综合与实践 猜想、证明与拓广 ＞＞练实践 答案D74
问题情境
任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?某数学学习兴趣小组对此进行了探究.
探究
如图所示,矩形ABCD的长为2,宽为1,是否存在矩形$A_1B_1C_1D_1$,使其周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的2倍?若存在,请求出矩形$A_1B_1C_1D_1$的长和宽;若不存在,请说明理由.
结论
已知矩形ABCD的长为$m$,宽为$n$,是否存在矩形$A_2B_2C_2D_2$,使其周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的2倍?若存在,请求出矩形$A_2B_2C_2D_2$的长和宽(用含$m,n$的代数式表示即可);若不存在,请说明理由.
应用
已知矩形ABCD的长为30,宽为13,若矩形$A_3B_3C_3D_3$的周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的2倍,运用以上结论,可知矩形$A_3B_3C_3D_3$的长是,宽是.
拓广
已知矩形ABCD的长为$m$,宽为$n$.
(1)是否存在矩形$A_4B_4C_4D_4$,使其周长和面积分别是矩形ABCD周长和面积的3倍?
(2)是否存在矩形$A_5B_5C_5D_5$,使其周长和面积分别是矩形ABCD周长和面积的$\frac{1}{3}$?

探究:存在.
∵ 矩形ABCD的长为2,宽为1,
∴ 矩形ABCD的周长为6,面积为2,则所求矩形$A_1B_1C_1D_1$的周长为12,面积为4.设矩形$A_1B_1C_1D_1$的一边长为x,根据题意可得方程x(6-x)=4,解得$x_1=3+\sqrt{5},x_2=3-\sqrt{5}$,可知矩形$A_1B_1C_1D_1$的长为$3+\sqrt{5}$,宽为$3-\sqrt{5}$.
结论:存在.因为矩形ABCD的长为m,宽为n,所以矩形ABCD的周长为2(m+n),面积为mn,设矩形$A_2B_2C_2D_2$的长为x,宽为y,则$\begin{cases} x+y=2(m+n),\\ xy=2mn, \end{cases}$可转化为$x^2-(2m+2n)x+2mn=0$,解得$x_1=n+m+\sqrt{n^2+m^2},x_2=n+m-\sqrt{n^2+m^2}$(舍去),即$x=m+n+\sqrt{m^2+n^2}$,所以$y=m+n-\sqrt{m^2+n^2}$,所以矩形$A_2B_2C_2D_2$的长为$m+n+\sqrt{m^2+n^2}$,宽为$m+n-\sqrt{m^2+n^2}$.
应用:因为矩形ABCD的长为30,宽为13,矩形$A_3B_3C_3D_3$的周长和面积分别是矩形ABCD周长和面积的2倍,所以矩形$A_3B_3C_3D_3$的长为$30+13+\sqrt{30^2+13^2}=43+\sqrt{1069}$,宽为$30+13-\sqrt{30^2+13^2}=43-\sqrt{1069}$.
拓广:
(1)因为矩形ABCD的长为m,宽为n,所以矩形ABCD的周长为2(m+n),面积为mn,设矩形$A_4B_4C_4D_4$的长为x,宽为y,则$\begin{cases} x+y=3(m+n),\\ xy=3mn, \end{cases}$可转化为$x^2-(3m+3n)x+3mn=0$,
∵ m＞0,n＞0,
∴ $\Delta=[-(3m+3n)]^2-4×3mn=9m^2+9n^2+6mn=(3m+n)^2+8n^2＞0$,
∴ 该方程有实数根,
∴ 存在符合题意的矩形$A_4B_4C_4D_4$.
(2)设矩形$A_5B_5C_5D_5$的长为x,宽为y,则$\begin{cases} x+y=\frac{1}{3}(m+n),\\ xy=\frac{1}{3}mn, \end{cases}$可转化为$x^2-\frac{1}{3}(m+n)x+\frac{1}{3}mn=0$,$\Delta=[-\frac{1}{3}(m+n)]^2-4×\frac{1}{3}mn=\frac{m^2-10mn+n^2}{9}$,当$m^2-10mn+n^2\ge0$,即$\Delta\ge0$时,方程有实数根,存在满足条件的矩形$A_5B_5C_5D_5$,否则不存在.

