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1 [2025无锡]$a^3 - 4a$分解因式的结果是（
A.$a(a^2 + 4)$
B.$a(a - 4)$
C.$a(a + 2)(a - 2)$
D.$a(a^2 - 1)$
C
）A.$a(a^2 + 4)$
B.$a(a - 4)$
C.$a(a + 2)(a - 2)$
D.$a(a^2 - 1)$
答案
C
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的基本思路，首先观察多项式是否存在公因式，本题中两项均含有公因式$a$，先提取公因式，再判断提取后剩余的多项式的特征，剩余的$a^2-4$符合平方差公式的形式，可套用平方差公式继续分解，最后确认分解彻底后对应选项即可。
【解析】
对$a^3 - 4a$分解因式步骤如下：
1. 提取公因式$a$：
$a^3 - 4a = a(a^2 - 4)$
2. 利用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$分解$a^2-4$，其中$m=a$，$n=2$：
$a^2 - 4 = (a+2)(a-2)$
综上，$a^3 - 4a = a(a+2)(a-2)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，核心考查因式分解的基本操作顺序，需注意分解要彻底，直到每个因式都无法再分解为止。
【难度系数】
0.8
分解因式遵循“一提二套三查”的基本思路，首先观察多项式是否存在公因式，本题中两项均含有公因式$a$，先提取公因式，再判断提取后剩余的多项式的特征，剩余的$a^2-4$符合平方差公式的形式，可套用平方差公式继续分解，最后确认分解彻底后对应选项即可。
【解析】
对$a^3 - 4a$分解因式步骤如下：
1. 提取公因式$a$：
$a^3 - 4a = a(a^2 - 4)$
2. 利用平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$分解$a^2-4$，其中$m=a$，$n=2$：
$a^2 - 4 = (a+2)(a-2)$
综上，$a^3 - 4a = a(a+2)(a-2)$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础常考题，核心考查因式分解的基本操作顺序，需注意分解要彻底，直到每个因式都无法再分解为止。
【难度系数】
0.8
2 把多项式$4x^2 - 36$分解因式，结果正确的是（
A.$(2x + 6)(2x - 6)$
B.$4(x - 3)^2$
C.$4(x + 3)(x - 3)$
D.$4x(x - \dfrac{9}{x})$
C
）A.$(2x + 6)(2x - 6)$
B.$4(x - 3)^2$
C.$4(x + 3)(x - 3)$
D.$4x(x - \dfrac{9}{x})$
答案
C
解析
【分析】
解决因式分解类题目首先要遵循因式分解的步骤：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步提取公因式后，观察剩余部分是否符合乘法公式（平方差公式或完全平方公式）的特征，若符合则套用公式继续分解；最后要保证分解结果中的每一个因式都不能再分解，且结果为整式的乘积形式。本题我们先找公因式，再套用平方差公式，最后对照选项判断即可。
【解析】
对多项式$4x^2 - 36$分解因式：
第一步：提取公因式4，可得：
$4x^2 - 36=4(x^2 - 9)$
第二步：观察$x^2-9$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征（其中$a=x$，$b=3$），因此继续分解：
$4(x^2 - 9)=4(x+3)(x-3)$
接下来逐一判断选项：
A选项：$(2x+6)(2x-6)$中两个因式还可分别提取公因式2，分解不彻底，错误；
B选项：$4(x - 3)^2=4(x^2-6x+9)=4x^2-24x+36$，与原式不符，错误；
C选项：$4(x + 3)(x - 3)$符合分解结果，正确；
D选项：$4x(x - \dfrac{9}{x})$中含有分式，因式分解的结果必须是整式的乘积，错误。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式；因式分解的基本要求
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题时要严格按照“先提公因式，再用公式”的顺序操作，同时注意因式分解的结果必须满足“分解彻底、全为整式、乘积形式”三个要求，避免出现分解不彻底、公式套用错误、结果形式不符的问题。
【难度系数】
0.8
