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12 教材 P132 习题 T3 变式 分解因式：
(1) $-3a^4 + 24a^3 - 48a^2$；
(2) $m^4 - 8m^2 + 16$；
(3) $x^4 - 81y^4$；
(4) $(x^2 - y^2 + z^2)^2 - (x^2 + y^2 - z^2)^2$。
(1) $-3a^4 + 24a^3 - 48a^2$；
(2) $m^4 - 8m^2 + 16$；
(3) $x^4 - 81y^4$；
(4) $(x^2 - y^2 + z^2)^2 - (x^2 + y^2 - z^2)^2$。
答案
(1) $-3a^2(a-4)^2$
(2) $(m+2)^2(m-2)^2$
(3) $(x^2+9y^2)(x+3y)(x-3y)$
(4) $4x^2(z+y)(z-y)$
(2) $(m+2)^2(m-2)^2$
(3) $(x^2+9y^2)(x+3y)(x-3y)$
(4) $4x^2(z+y)(z-y)$
解析
【分析】
分解因式需遵循“一提、二套、三查”的核心思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，若有则先提取公因式，注意首项为负时通常提取负号使括号内首项为正；第二步看提取公因式后剩余的多项式的项数，两项优先考虑平方差公式，三项优先考虑完全平方公式；第三步检查分解后的因式是否还能继续分解，需分解到每个因式都不能再分解为止，同时注意化简结果的规范性。
【解析】
(1) 先提取公因式$-3a^2$，再套用完全平方公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-3a^2(a^2-8a+16)\\&=-3a^2(a-4)^2\end{aligned}$
(2) 先套用完全平方公式，再对剩余因式套用平方差公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(m^2)^2-2· m^2·4+4^2\\&=(m^2-4)^2\\&=[(m+2)(m-2)]^2\\&=(m+2)^2(m-2)^2\end{aligned}$
(3) 连续两次套用平方差公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2)^2-(9y^2)^2\\&=(x^2+9y^2)(x^2-9y^2)\\&=(x^2+9y^2)(x+3y)(x-3y)\end{aligned}$
(4) 将整体看作平方差结构，先套用平方差公式，再化简后继续分解：
设$A=x^2-y^2+z^2$，$B=x^2+y^2-z^2$，则原式$=A^2-B^2=(A+B)(A-B)$
$\begin{aligned}A+B&=(x^2-y^2+z^2)+(x^2+y^2-z^2)=2x^2\\A-B&=(x^2-y^2+z^2)-(x^2+y^2-z^2)=2z^2-2y^2=2(z^2-y^2)=2(z+y)(z-y)\\\mathrm{原式}&=2x^2·2(z+y)(z-y)=4x^2(z+y)(z-y)\end{aligned}$
【答案】
(1) $-3a^2(a-4)^2$
(2) $(m+2)^2(m-2)^2$
(3) $(x^2+9y^2)(x+3y)(x-3y)$
(4) $4x^2(z+y)(z-y)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的综合运用，解题时要严格按照步骤操作，注意公因式要提尽，公式套用要准确，尤其要注意二次分解，避免出现分解不彻底或符号错误的问题。
【难度系数】
0.7
分解因式需遵循“一提、二套、三查”的核心思路：第一步先观察多项式是否存在公因式，若有则先提取公因式，注意首项为负时通常提取负号使括号内首项为正；第二步看提取公因式后剩余的多项式的项数，两项优先考虑平方差公式，三项优先考虑完全平方公式；第三步检查分解后的因式是否还能继续分解，需分解到每个因式都不能再分解为止，同时注意化简结果的规范性。
【解析】
(1) 先提取公因式$-3a^2$，再套用完全平方公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=-3a^2(a^2-8a+16)\\&=-3a^2(a-4)^2\end{aligned}$
(2) 先套用完全平方公式，再对剩余因式套用平方差公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(m^2)^2-2· m^2·4+4^2\\&=(m^2-4)^2\\&=[(m+2)(m-2)]^2\\&=(m+2)^2(m-2)^2\end{aligned}$
(3) 连续两次套用平方差公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(x^2)^2-(9y^2)^2\\&=(x^2+9y^2)(x^2-9y^2)\\&=(x^2+9y^2)(x+3y)(x-3y)\end{aligned}$
(4) 将整体看作平方差结构，先套用平方差公式，再化简后继续分解：
设$A=x^2-y^2+z^2$，$B=x^2+y^2-z^2$，则原式$=A^2-B^2=(A+B)(A-B)$
$\begin{aligned}A+B&=(x^2-y^2+z^2)+(x^2+y^2-z^2)=2x^2\\A-B&=(x^2-y^2+z^2)-(x^2+y^2-z^2)=2z^2-2y^2=2(z^2-y^2)=2(z+y)(z-y)\\\mathrm{原式}&=2x^2·2(z+y)(z-y)=4x^2(z+y)(z-y)\end{aligned}$
