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1.「2025贵州中考」某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表：
则估计抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率为
（
A.0.52
B.0.55
C.0.58
D.0.63
则估计抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率为
（
B
）A.0.52
B.0.55
C.0.58
D.0.63
答案
根据题表中数据可知,随着抛掷次数的增加,“正面朝上”的频率逐渐稳定在0.55附近,估计抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率为0.55.故选B.
解析
【分析】
解决这道题首先要明确用频率估计概率的原理：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生概率的估计值。接下来我们只需要观察表格中随着抛掷次数增加，“正面朝上”的频率最终稳定在哪个数值附近，该数值就是我们要找的概率估计值。
【解析】
观察表格中的数据可以发现：当抛掷次数较少时，“正面朝上”的频率波动较大，随着抛掷次数不断增加，频率逐渐趋于稳定，当抛掷次数超过160次后，频率一直稳定在0.55附近。根据用频率估计概率的规则，频率的稳定值即为概率的估计值，因此抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率估计为0.55。故选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率、频率的稳定性
【点评】
本题考查频率估计概率的基础应用，解题关键是理解大量重复试验下频率与概率的关系，结合表格数据找到稳定的频率值即可得到答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要明确用频率估计概率的原理：在大量重复试验中，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件发生概率的估计值。接下来我们只需要观察表格中随着抛掷次数增加，“正面朝上”的频率最终稳定在哪个数值附近，该数值就是我们要找的概率估计值。
【解析】
观察表格中的数据可以发现：当抛掷次数较少时，“正面朝上”的频率波动较大，随着抛掷次数不断增加，频率逐渐趋于稳定，当抛掷次数超过160次后，频率一直稳定在0.55附近。根据用频率估计概率的规则，频率的稳定值即为概率的估计值，因此抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率估计为0.55。故选B。
【答案】
B
【知识点】
用频率估计概率、频率的稳定性
【点评】
本题考查频率估计概率的基础应用，解题关键是理解大量重复试验下频率与概率的关系，结合表格数据找到稳定的频率值即可得到答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
2.「2026吉林长春吉大附中期中」某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图所示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（
A.掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B.掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现的点数是2
C.从只装有2张黑桃和1张红桃（除花色外都相同）的扑克牌中随机抽取一张，抽出的牌是红桃
D.同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上
C
）A.掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B.掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现的点数是2
C.从只装有2张黑桃和1张红桃（除花色外都相同）的扑克牌中随机抽取一张，抽出的牌是红桃
D.同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上
答案
由题图可知,该事件发生的频率稳定在0.33附近,所以估计该事件发生的概率为$\frac{1}{3}$.
选项A,掷一枚质地均匀的硬币,正面向上的概率为$\frac{1}{2}$,不符合题意；
选项B,掷一枚质地均匀的骰子,出现的点数是2的概率为$\frac{1}{6}$,不符合题意；
选项C,从只装有2张黑桃和1张红桃(除花色外都相同)的扑克牌中随机抽取一张,抽出的牌是红桃的概率为$\frac{1}{3}$,符合题意；
选项D,同时掷两枚质地均匀的硬币,一枚硬币正面向上,一枚硬币反面向上的概率为$\frac{1}{2}$,不符合题意.故选C.
选项A,掷一枚质地均匀的硬币,正面向上的概率为$\frac{1}{2}$,不符合题意；
选项B,掷一枚质地均匀的骰子,出现的点数是2的概率为$\frac{1}{6}$,不符合题意；
选项C,从只装有2张黑桃和1张红桃(除花色外都相同)的扑克牌中随机抽取一张,抽出的牌是红桃的概率为$\frac{1}{3}$,符合题意；
选项D,同时掷两枚质地均匀的硬币,一枚硬币正面向上,一枚硬币反面向上的概率为$\frac{1}{2}$,不符合题意.故选C.