【分析】
这道题是矩形周长、面积相关的探究类问题，解题思路如下：1. 先从特殊值的矩形入手，先计算原矩形的周长和面积，得到目标矩形的周长、面积要求，设未知边长，根据“周长固定则邻边和固定，结合面积关系列一元二次方程”，求解方程判断是否存在符合要求的矩形并得到边长；2. 推广到一般的长为m、宽为n的矩形，用同样的思路列方程组，转化为一元二次方程后用求根公式得到通用的边长表达式；3. 应用部分直接代入通用结论计算即可；4. 拓广部分分别针对3倍、$\frac{1}{3}$倍的情况列方程，通过判别式Δ的正负判断方程是否有正实根，进而判断矩形是否存在。整体核心是用方程模型解决存在性问题。
【解析】
探究
已知矩形ABCD长为2，宽为1，其周长为$2×(2+1)=6$，面积为$2×1=2$，因此所求矩形$A_1B_1C_1D_1$周长为$2×6=12$，面积为$2×2=4$。
设矩形$A_1B_1C_1D_1$的一边长为x，则邻边长为$12÷2 -x=6-x$，根据面积列方程：
$x(6-x)=4$
整理得$x^2-6x+4=0$，解得$x_1=3+\sqrt{5}$，$x_2=3-\sqrt{5}$，长大于宽，因此长为$3+\sqrt{5}$，宽为$3-\sqrt{5}$，存在该矩形。
结论
已知原矩形长为m、宽为n，其周长为$2(m+n)$，面积为$mn$，因此所求矩形$A_2B_2C_2D_2$周长为$4(m+n)$，面积为$2mn$。设其长为x，宽为y，可得：
$\begin{cases} x+y=2(m+n)\\ xy=2mn \end{cases}$
将$y=2(m+n)-x$代入面积公式，得$x^2-2(m+n)x+2mn=0$，判别式$\Delta=4(m+n)^2-8mn=4(m^2+n^2)＞0$，方程有两个正实根，解得$x=m+n\pm\sqrt{m^2+n^2}$。
因长大于宽，故长为$m+n+\sqrt{m^2+n^2}$，宽为$m+n-\sqrt{m^2+n^2}$，存在该矩形。
应用
将m=30，n=13代入上述结论：
长$=30+13+\sqrt{30^2+13^2}=43+\sqrt{1069}$，宽$=30+13-\sqrt{30^2+13^2}=43-\sqrt{1069}$。
拓广
(1) 目标矩形周长为$6(m+n)$，面积为$3mn$，设长为x、宽为y，可得：
$\begin{cases} x+y=3(m+n)\\ xy=3mn \end{cases}$
转化为方程$x^2-3(m+n)x+3mn=0$，判别式$\Delta=9(m+n)^2-12mn=9m^2+6mn+9n^2=(3m+n)^2+8n^2$，因$m＞0,n＞0$，故$\Delta＞0$，方程有正实根，存在符合要求的矩形。
(2) 目标矩形周长为$\frac{2}{3}(m+n)$，面积为$\frac{1}{3}mn$，设长为x、宽为y，可得：
$\begin{cases} x+y=\frac{1}{3}(m+n)\\ xy=\frac{1}{3}mn \end{cases}$
转化为方程$x^2-\frac{1}{3}(m+n)x+\frac{1}{3}mn=0$，判别式$\Delta=\frac{(m+n)^2}{9}-\frac{4}{3}mn=\frac{m^2-10mn+n^2}{9}$。当$\Delta≥0$即$m^2-10mn+n^2≥0$时，方程有正实根，存在符合要求的矩形，否则不存在。
【答案】
探究：存在，长为$3+\sqrt{5}$，宽为$3-\sqrt{5}$；
结论：存在，长为$m+n+\sqrt{m^2+n^2}$，宽为$m+n-\sqrt{m^2+n^2}$；
应用：$43+\sqrt{1069}$，$43-\sqrt{1069}$；
拓广：(1)存在；(2)当$m^2-10mn+n^2≥0$时存在，否则不存在。
【知识点】
一元二次方程应用；矩形周长与面积计算；根的判别式应用
【点评】
本题采用从特殊到一般的探究思路，以矩形的周长、面积探究为载体，通过建立方程模型解决存在性问题，既考查了方程的相关计算，也能锻炼探究归纳和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6