1.「2026广东佛山顺德期中」从-2,0,1三个数中，随机抽取两个数相乘，积为负数的概率是（）

A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{6}$

列表如下：
| 第一个数\第二个数 | -2 | 0 | 1 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| -2 | | 0 | -2 |
| 0 | 0 | | 0 |
| 1 | -2 | 0 | |
共有6种等可能的结果,其中积为负数的结果有2种,
∴随机抽取两个数相乘,积为负数的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.故选C.

【分析】
要计算随机抽取两个数相乘积为负数的概率，首先明确该试验为从3个数中不放回随机抽取2个，所有抽取结果均为等可能事件，可按以下步骤思考：第一步，通过列表法或枚举法列出所有抽取两个数相乘的等可能结果；第二步，根据有理数乘法“异号相乘得负”的性质，筛选出积为负数的结果；第三步，利用概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$计算最终概率。
【解析】
通过列表法列举所有抽取两个数相乘的结果：
| 第一个数\第二个数 | -2 | 0 | 1 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| -2 | | 0 | -2 |
| 0 | 0 | | 0 |
| 1 | -2 | 0 | |
由表可知，共有6种等可能的结果，其中积为负数的结果有2种。
根据概率公式可得，积为负数的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
故选：C
【答案】
C
【知识点】
列表法求概率、有理数乘法法则、概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，结合了有理数乘法的性质，解题的核心是准确列举出所有等可能的结果，避免漏算或重复计数，掌握概率的基本计算方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

2.盒子里放有分别写有整式$2,π,x,x+1$的四张卡片,先从中任意抽取一张卡片(不放回),再从余下的卡片中任意抽取一张,把第一次抽取的卡片上的整式作为分子,第二次抽取的卡片上的整式作为分母,则组成分式的概率是 ()

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$

画树状图如下：
由树状图可知,共有 12 种等可能的结果,其中组成分式的结果有 6 种,
所以组成分式的概率是$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
故选 A.

【分析】
解题时首先要明确两个核心要点：①分式的定义：分母中含有字母的式子是分式，注意π是常数，不属于字母；②不放回抽取的概率计算方法，可通过树状图列出所有等可能的结果，再筛选出满足条件的结果，最后用概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$计算。首先确定总结果数：第一次抽取有4种可能，不放回第二次抽取有3种可能，共12种等可能结果；再逐一判断分母是否含字母，统计组成分式的结果数，代入公式即可得解。
【解析】
我们通过画树状图列出所有抽取情况：

从树状图可以看出，不放回抽取两次，共有$4×3=12$种等可能的结果。
根据分式的定义判断：分母为$x$或$x+1$时，分母含字母，组成的是分式，统计可得这类结果共有6种。
根据概率公式，组成分式的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
画树状图如下：
由树状图可知,共有 12 种等可能的结果,其中组成分式的结果有 6 种,
所以组成分式的概率是$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.
故选 A.
【知识点】
分式的定义；树状图法求概率；概率公式
【点评】
本题将分式的概念和概率计算相结合，解题的关键是准确区分整式和分式，同时注意不放回抽取的计数规则，避免多算或漏算结果，属于基础类综合题。
【难度系数】
0.7

3.「2026山东日照五莲期中」如果从1,2,3,4中随机选取一个数,记为m,再从这四个数中随机选取一个数,记为n,则关于y的一元二次方程$my^2 +4y +n=0$没有实数根的概率为 ()

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{2}{3}$

画树状图如图：
共有 16 种等可能的结果,其中满足 $\Delta=16-4mn＜0$,即$mn＞4$的结果有$(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)$,$(4,2),(4,3),(4,4)$,共 8 种,则关于 y 的一元二次方程$my^2+4y+n=0$没有实数根的概率为$\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$.故选 A.