解析
【分析】
解决本题首先要明确用频率估计概率的原理：大量重复试验下，事件发生的频率的稳定值即为该事件的概率。第一步先观察统计图，判断该事件频率的稳定值约为0.33，即概率约为$\frac{1}{3}$；第二步分别计算四个选项对应事件的概率，选出概率为$\frac{1}{3}$的选项即可。
【解析】
由题图可知，随着试验次数增加，该事件发生的频率稳定在0.33附近，因此估计该事件发生的概率约为$\frac{1}{3}$。
对各选项逐一分析：
A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为$\frac{1}{2}$，不符合题意；
B. 掷一枚质地均匀的骰子，出现点数是2的概率为$\frac{1}{6}$，不符合题意；
C. 扑克牌共$2+1=3$张，其中红桃有1张，随机抽取一张是红桃的概率为$\frac{1}{3}$，符合题意；
D. 同时掷两枚质地均匀的硬币，可能出现的结果有正正、正反、反正、反反共4种，一枚正面向上一枚反面向上的情况有2种，概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率；简单事件概率计算
【点评】
本题是概率部分的基础题型，考查对频率与概率关系的理解，以及简单随机事件概率的计算能力，解题的核心是先从统计图中提取频率稳定值，再匹配对应概率的事件。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确用频率估计概率的原理：大量重复试验下，事件发生的频率的稳定值即为该事件的概率。第一步先观察统计图，判断该事件频率的稳定值约为0.33，即概率约为$\frac{1}{3}$；第二步分别计算四个选项对应事件的概率，选出概率为$\frac{1}{3}$的选项即可。
【解析】
由题图可知，随着试验次数增加，该事件发生的频率稳定在0.33附近，因此估计该事件发生的概率约为$\frac{1}{3}$。
对各选项逐一分析：
A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为$\frac{1}{2}$，不符合题意；
B. 掷一枚质地均匀的骰子，出现点数是2的概率为$\frac{1}{6}$，不符合题意；
C. 扑克牌共$2+1=3$张，其中红桃有1张，随机抽取一张是红桃的概率为$\frac{1}{3}$，符合题意；
D. 同时掷两枚质地均匀的硬币，可能出现的结果有正正、正反、反正、反反共4种，一枚正面向上一枚反面向上的情况有2种，概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
用频率估计概率；简单事件概率计算
【点评】
本题是概率部分的基础题型，考查对频率与概率关系的理解，以及简单随机事件概率的计算能力，解题的核心是先从统计图中提取频率稳定值，再匹配对应概率的事件。
【难度系数】
0.7
3.「2026重庆月考」一个密闭不透明的盒子里有若干个白球,在不许将球倒出来数的情况下,为了估计白球数,小刚向其中放入了8个黑球,搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色,再把它放回盒中,不断重复这一过程,共摸球400次,其中80次摸到黑球,则估计盒中有
32
个白球.答案
答案 32
解析 设盒子里有白球x个,根据题意得$\frac{8}{x+8}=\frac{80}{400}$,解得x=32,经检验,x=32是方程的解,且符合题意,所以估计盒中有32个白球.故答案为32.
解析 设盒子里有白球x个,根据题意得$\frac{8}{x+8}=\frac{80}{400}$,解得x=32,经检验,x=32是方程的解,且符合题意,所以估计盒中有32个白球.故答案为32.
解析
【分析】
这是利用频率估计概率的实际应用题，解题思路如下：首先，大量重复摸球试验中，摸到黑球的频率会稳定在黑球占总球数的概率附近，因此可以用摸到黑球的频率近似代替黑球的概率。其次设盒中白球有x个，放入8个黑球后总球数为(x+8)个，黑球的概率为黑球数量除以总球数，即$\frac{8}{x+8}$，而400次摸球中80次摸到黑球，摸到黑球的频率为$\frac{80}{400}$，二者相等即可列方程，最后解方程并检验即可得到白球数量。
【解析】
设盒子里有白球$x$个，根据题意得：
$\frac{8}{x+8}=\frac{80}{400}$
化简得$\frac{8}{x+8}=\frac{1}{5}$
交叉相乘得：$x+8=40$
解得$x=32$
经检验，$x=32$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
32
【知识点】
用频率估计概率、概率公式、分式方程的应用
【点评】
本题结合实际场景考查统计与概率的综合应用，解题核心是理解大量重复试验下频率可作为概率的估计值，结合概率公式建立方程求解即可，注意分式方程求出解后需要检验是否符合题意。
【难度系数】
0.7
这是利用频率估计概率的实际应用题，解题思路如下：首先，大量重复摸球试验中，摸到黑球的频率会稳定在黑球占总球数的概率附近，因此可以用摸到黑球的频率近似代替黑球的概率。其次设盒中白球有x个，放入8个黑球后总球数为(x+8)个，黑球的概率为黑球数量除以总球数，即$\frac{8}{x+8}$，而400次摸球中80次摸到黑球，摸到黑球的频率为$\frac{80}{400}$，二者相等即可列方程，最后解方程并检验即可得到白球数量。
【解析】
设盒子里有白球$x$个，根据题意得：
$\frac{8}{x+8}=\frac{80}{400}$
化简得$\frac{8}{x+8}=\frac{1}{5}$
交叉相乘得：$x+8=40$
解得$x=32$
经检验，$x=32$是原分式方程的解，且符合实际意义。
【答案】
32
【知识点】
用频率估计概率、概率公式、分式方程的应用
【点评】
本题结合实际场景考查统计与概率的综合应用，解题核心是理解大量重复试验下频率可作为概率的估计值，结合概率公式建立方程求解即可，注意分式方程求出解后需要检验是否符合题意。
【难度系数】
0.7
4.「2025江苏盐城大丰期中」下面是某校生物兴趣小组在相同试验条件下,对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据:
(1)上表中的$x=$
(2)任取一粒这种植物种子,它能发芽的概率的估计值是
(3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵,试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育.
