore$ 白球的个数为$60×0.5=30$,$\therefore$ 红球的个数为$60-30=30$.
设需要往盒子里再放入$x$个白球.
根据题意,得$\frac{30+x}{60+x}=\frac{3}{5}$,解得$x=15$.
经检验,$x=15$是分式方程的解,且符合题意.
答:需要往盒子里再放入15个白球.
解析
【分析】
(1) 第一问依据频率估计概率的原理求解：当大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数即可作为事件发生概率的估计值。观察频率分布图可知，摸球次数增多后，摸到白球的频率稳定在0.50附近，因此可得到摸到白球的概率估计值，单次摸球的概率与该估计值一致。
(2) 第二问先结合第一问的概率结果计算原有白球、红球的数量，再设加入的白球个数为未知数，根据“概率=所求情况数÷总情况数”的公式列分式方程，求解后检验是否符合题意即可。
【解析】
(1) 观察频率分布图，随着摸球次数增加，摸到白球的频率稳定在0.50附近，因此估计摸到白球的概率为0.50；单次摸球时，摸到白球的概率等于估计的概率，为0.5。
(2) 已知盒中红、白球共60个，摸到白球的概率为0.5，
因此原有白球数量：$60×0.5=30$（个），
原有红球数量：$60-30=30$（个）。
设需要再放入$x$个白球，此时盒中白球总数为$(30+x)$个，总球数为$(60+x)$个，
根据摸到白球的概率为$\frac{3}{5}$列方程：
$\frac{30+x}{60+x}=\frac{3}{5}$
交叉相乘得：$5(30+x)=3(60+x)$
展开得：$150+5x=180+3x$
移项合并同类项得：$2x=30$
解得：$x=15$
经检验，$x=15$时分母不为0，是原分式方程的解，且符合实际题意。
【答案】
(1)0.50；0.5
(2)需要往盒子里再放入15个白球。
【知识点】
用频率估计概率、概率的计算、分式方程的应用
【点评】
本题结合试验数据考查了频率与概率的关系，以及概率公式的实际应用，解题关键是理解大量重复试验下频率可近似估计概率，列分式方程求解后要注意检验解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问依据频率估计概率的原理求解：当大量重复试验时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，该常数即可作为事件发生概率的估计值。观察频率分布图可知，摸球次数增多后，摸到白球的频率稳定在0.50附近，因此可得到摸到白球的概率估计值，单次摸球的概率与该估计值一致。
(2) 第二问先结合第一问的概率结果计算原有白球、红球的数量，再设加入的白球个数为未知数，根据“概率=所求情况数÷总情况数”的公式列分式方程，求解后检验是否符合题意即可。
【解析】
(1) 观察频率分布图，随着摸球次数增加，摸到白球的频率稳定在0.50附近，因此估计摸到白球的概率为0.50；单次摸球时，摸到白球的概率等于估计的概率，为0.5。
(2) 已知盒中红、白球共60个，摸到白球的概率为0.5，
因此原有白球数量：$60×0.5=30$（个），
原有红球数量：$60-30=30$（个）。
设需要再放入$x$个白球，此时盒中白球总数为$(30+x)$个，总球数为$(60+x)$个，
根据摸到白球的概率为$\frac{3}{5}$列方程：
$\frac{30+x}{60+x}=\frac{3}{5}$
交叉相乘得：$5(30+x)=3(60+x)$
展开得：$150+5x=180+3x$
移项合并同类项得：$2x=30$
解得：$x=15$
经检验，$x=15$时分母不为0，是原分式方程的解，且符合实际题意。
【答案】
(1)0.50；0.5
(2)需要往盒子里再放入15个白球。
【知识点】
用频率估计概率、概率的计算、分式方程的应用
【点评】
本题结合试验数据考查了频率与概率的关系，以及概率公式的实际应用，解题关键是理解大量重复试验下频率可近似估计概率，列分式方程求解后要注意检验解是否符合实际意义。
【难度系数】
0.8
9. 核心素养 数据观念 某水果公司以2元/千克的成本购进10 000千克柑橘，销售人员在销售过程中随机抽取柑橘进行“柑橘损坏率”统计，并绘制成如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
(1)柑橘损坏的概率估计值为
(2)估计这批柑橘完好的质量为
(3)如果公司希望销售这些柑橘能够获得25 000元的利润，那么在出售(已去掉损坏的柑橘)时，每千克柑橘大约定价为
(1)柑橘损坏的概率估计值为
0.1
，柑橘完好的概率估计值为0.9
.(2)估计这批柑橘完好的质量为
9 000
千克.(3)如果公司希望销售这些柑橘能够获得25 000元的利润，那么在出售(已去掉损坏的柑橘)时，每千克柑橘大约定价为
5
元.答案
(1)根据所给的统计图可得,
柑橘损坏的概率估计值为0.1,
则柑橘完好的概率估计值为1-0.1=0.9.故填0.1;0.9.