解决因式分解类题目首先要遵循因式分解的步骤：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步提取公因式后，观察剩余部分是否符合乘法公式（平方差公式或完全平方公式）的特征，若符合则套用公式继续分解；最后要保证分解结果中的每一个因式都不能再分解，且结果为整式的乘积形式。本题我们先找公因式，再套用平方差公式，最后对照选项判断即可。
【解析】
对多项式$4x^2 - 36$分解因式：
第一步：提取公因式4，可得：
$4x^2 - 36=4(x^2 - 9)$
第二步：观察$x^2-9$，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征（其中$a=x$，$b=3$），因此继续分解：
$4(x^2 - 9)=4(x+3)(x-3)$
接下来逐一判断选项：
A选项：$(2x+6)(2x-6)$中两个因式还可分别提取公因式2，分解不彻底，错误；
B选项：$4(x - 3)^2=4(x^2-6x+9)=4x^2-24x+36$，与原式不符，错误；
C选项：$4(x + 3)(x - 3)$符合分解结果，正确；
D选项：$4x(x - \dfrac{9}{x})$中含有分式，因式分解的结果必须是整式的乘积，错误。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式；因式分解的基本要求
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题时要严格按照“先提公因式，再用公式”的顺序操作，同时注意因式分解的结果必须满足“分解彻底、全为整式、乘积形式”三个要求，避免出现分解不彻底、公式套用错误、结果形式不符的问题。
【难度系数】
0.8
3 把$a^3 - 2a^2b + ab^2$分解因式，结果正确的是（
A.$a(a^2 - 2ab + b^2)$
B.$a(a - b)^2$
C.$(a - b)(a^2 - ab)$
D.$a^3 - ab(2a - b)$
B
）A.$a(a^2 - 2ab + b^2)$
B.$a(a - b)^2$
C.$(a - b)(a^2 - ab)$
D.$a^3 - ab(2a - b)$
答案
B
解析
【分析】
拿到因式分解题目，首先遵循“一提二套三查”的思路思考：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题三项都含公因式a，优先提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构，剩余的$a^2 - 2ab + b^2$刚好符合完全平方差公式的形式，可继续分解；第三步检查分解是否彻底、结果是否为整式乘积的形式，最后对应选项判断即可。
【解析】
对$a^3 - 2a^2b + ab^2$分解因式步骤如下：
1. 提取公因式$a$：
$a^3 - 2a^2b + ab^2 = a(a^2 - 2ab + b^2)$
2. 用完全平方公式分解括号内的多项式：
根据完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，可得$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$，因此原式$=a(a-b)^2$。
对选项逐一判断：
A选项未分解彻底，括号内的多项式还可继续用公式分解，错误；
B选项是分解彻底的正确结果，正确；
C选项未分解彻底，第二个因式还能提取公因式a，错误；
D选项不是整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，错误。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，因式分解规则
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查因式分解的常规操作步骤，解题时需牢记“先提公因式、再套公式、最后检查是否彻底”的要求，避免出现分解不彻底、结果不符合因式分解定义的错误。
【难度系数】
0.8
拿到因式分解题目，首先遵循“一提二套三查”的思路思考：第一步先观察多项式各项是否有公因式，本题三项都含公因式a，优先提取公因式；第二步看提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的结构，剩余的$a^2 - 2ab + b^2$刚好符合完全平方差公式的形式，可继续分解；第三步检查分解是否彻底、结果是否为整式乘积的形式，最后对应选项判断即可。
【解析】
对$a^3 - 2a^2b + ab^2$分解因式步骤如下：
1. 提取公因式$a$：
$a^3 - 2a^2b + ab^2 = a(a^2 - 2ab + b^2)$