(1)上表中的$x=$
1425
.(2)任取一粒这种植物种子,它能发芽的概率的估计值是
0.95
(精确到0.01).(3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵,试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育.
答案
(1)$x=1\ 500×0.950=1\ 425$,故答案为1 425.
(2)0.95.
(3)$9\ 500÷0.95=10\ 000$(粒).
答:估算需要准备10 000粒种子进行发芽培育.
(2)0.95.
(3)$9\ 500÷0.95=10\ 000$(粒).
答:估算需要准备10 000粒种子进行发芽培育.
解析
【分析】
(1) 发芽频率的计算公式为“发芽频率=发芽的粒数÷试验的种子数”，将公式变形可得“发芽的粒数=试验的种子数×发芽频率”，对应表格中n=1500时的发芽频率为0.950，代入公式即可求出x的值。
(2) 根据用频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是概率的估计值。观察表格中频率的波动趋势，结合精确到0.01的要求就能得到结果。
(3) 已知需要的发芽幼苗数量和发芽概率的估计值，用需要的幼苗数量除以发芽概率，即可估算出需要准备的种子总数。
【解析】
(1) 根据发芽频率公式$\frac{m}{n}=0.950$，其中试验种子数$n=1500$，因此$x=1500×0.950=1425$。
(2) 观察表格数据，随着试验种子数不断增加，发芽频率稳定在0.95附近，因此任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率估计值为0.95（精确到0.01）。
(3) 已知需要幼苗9500棵，发芽概率约为0.95，因此需要准备的种子数为$9500÷0.95=10000$（粒）。
【答案】
(1)1425；(2)0.95；(3)需要准备10000粒种子进行发芽培育。
【知识点】
频率的计算，用频率估计概率，概率的实际应用
【点评】
本题考查频率与概率的相关知识，解题核心是理解大量重复试验下频率可作为概率的估计值，整体考查的都是基础知识点，掌握相关概念和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
(1) 发芽频率的计算公式为“发芽频率=发芽的粒数÷试验的种子数”，将公式变形可得“发芽的粒数=试验的种子数×发芽频率”，对应表格中n=1500时的发芽频率为0.950，代入公式即可求出x的值。
(2) 根据用频率估计概率的原理，当试验次数足够多时，频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是概率的估计值。观察表格中频率的波动趋势，结合精确到0.01的要求就能得到结果。
(3) 已知需要的发芽幼苗数量和发芽概率的估计值，用需要的幼苗数量除以发芽概率，即可估算出需要准备的种子总数。
【解析】
(1) 根据发芽频率公式$\frac{m}{n}=0.950$，其中试验种子数$n=1500$，因此$x=1500×0.950=1425$。
(2) 观察表格数据，随着试验种子数不断增加，发芽频率稳定在0.95附近，因此任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率估计值为0.95（精确到0.01）。
(3) 已知需要幼苗9500棵，发芽概率约为0.95，因此需要准备的种子数为$9500÷0.95=10000$（粒）。
【答案】
(1)1425；(2)0.95；(3)需要准备10000粒种子进行发芽培育。
【知识点】
频率的计算，用频率估计概率，概率的实际应用
【点评】
本题考查频率与概率的相关知识，解题核心是理解大量重复试验下频率可作为概率的估计值，整体考查的都是基础知识点，掌握相关概念和公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
5.课外活动时,王老师把自己的一串钥匙交给李强让他去取一本书,但李强不小心把王老师告诉他开办公桌的这把钥匙的特征忘记了.已知这串钥匙共有8把,请你用计算器模拟试验的方法估算他一次试开成功的概率.(只需写出用计算器模拟试验的方法)
答案
把8把钥匙编号,依次为1,2,3,4,5,6,7,8.