(2)根据(1)可得,这批柑橘完好的质量约为$10\ 000×0.9=9\ 000$(千克).故填9 000.
(3)设每千克柑橘定价为$x$元比较合适,
根据题意得$9\ 000x=25\ 000+2×10\ 000$,解得$x=5$,
即每千克柑橘大约定价为5元.
故填5.
柑橘损坏的概率估计值为0.1,
则柑橘完好的概率估计值为1-0.1=0.9.故填0.1;0.9.
(2)根据(1)可得,这批柑橘完好的质量约为$10\ 000×0.9=9\ 000$(千克).故填9 000.
(3)设每千克柑橘定价为$x$元比较合适,
根据题意得$9\ 000x=25\ 000+2×10\ 000$,解得$x=5$,
即每千克柑橘大约定价为5元.
故填5.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 求解第(1)问时，回忆用频率估计概率的知识：当试验次数足够大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是概率。观察统计图可知柑橘损坏率稳定在0.1附近，即可得到损坏的概率，再用1减去损坏概率得到完好的概率。2. 求解第(2)问时，用柑橘总质量乘以完好的概率，就能估算出完好柑橘的质量。3. 求解第(3)问时，先明确利润的等量关系：总销售额=总成本+期望利润，设出定价，结合完好柑橘的质量列方程求解即可。
【解析】
(1) 观察统计图可得，随着抽取柑橘质量的增加，柑橘损坏率稳定在0.1附近，因此柑橘损坏的概率估计值为0.1；
柑橘完好的概率估计值为$1-0.1=0.9$。
(2) 已知柑橘总质量为10000千克，完好概率为0.9，因此完好柑橘的质量约为：
$10000 × 0.9 = 9000$（千克）。
(3) 设每千克柑橘定价为$x$元，根据“总销售额=总成本+期望利润”列方程：
总成本为$2 × 10000 = 20000$元，总销售额为$9000x$元，期望利润为25000元，因此：
$9000x = 20000 + 25000$
计算得$9000x=45000$，解得$x=5$。
【答案】
(1) 0.1；0.9
(2) 9000
(3) 5
【知识点】
用频率估计概率，概率的计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活实际场景，既考查了统计中用频率估计概率的核心方法，又结合利润问题考查了方程思想的应用，能够锻炼学生读取统计图表、运用所学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 求解第(1)问时，回忆用频率估计概率的知识：当试验次数足够大时，频率会稳定在某个常数附近，这个常数就是概率。观察统计图可知柑橘损坏率稳定在0.1附近，即可得到损坏的概率，再用1减去损坏概率得到完好的概率。2. 求解第(2)问时，用柑橘总质量乘以完好的概率，就能估算出完好柑橘的质量。3. 求解第(3)问时，先明确利润的等量关系：总销售额=总成本+期望利润，设出定价，结合完好柑橘的质量列方程求解即可。
【解析】
(1) 观察统计图可得，随着抽取柑橘质量的增加，柑橘损坏率稳定在0.1附近，因此柑橘损坏的概率估计值为0.1；
柑橘完好的概率估计值为$1-0.1=0.9$。
(2) 已知柑橘总质量为10000千克，完好概率为0.9，因此完好柑橘的质量约为：
$10000 × 0.9 = 9000$（千克）。
(3) 设每千克柑橘定价为$x$元，根据“总销售额=总成本+期望利润”列方程：
总成本为$2 × 10000 = 20000$元，总销售额为$9000x$元，期望利润为25000元，因此：
$9000x = 20000 + 25000$
计算得$9000x=45000$，解得$x=5$。
【答案】
(1) 0.1；0.9
(2) 9000
(3) 5
【知识点】
用频率估计概率，概率的计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合生活实际场景，既考查了统计中用频率估计概率的核心方法，又结合利润问题考查了方程思想的应用，能够锻炼学生读取统计图表、运用所学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