2. 用完全平方公式分解括号内的多项式：
根据完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，可得$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$，因此原式$=a(a-b)^2$。
对选项逐一判断：
A选项未分解彻底，括号内的多项式还可继续用公式分解，错误；
B选项是分解彻底的正确结果，正确；
C选项未分解彻底，第二个因式还能提取公因式a，错误；
D选项不是整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，错误。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，因式分解规则
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查因式分解的常规操作步骤，解题时需牢记“先提公因式、再套公式、最后检查是否彻底”的要求，避免出现分解不彻底、结果不符合因式分解定义的错误。
【难度系数】
0.8
4 将$4xy^2 - 24xy + 36x$分解因式，结果正确的是（
A.$x(2y + 6)^2$
B.$2x(y - 3)^2$
C.$4x(y - 6)^2$
D.$4x(y - 3)^2$
D
）A.$x(2y + 6)^2$
B.$2x(y - 3)^2$
C.$4x(y - 6)^2$
D.$4x(y - 3)^2$
答案
D
解析
【分析】
分解因式需遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式，注意公因式要提尽；第二步再观察提取公因式后余下的多项式的项数，若为三项则优先考虑完全平方公式分解；最后检查分解是否彻底、是否符合因式分解的要求。本题先找各项公因式，提取后再套用完全平方公式即可得到结果，也可通过展开选项反向验证排除错误答案。
【解析】
对多项式$4xy^2 - 24xy + 36x$分解因式：
1. 提取公因式：观察得各项的公因式为$4x$，提取后可得：
原式$=4x(y^2 - 6y + 9)$
2. 套用完全平方公式：余下的多项式$y^2 -6y +9$符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，其中$a=y$，$b=3$，因此：
$y^2 -6y +9=(y-3)^2$
3. 综上，原式分解结果为$4x(y-3)^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题关键是牢记因式分解的操作顺序，提取公因式时要注意找对最高公因式，套用公式时要准确识别公式对应的结构特征，避免系数、符号判断错误。
【难度系数】
0.8
分解因式需遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式，注意公因式要提尽；第二步再观察提取公因式后余下的多项式的项数，若为三项则优先考虑完全平方公式分解；最后检查分解是否彻底、是否符合因式分解的要求。本题先找各项公因式，提取后再套用完全平方公式即可得到结果，也可通过展开选项反向验证排除错误答案。
【解析】
对多项式$4xy^2 - 24xy + 36x$分解因式：
1. 提取公因式：观察得各项的公因式为$4x$，提取后可得：
原式$=4x(y^2 - 6y + 9)$
2. 套用完全平方公式：余下的多项式$y^2 -6y +9$符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，其中$a=y$，$b=3$，因此：
$y^2 -6y +9=(y-3)^2$
3. 综上，原式分解结果为$4x(y-3)^2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题关键是牢记因式分解的操作顺序，提取公因式时要注意找对最高公因式，套用公式时要准确识别公式对应的结构特征，避免系数、符号判断错误。
【难度系数】
0.8
5 把$8a^3 - 8a^2 + 2a$分解因式，结果正确的是（
A.$2a(4a^2 - 4a + 1)$
B.$8a^2(a - 1)$
C.$2a(2a - 1)^2$
D.$2a(2a + 1)^2$
C
）A.$2a(4a^2 - 4a + 1)$
B.$8a^2(a - 1)$
C.$2a(2a - 1)^2$
D.$2a(2a + 1)^2$
答案
C
解析
【分析】
解决这道因式分解题，首先要遵循因式分解的标准思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，若有则优先提取公因式；第二步再判断提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的特征，继续分解到每个因式都不能再分解为止，最后对应选项验证即可。首先观察原式$8a^3 - 8a^2 + 2a$，各项都含有公因式$2a$，先提取公因式，再判断剩余的二次三项式是否符合完全平方公式的特征，同时要注意避免选到未分解完全的错误选项。