【分析】
本题是一元二次方程根的判别式与概率计算的综合题，解题思路可分为三步：首先确定总等可能结果数，m和n均从1~4中随机选取，可通过树状图或列表法得到共16种等可能的结果；其次明确一元二次方程无实根的条件，本题m取值均不为0，只需满足判别式Δ＜0，代入系数化简可得mn＞4；最后统计满足mn＞4的结果数量，结合概率公式计算即可得到所求概率。
【解析】
画树状图如图：
共有16种等可能的结果，关于y的一元二次方程$my^2 +4y +n=0$没有实数根，需满足$\Delta=16-4mn＜0$，即$mn＞4$。
满足$mn＞4$的结果有$(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)$，共8种。
则所求概率为$\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
树状图法求概率、一元二次方程根的判别式、概率公式
【点评】
本题结合了代数与概率两个模块的知识，既要求熟练掌握一元二次方程根的判别式的应用，也需要准确用树状图枚举所有等可能情况，解题时要注意仔细核对符合条件的组合，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.6

4.有6张正面分别标有数-2,-1,0,2,4,6的不透明卡片,它们的背面完全相同,现将它们背面朝上,洗匀后从中任取一张,将该卡片上的数记为a,则使关于x的不等式组$\begin{cases}2x＞3x-3, \\3x-a＞5\end{cases}$有实数解的概率为 ______ .

答案 $\frac{2}{3}$
解析 $\begin{cases}2x＞3x-3①,\\3x-a＞5②,\end{cases}$由①得 $x＜3$,由②得 $x＞\frac{a+5}{3}$,
∴ 当 $\frac{a+5}{3}＜3$, 即 $a＜4$ 时, 关于 $x$ 的不等式组$\begin{cases}2x＞3x-3,\\3x-a＞5\end{cases}$有实数解,
∵ 共有 6 种等可能的结果,其中小于 4 的数有 4 个,
∴ 使关于 $x$ 的不等式组$\begin{cases}2x＞3x-3,\\3x-a＞5\end{cases}$有实数解的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
故答案为$\frac{2}{3}$.

【分析】
本题是不等式组与概率结合的综合题，解题思路分三步：第一步先分别求解不等式组中的两个不等式，得到两个关于x的解集；第二步根据不等式组有实数解的条件，即两个解集存在公共部分，推导得出参数a的取值范围；第三步统计给定的6个数中符合a取值范围的个数，再结合概率公式（符合条件的情况数÷总情况数）计算概率即可。
【解析】
首先解不等式组$\begin{cases}2x＞3x-3①, \\3x-a＞5②\end{cases}$
解不等式①：移项得$2x-3x＞-3$，即$-x＞-3$，系数化为1得$x＜3$；
解不等式②：移项得$3x＞a+5$，系数化为1得$x＞\frac{a+5}{3}$；
若不等式组有实数解，则两个解集存在公共部分，即$\frac{a+5}{3}＜3$，
解这个关于a的不等式：两边同乘3得$a+5＜9$，解得$a＜4$。
已知卡片上的数为-2,-1,0,2,4,6，共6种等可能的抽取结果，其中满足a＜4的数有-2,-1,0,2，共4种，
因此概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
解一元一次不等式组，不等式组解集判定，概率公式
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查学生对不等式组解集的理解和概率公式的应用，解题时需注意不等式组有解的判定条件不要混淆，计算概率时要准确统计符合条件的结果数。
【难度系数】
0.7

5.「2026 浙江嘉兴平湖期中」一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，球上分别标有数-1,1,2.第一次从袋中任意摸出一个小球(不放回)，摸出的球上的数作为点 M 的横坐标 x，再从袋中余下的两个小球中任意摸出一个小球，摸出的球上的数作为点 M 的纵坐标 y.
(1)用列表法或画树状图法列出点 M(x,y)的所有可能结果.
(2)求点 M(x,y)在二次函数 $y=x^2+1$ 的图象上的概率.