【答案】
(1) $-3a^2(a-4)^2$
(2) $(m+2)^2(m-2)^2$
(3) $(x^2+9y^2)(x+3y)(x-3y)$
(4) $4x^2(z+y)(z-y)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的综合运用，解题时要严格按照步骤操作，注意公因式要提尽，公式套用要准确，尤其要注意二次分解，避免出现分解不彻底或符号错误的问题。
【难度系数】
0.7
13 教材 P132 习题 T6 变式 分解因式：
(1) $(6xy + 1)^2 - 81x^4y^4$；
(2) $(x + y)^2 - 10(x^2 - y^2) + 25(x - y)^2$。
(1) $(6xy + 1)^2 - 81x^4y^4$；
(2) $(x + y)^2 - 10(x^2 - y^2) + 25(x - y)^2$。
答案
(1) $(3xy+1)^2(-9x^2y^2+6xy+1)$
(2) $4(-2x+3y)^2$
(2) $4(-2x+3y)^2$
解析
【分析】
(1) 观察式子结构，发现原式是两个平方项作差，符合平方差公式的形式，首先利用平方差公式分解，再对分解得到的因式检查是否可继续分解，若可以则用对应的公式继续分解，直到不能分解为止。
(2) 先将式子中的$x^2-y^2$用平方差公式变形，变形后可发现整个式子符合完全平方差公式的结构，将$x+y$和$5(x-y)$看作整体代入完全平方公式分解，最后化简括号内的整式即可。
【解析】
(1) 先将$81x^4y^4$改写为$(9x^2y^2)^2$，原式可化为平方差形式：
$(6xy + 1)^2 - (9x^2y^2)^2$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=6xy+1$，$b=9x^2y^2$，分解得：
$=(6xy+1 + 9x^2y^2)(6xy+1 - 9x^2y^2)$
观察第一个因式$9x^2y^2+6xy+1$，符合完全平方和公式，可继续分解：
$9x^2y^2+6xy+1=(3xy+1)^2$
第二个因式整理为$-9x^2y^2+6xy+1$，无公因式且无法用公式继续分解，因此得到最终分解结果。
(2) 先利用平方差公式将$x^2-y^2$分解为$(x+y)(x-y)$，原式变形为：
$(x + y)^2 - 10(x+y)(x-y) + 25(x - y)^2$
观察该式符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，令$a=x+y$，$b=5(x-y)$，代入得：
$=[(x+y)-5(x-y)]^2$
化简括号内的整式：
$x+y-5x+5y=-4x+6y=2(-2x+3y)$
代入平方后计算得：
$=[2(-2x+3y)]^2=4(-2x+3y)^2$
【答案】
(1) $(3xy+1)^2(-9x^2y^2+6xy+1)$
(2) $4(-2x+3y)^2$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题考查因式分解的综合运用，解题的关键是先观察式子的结构特征，灵活选择合适的公式，必要时将整式看作整体简化运算，分解完成后要注意检查每个因式是否还能继续分解，保证分解彻底。
【难度系数】
0.6
(1) 观察式子结构，发现原式是两个平方项作差，符合平方差公式的形式，首先利用平方差公式分解，再对分解得到的因式检查是否可继续分解，若可以则用对应的公式继续分解，直到不能分解为止。
(2) 先将式子中的$x^2-y^2$用平方差公式变形，变形后可发现整个式子符合完全平方差公式的结构，将$x+y$和$5(x-y)$看作整体代入完全平方公式分解，最后化简括号内的整式即可。
【解析】
(1) 先将$81x^4y^4$改写为$(9x^2y^2)^2$，原式可化为平方差形式：
$(6xy + 1)^2 - (9x^2y^2)^2$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=6xy+1$，$b=9x^2y^2$，分解得：
$=(6xy+1 + 9x^2y^2)(6xy+1 - 9x^2y^2)$
观察第一个因式$9x^2y^2+6xy+1$，符合完全平方和公式，可继续分解：
$9x^2y^2+6xy+1=(3xy+1)^2$
第二个因式整理为$-9x^2y^2+6xy+1$，无公因式且无法用公式继续分解，因此得到最终分解结果。
(2) 先利用平方差公式将$x^2-y^2$分解为$(x+y)(x-y)$，原式变形为：
$(x + y)^2 - 10(x+y)(x-y) + 25(x - y)^2$
观察该式符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，令$a=x+y$，$b=5(x-y)$，代入得：
$=[(x+y)-5(x-y)]^2$
化简括号内的整式：
$x+y-5x+5y=-4x+6y=2(-2x+3y)$
代入平方后计算得：
$=[2(-2x+3y)]^2=4(-2x+3y)^2$
【答案】
(1) $(3xy+1)^2(-9x^2y^2+6xy+1)$
(2) $4(-2x+3y)^2$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题考查因式分解的综合运用，解题的关键是先观察式子的结构特征，灵活选择合适的公式，必要时将整式看作整体简化运算，分解完成后要注意检查每个因式是否还能继续分解，保证分解彻底。
【难度系数】
0.6
微专题
利用“十字相乘法”分解因式
【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式$3x^2 - x - 2$.