【解析】
对$8a^3 - 8a^2 + 2a$分解因式，步骤如下：
1. 提取公因式$2a$：
$8a^3 - 8a^2 + 2a = 2a(4a^2 - 4a + 1)$
2. 观察括号内的多项式$4a^2 - 4a + 1$，符合完全平方差公式$m^2 - 2mn + n^2 = (m - n)^2$的特征，其中$4a^2=(2a)^2$，$1=1^2$，$-4a=-2×2a×1$，因此：
$4a^2 - 4a + 1 = (2a - 1)^2$
3. 综上，原式分解结果为$2a(2a - 1)^2$。
排除错误选项：A选项未分解完全，不符合因式分解要求；B选项提取公因式运算错误；D选项完全平方公式符号使用错误，因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，因式分解原则
【点评】
本题属于因式分解的基础常规题，考查因式分解的标准操作流程，解题时要注意先提公因式再套用公式，同时要确保分解彻底，运用完全平方公式时注意核对中间项的符号，避免出现符号错误或分解不彻底的问题。
【难度系数】
0.7
解决这道因式分解题，首先要遵循因式分解的标准思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，若有则优先提取公因式；第二步再判断提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式的特征，继续分解到每个因式都不能再分解为止，最后对应选项验证即可。首先观察原式$8a^3 - 8a^2 + 2a$，各项都含有公因式$2a$，先提取公因式，再判断剩余的二次三项式是否符合完全平方公式的特征，同时要注意避免选到未分解完全的错误选项。
【解析】
对$8a^3 - 8a^2 + 2a$分解因式，步骤如下：
1. 提取公因式$2a$：
$8a^3 - 8a^2 + 2a = 2a(4a^2 - 4a + 1)$
2. 观察括号内的多项式$4a^2 - 4a + 1$，符合完全平方差公式$m^2 - 2mn + n^2 = (m - n)^2$的特征，其中$4a^2=(2a)^2$，$1=1^2$，$-4a=-2×2a×1$，因此：
$4a^2 - 4a + 1 = (2a - 1)^2$
3. 综上，原式分解结果为$2a(2a - 1)^2$。
排除错误选项：A选项未分解完全，不符合因式分解要求；B选项提取公因式运算错误；D选项完全平方公式符号使用错误，因此正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法，完全平方公式，因式分解原则
【点评】
本题属于因式分解的基础常规题，考查因式分解的标准操作流程，解题时要注意先提公因式再套用公式，同时要确保分解彻底，运用完全平方公式时注意核对中间项的符号，避免出现符号错误或分解不彻底的问题。
【难度系数】
0.7
6（易错题）分解因式：
（1）$3a(a-2b)+6b(2b-a)=$
（2）$a^2b-25b=$
（3）$3ma^2-6mab+3mb^2=$
（1）$3a(a-2b)+6b(2b-a)=$
$3(a-2b)^2$
；（2）$a^2b-25b=$
$b(a+5)(a-5)$
；（3）$3ma^2-6mab+3mb^2=$
$3m(a-b)^2$
。答案
(1) $3(a-2b)^2$
(2) $b(a+5)(a-5)$
(3) $3m(a-b)^2$
(2) $b(a+5)(a-5)$
(3) $3m(a-b)^2$
解析
【分析】
分解因式需遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步观察提取公因式后的多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的特征，若符合则套用公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，是否还有能继续分解的因式，同时注意符号转换问题。
针对各小题的思考方向：
（1）先注意到(2b-a)与(a-2b)互为相反数，将式子变形为含相同因式(a-2b)的形式，再提取公因式即可完成分解；
（2）先提取公因式b，剩余的a²-25符合平方差公式的特征，套用平方差公式继续分解；
（3）先提取公因式3m，剩余的a²-2ab+b²符合完全平方公式的特征，套用完全平方公式继续分解。
【解析】
（1）先对式子做符号变形，再提取公因式：
原式$=3a(a-2b)-6b(a-2b)$
$=3(a-2b)(a-2b)$