解析 (1)列表如下：
| 第一次\第二次 | -1 | 1 | 2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| -1 | | $(-1,1)$ | $(-1,2)$ |
| 1 | $(1,-1)$ | | $(1,2)$ |
| 2 | $(2,-1)$ | $(2,1)$ | |
共有 6 种等可能的结果.
(2)由表格可知,点 $M(x,y)$ 在二次函数 $y=x^2+1$ 的图象上的结果有 $(-1,2),(1,2)$,共 2 种,
∴ 点 $M(x,y)$ 在二次函数 $y=x^2+1$ 的图象上的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

【分析】
(1) 该试验属于不放回的两步随机试验，第一次摸球有3种等可能结果，第二次摸球对应每次第一次的结果，都有2种剩余的等可能结果，可通过列表法梳理所有结果，注意两次摸出的数字不会重复，排除横、纵坐标相同的情况即可得到所有点M的坐标。
(2) 若点在二次函数图象上，则点的横、纵坐标满足函数解析式，只需将第一问得到的所有坐标逐一代入$y=x^2+1$验证，统计符合条件的结果数，再根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数）计算即可。
【解析】
(1) 列表如下：
| 第一次\第二次 | -1 | 1 | 2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| -1 | | $(-1,1)$ | $(-1,2)$ |
| 1 | $(1,-1)$ | | $(1,2)$ |
| 2 | $(2,-1)$ | $(2,1)$ | |
由表格可知，共有6种等可能的结果。
(2) 将各点代入$y=x^2+1$验证：
当$x=-1$时，$y=(-1)^2+1=2$，故$(-1,2)$符合；
当$x=1$时，$y=1^2+1=2$，故$(1,2)$符合；
当$x=2$时，$y=2^2+1=5$，没有对应符合的点。
因此点$M(x,y)$在二次函数图象上的结果共2种，
则所求概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) 点$M(x,y)$的所有可能结果为$(-1,1)$、$(-1,2)$、$(1,-1)$、$(1,2)$、$(2,-1)$、$(2,1)$，共6种；
(2) $\frac{1}{3}$
【知识点】
1. 列表法求等可能事件结果
2. 二次函数图象上点的坐标特征
3. 概率公式
【点评】
本题是概率与二次函数的基础综合题，解题时需注意不放回试验的特点，避免出现结果重复或遗漏的问题，代入函数验证坐标时要注意计算准确，是巩固两类基础知识点的典型习题。
【难度系数】
0.7

6.在3张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形ABCD是平行四边形；②四边形ABCD的对角线相等；③四边形ABCD的对角线互相垂直.将这3张小纸条做成3支签，放在一个不透明的盒子中.
(1)搅匀后从中任意抽出1支签，抽到条件③的概率是.
(2)搅匀后先从中任意抽出1支签(不放回)，再从余下的2支签中任意抽出1支签.四边形ABCD同时满足抽到的2支签上的条件，求四边形ABCD一定是菱形的概率.

解析 (1)$\frac{1}{3}$.
(2)画树状图如图：
共有 6 种等可能的结果,其中四边形 ABCD 一定是菱形的结果有①③,③①,共 2 种,
∴ 四边形 ABCD 一定是菱形的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

【分析】
(1)第一问属于简单古典概型问题，总共有3种等可能的抽取结果，抽到条件③的结果仅1种，直接套用概率公式“$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$”即可求解。
(2)第二问是不放回的两步抽取问题，首先通过画树状图列出所有等可能的抽取结果，再结合菱形的判定定理筛选出能让四边形一定是菱形的条件组合，最后代入概率公式计算即可。注意：仅当同时满足“是平行四边形”和“对角线互相垂直”时，四边形才一定是菱形，仅对角线相等且垂直的四边形无法判定为菱形。
【解析】
(1) 盒内共有3支签，抽取每支签的可能性均等，抽到条件③的情况共1种，因此抽到条件③的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 不放回抽取2支签，树状图如下：

由树状图可得，共有6种等可能的结果：①②、①③、②①、②③、③①、③②。根据菱形判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可知同时抽到①和③时四边形一定是菱形，符合要求的结果有①③、③①共2种，因此四边形ABCD一定是菱形的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 画树状图如图：
共有 6 种等可能的结果,其中四边形 ABCD 一定是菱形的结果有①③,③①,共 2 种,
∴ 四边形 ABCD 一定是菱形的概率为$\frac{1}{3}$。
【知识点】
古典概型计算，树状图法求概率，菱形的判定
【点评】
本题是概率与几何判定的综合题型，既考查了不放回事件的概率求解方法，也要求学生熟练掌握菱形的判定定理，解题时需注意准确计数抽取结果，同时避免因几何判定定理混淆出错。
【难度系数】
0.7