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13 把下列各式分解因式：
(1) $16a^2 + 40ab + 25b^2$；
(2) $-4a^2 + 12ab - 9b^2$；
(3) $(a+b)^2 -14(a+b)+49$；
(4) $(a^2 -4)^2 +10(a^2 -4)+25$。
(1) $16a^2 + 40ab + 25b^2$；
(2) $-4a^2 + 12ab - 9b^2$；
(3) $(a+b)^2 -14(a+b)+49$；
(4) $(a^2 -4)^2 +10(a^2 -4)+25$。
答案
13.(1) $(4a+5b)^2$
(2) $-(2a-3b)^2$
(3) $(a+b-7)^2$
(4) $(a^2+1)^2$
(2) $-(2a-3b)^2$
(3) $(a+b-7)^2$
(4) $(a^2+1)^2$
解析
【分析】
这4道题均考查运用完全平方公式分解因式，解题思路如下：①先观察式子是否有公因式，若首项为负优先提取负号；②牢记完全平方公式的结构特征：两数的平方和加上（或减去）两数积的2倍，等于两数和（或差）的平方，即$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$；③若式子中含有重复的多项式项，可将其视为一个整体套用公式，最后检查分解结果，确保分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 观察式子$16a^2 + 40ab + 25b^2$，可得$16a^2=(4a)^2$，$25b^2=(5b)^2$，$40ab=2×4a×5b$，符合完全平方和公式，因此：
$16a^2 + 40ab + 25b^2=(4a+5b)^2$
(2) 式子$-4a^2 + 12ab - 9b^2$首项为负，先提取负号得$-(4a^2 - 12ab + 9b^2)$，括号内$4a^2=(2a)^2$，$9b^2=(3b)^2$，$12ab=2×2a×3b$，符合完全平方差公式，因此：
$-4a^2 + 12ab - 9b^2=-(4a^2 -12ab +9b^2)=-(2a-3b)^2$
(3) 将$(a+b)$视为一个整体，原式可写为$(a+b)^2 - 2×(a+b)×7 +7^2$，符合完全平方差公式，因此：
$(a+b)^2 -14(a+b)+49=(a+b-7)^2$
(4) 将$(a^2-4)$视为一个整体，原式可写为$(a^2-4)^2 + 2×(a^2-4)×5 +5^2$，套用完全平方和公式得$[(a^2-4)+5]^2=(a^2+1)^2$，$a^2+1$在实数范围内无法继续分解，即得最终结果。
【答案】
(1) $(4a+5b)^2$
(2) $-(2a-3b)^2$
(3) $(a+b-7)^2$
(4) $(a^2+1)^2$
【知识点】
完全平方公式因式分解，提公因式法，整体思想因式分解
【点评】
本题是运用完全平方公式分解因式的常规题型，核心是要准确识别完全平方公式的结构特征，遇到重复出现的多项式时可通过整体代换简化计算，最后要注意检查因式分解的结果，确保分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
这4道题均考查运用完全平方公式分解因式，解题思路如下：①先观察式子是否有公因式，若首项为负优先提取负号；②牢记完全平方公式的结构特征：两数的平方和加上（或减去）两数积的2倍，等于两数和（或差）的平方，即$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$；③若式子中含有重复的多项式项，可将其视为一个整体套用公式，最后检查分解结果，确保分解到不能再分解为止。
【解析】
(1) 观察式子$16a^2 + 40ab + 25b^2$，可得$16a^2=(4a)^2$，$25b^2=(5b)^2$，$40ab=2×4a×5b$，符合完全平方和公式，因此：
$16a^2 + 40ab + 25b^2=(4a+5b)^2$
(2) 式子$-4a^2 + 12ab - 9b^2$首项为负，先提取负号得$-(4a^2 - 12ab + 9b^2)$，括号内$4a^2=(2a)^2$，$9b^2=(3b)^2$，$12ab=2×2a×3b$，符合完全平方差公式，因此：
$-4a^2 + 12ab - 9b^2=-(4a^2 -12ab +9b^2)=-(2a-3b)^2$
(3) 将$(a+b)$视为一个整体，原式可写为$(a+b)^2 - 2×(a+b)×7 +7^2$，符合完全平方差公式，因此：
$(a+b)^2 -14(a+b)+49=(a+b-7)^2$
(4) 将$(a^2-4)$视为一个整体，原式可写为$(a^2-4)^2 + 2×(a^2-4)×5 +5^2$，套用完全平方和公式得$[(a^2-4)+5]^2=(a^2+1)^2$，$a^2+1$在实数范围内无法继续分解，即得最终结果。
【答案】
(1) $(4a+5b)^2$
(2) $-(2a-3b)^2$
(3) $(a+b-7)^2$
(4) $(a^2+1)^2$
【知识点】
完全平方公式因式分解，提公因式法，整体思想因式分解
【点评】
本题是运用完全平方公式分解因式的常规题型，核心是要准确识别完全平方公式的结构特征，遇到重复出现的多项式时可通过整体代换简化计算，最后要注意检查因式分解的结果，确保分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
14 利用因式分解简便计算：
(1) $173^2 + 173 × 54 + 27^2$；
(2) $40 × 3.5^2 + 80 × 3.5 × 1.5 + 40 × 1.5^2$。
(1) $173^2 + 173 × 54 + 27^2$；