$=3(a-2b)^2$
（2）先提公因式，再套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$：
原式$=b(a^2-25)$
$=b(a^2-5^2)$
$=b(a+5)(a-5)$
（3）先提公因式，再套用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$：
原式$=3m(a^2-2ab+b^2)$
$=3m(a-b)^2$
【答案】
(1) $3(a-2b)^2$
(2) $b(a+5)(a-5)$
(3) $3m(a-b)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
这是因式分解的基础易考题，解题时要注意优先提取公因式，再根据剩余多项式的特征选择对应公式分解，尤其要注意互为相反数的因式的符号转换，最后要检查分解结果是否彻底，避免出现分解不完整或符号错误的问题。
【难度系数】
0.7
分解因式需遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步观察提取公因式后的多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的特征，若符合则套用公式继续分解；第三步检查分解结果是否彻底，是否还有能继续分解的因式，同时注意符号转换问题。
针对各小题的思考方向：
（1）先注意到(2b-a)与(a-2b)互为相反数，将式子变形为含相同因式(a-2b)的形式，再提取公因式即可完成分解；
（2）先提取公因式b，剩余的a²-25符合平方差公式的特征，套用平方差公式继续分解；
（3）先提取公因式3m，剩余的a²-2ab+b²符合完全平方公式的特征，套用完全平方公式继续分解。
【解析】
（1）先对式子做符号变形，再提取公因式：
原式$=3a(a-2b)-6b(a-2b)$
$=3(a-2b)(a-2b)$
$=3(a-2b)^2$
（2）先提公因式，再套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$：
原式$=b(a^2-25)$
$=b(a^2-5^2)$
$=b(a+5)(a-5)$
（3）先提公因式，再套用完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$：
原式$=3m(a^2-2ab+b^2)$
$=3m(a-b)^2$
【答案】
(1) $3(a-2b)^2$
(2) $b(a+5)(a-5)$
(3) $3m(a-b)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
这是因式分解的基础易考题，解题时要注意优先提取公因式，再根据剩余多项式的特征选择对应公式分解，尤其要注意互为相反数的因式的符号转换，最后要检查分解结果是否彻底，避免出现分解不完整或符号错误的问题。
【难度系数】
0.7
7 教材P131例6变式 分解因式：
(1) $3b^3 -27b$；
(2) $x^2y -36y$；
(3) $3am^2 +12amn +12an^2$；
(4) $-mx^2 +8mnx -16mn^2$。
(1) $3b^3 -27b$；
(2) $x^2y -36y$；
(3) $3am^2 +12amn +12an^2$；
(4) $-mx^2 +8mnx -16mn^2$。
答案
(1) $3b(b+3)(b-3)$
(2) $y(x+6)(x-6)$
(3) $3a(m+2n)^2$
(4) $-m(x-4n)^2$
(2) $y(x+6)(x-6)$
(3) $3a(m+2n)^2$
(4) $-m(x-4n)^2$
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步看提取公因式后的剩余多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的特征，符合就套用公式继续分解；第三步检查是否分解到每一个因式都不能再分解为止。
(1)先提取公因式3b，剩余部分是平方差形式，套用平方差公式分解；
(2)先提取公因式y，剩余部分是平方差形式，套用平方差公式分解；
(3)先提取公因式3a，剩余部分是完全平方形式，套用完全平方公式分解；
(4)先提取公因式$-m$（注意提取负号时括号内各项要变号），剩余部分是完全平方形式，套用完全平方公式分解。
【解析】
(1) $\begin{split} &3b^3 -27b\\=&3b(b^2 - 9)\\=&3b(b+3)(b-3) \end{split}$
(2) $\begin{split} &x^2y -36y\\=&y(x^2 - 36)\\=&y(x+6)(x-6) \end{split}$