① 二次项系数$3=1×3$.
② 常数项$-2=-1×2=1×(-2)$，验算：“交叉相乘之和”（如图）.
③ 发现图①中“交叉相乘之和”的结果为$1×2 + 3×(-1) = -1$，等于一次项系数$-1$，即$(x - 1)(3x + 2) = 3x^2 - 3x + 2x - 2 = 3x^2 - x - 2$，则$3x^2 - x - 2 = (x - 1)(3x + 2)$. 像这样，通过十字交叉线把二次三项式分解因式的方法叫“十字相乘法”.
【问题解决】分解因式：
(1) $x^2 +7x +6 =$
(2) $x^2 -5x +4 =$
(3) $x^2 -3x -10 =$
(4) $x^2 -7x -18 =$
【拓展训练】分解因式：
(5) $3x^2 +4x +1 =$
(6) $3x^2 -7x +2 =$
利用“十字相乘法”分解因式
【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式$3x^2 - x - 2$.
① 二次项系数$3=1×3$.
② 常数项$-2=-1×2=1×(-2)$，验算：“交叉相乘之和”（如图）.
③ 发现图①中“交叉相乘之和”的结果为$1×2 + 3×(-1) = -1$，等于一次项系数$-1$，即$(x - 1)(3x + 2) = 3x^2 - 3x + 2x - 2 = 3x^2 - x - 2$，则$3x^2 - x - 2 = (x - 1)(3x + 2)$. 像这样，通过十字交叉线把二次三项式分解因式的方法叫“十字相乘法”.
【问题解决】分解因式：
(1) $x^2 +7x +6 =$
$(x+1)(x+6)$
；(2) $x^2 -5x +4 =$
$(x-1)(x-4)$
；(3) $x^2 -3x -10 =$
$(x-5)(x+2)$
；(4) $x^2 -7x -18 =$
$(x+2)(x-9)$
；【拓展训练】分解因式：
(5) $3x^2 +4x +1 =$
$(x+1)(3x+1)$
；(6) $3x^2 -7x +2 =$
$(3x-1)(x-2)$
.答案
(1) $(x+1)(x+6)$
(2) $(x-1)(x-4)$
(3) $(x-5)(x+2)$
(4) $(x+2)(x-9)$
(5) $(x+1)(3x+1)$
(6) $(3x-1)(x-2)$
(2) $(x-1)(x-4)$
(3) $(x-5)(x+2)$
(4) $(x+2)(x-9)$
(5) $(x+1)(3x+1)$
(6) $(3x-1)(x-2)$
解析
【分析】
解这组因式分解题核心是运用十字相乘法，分两类情况思考：①对于二次项系数为1的二次三项式$x^2+bx+c$：将二次项系数拆为$1×1$写在十字左侧，常数项拆为两个数$m、n$的乘积写在十字右侧，当交叉相乘之和$m+n$等于一次项系数$b$时，即可分解为$(x+m)(x+n)$。②对于二次项系数大于1的二次三项式$ax^2+bx+c$：将二次项系数$a$拆为$a_1× a_2$写在十字左侧，常数项$c$拆为$c_1× c_2$写在十字右侧，当交叉相乘之和$a_1c_2+a_2c_1$等于一次项系数$b$时，即可分解为$(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)$。拆分后可通过整式乘法验证结果正确性。
【解析】
(1) 分解$x^2 +7x +6$：二次项系数$1=1×1$，常数项$6=1×6$，交叉相乘之和为$1×6 +1×1=7$，与一次项系数相等，因此完成分解。
(2) 分解$x^2 -5x +4$：二次项系数$1=1×1$，常数项$4=(-1)×(-4)$，交叉相乘之和为$1×(-4) +1×(-1)=-5$，与一次项系数相等，因此完成分解。
(3) 分解$x^2 -3x -10$：二次项系数$1=1×1$，常数项$-10=(-5)×2$，交叉相乘之和为$1×2 +1×(-5)=-3$，与一次项系数相等，因此完成分解。
(4) 分解$x^2 -7x -18$：二次项系数$1=1×1$，常数项$-18=2×(-9)$，交叉相乘之和为$1×(-9) +1×2=-7$，与一次项系数相等，因此完成分解。