假设开办公桌的钥匙的编号为1.
利用计算器在1~8之间产生一个随机整数,如果这个随机整数是1,就会试开成功,否则不会成功.
第一步:利用计算器在1~8之间产生随机整数.
第二步:将数据填入统计表中.
多次重复第一步、第二步的操作.
第三步:根据频率估计一次试开成功的概率.
假设开办公桌的钥匙的编号为1.
利用计算器在1~8之间产生一个随机整数,如果这个随机整数是1,就会试开成功,否则不会成功.
第一步:利用计算器在1~8之间产生随机整数.
第二步:将数据填入统计表中.
多次重复第一步、第二步的操作.
第三步:根据频率估计一次试开成功的概率.
解析
【分析】
要估算一次试开成功的概率，本质是求从8种等可能结果中恰好选中指定1种结果的概率。设计计算器模拟试验的思路如下：首先将实际试验转化为随机数生成问题，给8把钥匙编号，将“试开成功”对应为一个固定编号；再用计算器生成1~8范围内的随机数模拟试开的过程；最后通过多次重复试验，统计成功的频率，即可用频率估计一次试开成功的概率。
【解析】
第一步：对8把钥匙进行编号，依次为1,2,3,4,5,6,7,8，约定能打开办公桌的钥匙编号为1；
第二步：操作计算器生成1~8之间的随机整数，若生成的数为1则代表试开成功，否则代表试开失败；
第三步：多次重复生成随机数的操作，每次都将试验结果记录到统计表中；
第四步：统计所有试验中试开成功的频率，用该频率估算一次试开成功的概率。
【答案】
把8把钥匙编号,依次为1,2,3,4,5,6,7,8.
假设开办公桌的钥匙的编号为1.
利用计算器在1~8之间产生一个随机整数,如果这个随机整数是1,就会试开成功,否则不会成功.
第一步:利用计算器在1~8之间产生随机整数.
第二步:将数据填入统计表中.
多次重复第一步、第二步的操作.
第三步:根据频率估计一次试开成功的概率.
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 模拟试验设计
3. 随机事件概率
【点评】
本题结合生活场景考查模拟试验的设计方法，能帮助学生加深对大量重复试验下频率趋近于概率这一规律的理解，锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
要估算一次试开成功的概率，本质是求从8种等可能结果中恰好选中指定1种结果的概率。设计计算器模拟试验的思路如下：首先将实际试验转化为随机数生成问题，给8把钥匙编号，将“试开成功”对应为一个固定编号；再用计算器生成1~8范围内的随机数模拟试开的过程；最后通过多次重复试验，统计成功的频率，即可用频率估计一次试开成功的概率。
【解析】
第一步：对8把钥匙进行编号，依次为1,2,3,4,5,6,7,8，约定能打开办公桌的钥匙编号为1；
第二步：操作计算器生成1~8之间的随机整数，若生成的数为1则代表试开成功，否则代表试开失败；
第三步：多次重复生成随机数的操作，每次都将试验结果记录到统计表中；
第四步：统计所有试验中试开成功的频率，用该频率估算一次试开成功的概率。
【答案】
把8把钥匙编号,依次为1,2,3,4,5,6,7,8.
假设开办公桌的钥匙的编号为1.
利用计算器在1~8之间产生一个随机整数,如果这个随机整数是1,就会试开成功,否则不会成功.
第一步:利用计算器在1~8之间产生随机整数.
第二步:将数据填入统计表中.
多次重复第一步、第二步的操作.
第三步:根据频率估计一次试开成功的概率.
【知识点】
1. 用频率估计概率
2. 模拟试验设计
3. 随机事件概率
【点评】
本题结合生活场景考查模拟试验的设计方法，能帮助学生加深对大量重复试验下频率趋近于概率这一规律的理解，锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