(3) $\begin{split} &3am^2 +12amn +12an^2\\=&3a(m^2 + 4mn + 4n^2)\\=&3a(m+2n)^2 \end{split}$
(4) $\begin{split} &-mx^2 +8mnx -16mn^2\\=&-m(x^2 - 8nx + 16n^2)\\=&-m(x-4n)^2 \end{split}$
【答案】
(1) $3b(b+3)(b-3)$
(2) $y(x+6)(x-6)$
(3) $3a(m+2n)^2$
(4) $-m(x-4n)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是掌握“一提二套三查”的分解原则，提取公因式时要注意找全公因式，提取负号时记得括号内各项要变号，最后一定要验证因式是否分解彻底，避免出现分解不完全的错误。
【难度系数】
0.8
分解因式遵循“一提二套三查”的步骤：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步看提取公因式后的剩余多项式是否符合平方差公式或完全平方公式的特征，符合就套用公式继续分解；第三步检查是否分解到每一个因式都不能再分解为止。
(1)先提取公因式3b，剩余部分是平方差形式，套用平方差公式分解；
(2)先提取公因式y，剩余部分是平方差形式，套用平方差公式分解；
(3)先提取公因式3a，剩余部分是完全平方形式，套用完全平方公式分解；
(4)先提取公因式$-m$（注意提取负号时括号内各项要变号），剩余部分是完全平方形式，套用完全平方公式分解。
【解析】
(1) $\begin{split} &3b^3 -27b\\=&3b(b^2 - 9)\\=&3b(b+3)(b-3) \end{split}$
(2) $\begin{split} &x^2y -36y\\=&y(x^2 - 36)\\=&y(x+6)(x-6) \end{split}$
(3) $\begin{split} &3am^2 +12amn +12an^2\\=&3a(m^2 + 4mn + 4n^2)\\=&3a(m+2n)^2 \end{split}$
(4) $\begin{split} &-mx^2 +8mnx -16mn^2\\=&-m(x^2 - 8nx + 16n^2)\\=&-m(x-4n)^2 \end{split}$
【答案】
(1) $3b(b+3)(b-3)$
(2) $y(x+6)(x-6)$
(3) $3a(m+2n)^2$
(4) $-m(x-4n)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是掌握“一提二套三查”的分解原则，提取公因式时要注意找全公因式，提取负号时记得括号内各项要变号，最后一定要验证因式是否分解彻底，避免出现分解不完全的错误。
【难度系数】
0.8
8 多项式$4a^2(a-b)+(b-a)$分解因式的结果为
（
A.$(a-b)(4a^2+1)$
B.$(b-a)(4a^2+1)$
C.$(a-b)(2a+1)(2a-1)$
D.$(a-b)(4a^2-1)$
（
C
）A.$(a-b)(4a^2+1)$
B.$(b-a)(4a^2+1)$
C.$(a-b)(2a+1)(2a-1)$
D.$(a-b)(4a^2-1)$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先观察多项式的项的特征，发现存在互为相反数的因式$(a-b)$和$(b-a)$，第一步先统一因式的形式，将$(b-a)$变形为$-(a-b)$，即可找到公因式$(a-b)$；提取公因式后，再判断剩余的多项式能否继续分解，此处剩余的$4a^2-1$符合平方差公式的形式，需用平方差公式继续分解，直到每个因式都不能再分解为止，即可得到最终结果。
【解析】
第一步，变形统一公因式：
原式$=4a^2(a-b)-(a-b)$
第二步，提取公因式$(a-b)$：
$=(a-b)(4a^2 - 1)$
第三步，利用平方差公式分解$4a^2 - 1$：
$4a^2 -1=(2a)^2 - 1^2=(2a+1)(2a-1)$
因此原式分解因式的结果为：
$(a-b)(2a+1)(2a-1)$
（补充：选项A符号错误，未正确处理$(b-a)$的变形；选项B符号错误且未分解彻底；选项D分解不彻底，$4a^2-1$还能继续分解，均排除。）
【答案】
C
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题关键是先处理互为相反数的因式，准确提取公因式后再验证剩余部分是否可以用公式继续分解，需注意因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止，同时要避免符号变形时出现错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察多项式的项的特征，发现存在互为相反数的因式$(a-b)$和$(b-a)$，第一步先统一因式的形式，将$(b-a)$变形为$-(a-b)$，即可找到公因式$(a-b)$；提取公因式后，再判断剩余的多项式能否继续分解，此处剩余的$4a^2-1$符合平方差公式的形式，需用平方差公式继续分解，直到每个因式都不能再分解为止，即可得到最终结果。