(5) 分解$3x^2 +4x +1$：二次项系数$3=1×3$，常数项$1=1×1$，交叉相乘之和为$1×1 +3×1=4$，与一次项系数相等，因此完成分解。
(6) 分解$3x^2 -7x +2$：二次项系数$3=3×1$，常数项$2=(-1)×(-2)$，交叉相乘之和为$3×(-2) +1×(-1)=-7$，与一次项系数相等，因此完成分解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x+1)(x+6)}$
(2) $\boldsymbol{(x-1)(x-4)}$
(3) $\boldsymbol{(x-5)(x+2)}$
(4) $\boldsymbol{(x+2)(x-9)}$
(5) $\boldsymbol{(x+1)(3x+1)}$
(6) $\boldsymbol{(3x-1)(x-2)}$
【知识点】
十字相乘法，因式分解，整式乘法
【点评】
本题是十字相乘法分解因式的基础训练题，解题核心是掌握十字相乘法的拆分规则，拆分时要注意常数项的符号，拆分后可通过交叉相乘之和验证是否与一次项系数匹配，熟练掌握该方法能有效提升二次三项式因式分解的效率和准确率。
【难度系数】
0.8
解这组因式分解题核心是运用十字相乘法，分两类情况思考：①对于二次项系数为1的二次三项式$x^2+bx+c$：将二次项系数拆为$1×1$写在十字左侧，常数项拆为两个数$m、n$的乘积写在十字右侧，当交叉相乘之和$m+n$等于一次项系数$b$时，即可分解为$(x+m)(x+n)$。②对于二次项系数大于1的二次三项式$ax^2+bx+c$：将二次项系数$a$拆为$a_1× a_2$写在十字左侧，常数项$c$拆为$c_1× c_2$写在十字右侧，当交叉相乘之和$a_1c_2+a_2c_1$等于一次项系数$b$时，即可分解为$(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)$。拆分后可通过整式乘法验证结果正确性。
【解析】
(1) 分解$x^2 +7x +6$：二次项系数$1=1×1$，常数项$6=1×6$，交叉相乘之和为$1×6 +1×1=7$，与一次项系数相等，因此完成分解。
(2) 分解$x^2 -5x +4$：二次项系数$1=1×1$，常数项$4=(-1)×(-4)$，交叉相乘之和为$1×(-4) +1×(-1)=-5$，与一次项系数相等，因此完成分解。
(3) 分解$x^2 -3x -10$：二次项系数$1=1×1$，常数项$-10=(-5)×2$，交叉相乘之和为$1×2 +1×(-5)=-3$，与一次项系数相等，因此完成分解。
(4) 分解$x^2 -7x -18$：二次项系数$1=1×1$，常数项$-18=2×(-9)$，交叉相乘之和为$1×(-9) +1×2=-7$，与一次项系数相等，因此完成分解。
(5) 分解$3x^2 +4x +1$：二次项系数$3=1×3$，常数项$1=1×1$，交叉相乘之和为$1×1 +3×1=4$，与一次项系数相等，因此完成分解。
(6) 分解$3x^2 -7x +2$：二次项系数$3=3×1$，常数项$2=(-1)×(-2)$，交叉相乘之和为$3×(-2) +1×(-1)=-7$，与一次项系数相等，因此完成分解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x+1)(x+6)}$
(2) $\boldsymbol{(x-1)(x-4)}$
(3) $\boldsymbol{(x-5)(x+2)}$
(4) $\boldsymbol{(x+2)(x-9)}$
(5) $\boldsymbol{(x+1)(3x+1)}$
(6) $\boldsymbol{(3x-1)(x-2)}$
【知识点】
十字相乘法，因式分解，整式乘法
【点评】
本题是十字相乘法分解因式的基础训练题，解题核心是掌握十字相乘法的拆分规则，拆分时要注意常数项的符号，拆分后可通过交叉相乘之和验证是否与一次项系数匹配，熟练掌握该方法能有效提升二次三项式因式分解的效率和准确率。
【难度系数】
0.8