【解析】
第一步，变形统一公因式：
原式$=4a^2(a-b)-(a-b)$
第二步，提取公因式$(a-b)$：
$=(a-b)(4a^2 - 1)$
第三步，利用平方差公式分解$4a^2 - 1$：
$4a^2 -1=(2a)^2 - 1^2=(2a+1)(2a-1)$
因此原式分解因式的结果为：
$(a-b)(2a+1)(2a-1)$
（补充：选项A符号错误，未正确处理$(b-a)$的变形；选项B符号错误且未分解彻底；选项D分解不彻底，$4a^2-1$还能继续分解，均排除。）
【答案】
C
【知识点】
提公因式法，平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题关键是先处理互为相反数的因式，准确提取公因式后再验证剩余部分是否可以用公式继续分解，需注意因式分解要分解到每个因式都不能再分解为止，同时要避免符号变形时出现错误。
【难度系数】
0.7
9 [2024 广西]如果$a+b=3,ab=1$,那么$a^{3}b+2a^{2}b^{2}+ab^{3}$的值为（
A.0
B.1
C.4
D.9
D
）A.0
B.1
C.4
D.9
答案
D
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，已知条件给出的是$a+b$和$ab$的整体值，因此不需要单独求解$a$、$b$的具体数值，优先对所求代数式进行因式分解变形：首先提取公因式$ab$，再对剩余部分逆用完全平方公式分解，最终将代数式转化为含$a+b$和$ab$的形式，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
对所求代数式先因式分解：
$\begin{aligned}a^3b + 2a^2b^2 + ab^3 &= ab(a^2 + 2ab + b^2) \quad \mathrm{（提取公因式}ab\mathrm{）} \\&= ab(a+b)^2 \quad \mathrm{（逆用完全平方公式：}a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\mathrm{）}\end{aligned}$
将$a+b=3$，$ab=1$代入上式得：
原式$=1 × 3^2 = 9$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心考查因式分解的综合应用，运用整体代入思想可大幅简化计算，熟练掌握因式分解的基本方法是解题的前提。
【难度系数】
0.8
解题时先观察所求代数式的结构，已知条件给出的是$a+b$和$ab$的整体值，因此不需要单独求解$a$、$b$的具体数值，优先对所求代数式进行因式分解变形：首先提取公因式$ab$，再对剩余部分逆用完全平方公式分解，最终将代数式转化为含$a+b$和$ab$的形式，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
对所求代数式先因式分解：
$\begin{aligned}a^3b + 2a^2b^2 + ab^3 &= ab(a^2 + 2ab + b^2) \quad \mathrm{（提取公因式}ab\mathrm{）} \\&= ab(a+b)^2 \quad \mathrm{（逆用完全平方公式：}a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\mathrm{）}\end{aligned}$
将$a+b=3$，$ab=1$代入上式得：
原式$=1 × 3^2 = 9$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心考查因式分解的综合应用，运用整体代入思想可大幅简化计算，熟练掌握因式分解的基本方法是解题的前提。
【难度系数】
0.8
10 若$m + n = 3$，则$2m^2 + 4mn + 2n^2 - 6$的值为
12
。答案
12
解析
【分析】
已知条件给出了$m+n$的整体值，直接求解$m$、$n$的具体值再代入计算非常繁琐，因此考虑先对待求式进行因式分解，将其转化为含有$m+n$的形式，再整体代入已知条件计算即可。具体思路：第一步先提取待求式前三项的公因式2，第二步利用完全平方公式将括号内的式子写成完全平方的形式，第三步代入$m+n=3$计算最终结果。
【解析】
对原式进行变形：
$\begin{aligned}2m^2 + 4mn + 2n^2 - 6&=2(m^2 + 2mn + n^2) - 6\\&=2(m+n)^2 - 6\end{aligned}$
将$m+n=3$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×3^2 -6\\&=2×9 -6\\&=18-6\\&=12\end{aligned}$
【答案】
12
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是运用整体代入的思想，将待求式通过因式分解转化为含已知整体值的形式，无需单独求解$m$、$n$的具体数值，简化了计算过程。
【难度系数】
0.8
已知条件给出了$m+n$的整体值，直接求解$m$、$n$的具体值再代入计算非常繁琐，因此考虑先对待求式进行因式分解，将其转化为含有$m+n$的形式，再整体代入已知条件计算即可。具体思路：第一步先提取待求式前三项的公因式2，第二步利用完全平方公式将括号内的式子写成完全平方的形式，第三步代入$m+n=3$计算最终结果。
【解析】
对原式进行变形：
$\begin{aligned}2m^2 + 4mn + 2n^2 - 6&=2(m^2 + 2mn + n^2) - 6\\&=2(m+n)^2 - 6\end{aligned}$
将$m+n=3$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2×3^2 -6\\&=2×9 -6\\&=18-6\\&=12\end{aligned}$
【答案】
12
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是运用整体代入的思想，将待求式通过因式分解转化为含已知整体值的形式，无需单独求解$m$、$n$的具体数值，简化了计算过程。
【难度系数】
0.8
11 若$xy=5,a-b=3,a+b=4$,则$xya^2-xyb^2$的值为
60
.答案
60
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现两项均含有公因式$xy$，先提取公因式可将原式化简为$xy(a^2 - b^2)$；再观察括号内的$a^2 - b^2$，符合平方差公式的特征，可进一步分解为$(a-b)(a+b)$，此时所求代数式转化为含已知条件的乘积形式，直接整体代入已知数值即可计算出结果，无需单独求解$x、y、a、b$的具体值，简化计算流程。
【解析】
对$xya^2 - xyb^2$进行因式分解：
1. 提取公因式$xy$：
$xya^2 - xyb^2 = xy(a^2 - b^2)$
2. 利用平方差公式分解$a^2 - b^2$：
$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，因此原式可整理为：
$xya^2 - xyb^2=xy(a-b)(a+b)$
3. 代入已知条件$xy=5$，$a-b=3$，$a+b=4$计算：
原式$=5×3×4=60$
【答案】
60
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，代数式求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，通过先因式分解再整体代入的方法，避免了单独求解未知量的繁琐运算，很好地体现了数学中的整体代入思想。
【难度系数】
0.7
首先观察所求代数式的结构，发现两项均含有公因式$xy$，先提取公因式可将原式化简为$xy(a^2 - b^2)$；再观察括号内的$a^2 - b^2$，符合平方差公式的特征，可进一步分解为$(a-b)(a+b)$，此时所求代数式转化为含已知条件的乘积形式，直接整体代入已知数值即可计算出结果，无需单独求解$x、y、a、b$的具体值，简化计算流程。
【解析】
对$xya^2 - xyb^2$进行因式分解：
1. 提取公因式$xy$：
$xya^2 - xyb^2 = xy(a^2 - b^2)$
2. 利用平方差公式分解$a^2 - b^2$：
$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，因此原式可整理为：
$xya^2 - xyb^2=xy(a-b)(a+b)$
3. 代入已知条件$xy=5$，$a-b=3$，$a+b=4$计算：
原式$=5×3×4=60$
【答案】
60
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，代数式求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，通过先因式分解再整体代入的方法，避免了单独求解未知量的繁琐运算，很好地体现了数学中的整体代入思想。
【难度系数】
0.7