(2) $40 × 3.5^2 + 80 × 3.5 × 1.5 + 40 × 1.5^2$。
答案
14.(1) 40000
(2) 1000
(2) 1000
解析
【分析】
这两道题都可以通过因式分解简化计算，避免直接硬算。解题时先观察式子的结构特征：(1)式中出现两个平方项$173^2$和$27^2$，中间的乘积项$173×54$可变形为$2×173×27$，正好符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，直接套用公式计算即可；(2)式中每一项都含有公因式40，先提取公因式后，剩余部分恰好是完全平方和的结构，再套用公式计算就能快速得到结果。
【解析】
(1) 解：
将$54$拆分为$2×27$，原式变形为：
$\begin{aligned}原式&=173^2 + 2×173×27 + 27^2\\&=(173+27)^2 \quad \mathrm{（套用完全平方和公式）}\\&=200^2\\&=40000\end{aligned}$
(2) 解：
先提取公因式$40$，原式变形为：
$\begin{aligned}原式&=40×(3.5^2 + 2×3.5×1.5 + 1.5^2)\\&=40×(3.5+1.5)^2 \quad \mathrm{（括号内套用完全平方和公式）}\\&=40×5^2\\&=40×25\\&=1000\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{40000}$；(2) $\boxed{1000}$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 完全平方公式分解因式
3. 因式分解简便计算
【点评】
此类题目的核心是熟练掌握乘法公式的结构特征，解题时优先观察式子是否有公因式，再判断是否符合乘法公式的形式，通过因式分解将复杂的乘方、乘法运算转化为简单的加法、乘方运算，大幅提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
这两道题都可以通过因式分解简化计算，避免直接硬算。解题时先观察式子的结构特征：(1)式中出现两个平方项$173^2$和$27^2$，中间的乘积项$173×54$可变形为$2×173×27$，正好符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，直接套用公式计算即可；(2)式中每一项都含有公因式40，先提取公因式后，剩余部分恰好是完全平方和的结构，再套用公式计算就能快速得到结果。
【解析】
(1) 解：
将$54$拆分为$2×27$，原式变形为：
$\begin{aligned}原式&=173^2 + 2×173×27 + 27^2\\&=(173+27)^2 \quad \mathrm{（套用完全平方和公式）}\\&=200^2\\&=40000\end{aligned}$
(2) 解：
先提取公因式$40$，原式变形为：
$\begin{aligned}原式&=40×(3.5^2 + 2×3.5×1.5 + 1.5^2)\\&=40×(3.5+1.5)^2 \quad \mathrm{（括号内套用完全平方和公式）}\\&=40×5^2\\&=40×25\\&=1000\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{40000}$；(2) $\boxed{1000}$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 完全平方公式分解因式
3. 因式分解简便计算
【点评】
此类题目的核心是熟练掌握乘法公式的结构特征，解题时优先观察式子是否有公因式，再判断是否符合乘法公式的形式，通过因式分解将复杂的乘方、乘法运算转化为简单的加法、乘方运算，大幅提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
15 已知 $x(x-1)-(x^2 - y)=-3$，求 $x^2 + y^2 - 2xy$ 的值。
答案
15.$\because x(x-1)-(x^2-y)=-3,\therefore -x+y=-3,即x-y=3. \therefore x^2+y^2-2xy=(x-y)^2=9$
解析
【分析】
解题时先从已知等式入手，先对等式左边进行去括号、合并同类项的化简，得到x与y的差的值；再观察所求代数式的结构，发现其符合完全平方差公式的形式，可因式分解为$(x-y)^2$，最后将前面得到的$x-y$的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
首先化简已知等式：
$\begin{aligned}x(x-1)-(x^2 - y)&=-3\\x^2 - x - x^2 + y&=-3\\-x + y&=-3\\\therefore x - y&=3\end{aligned}$
再对所求代数式利用完全平方差公式因式分解：
$x^2 + y^2 - 2xy=(x - y)^2$
将$x - y=3$代入上式得：原式$=3^2=9$
【答案】
9
【知识点】
整式的化简；完全平方公式因式分解；整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先通过整式化简得到$x-y$的值，再利用完全平方公式对所求代数式变形后整体代入计算，考查了对完全平方公式的掌握程度和整体思想的应用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知等式入手，先对等式左边进行去括号、合并同类项的化简，得到x与y的差的值；再观察所求代数式的结构，发现其符合完全平方差公式的形式，可因式分解为$(x-y)^2$，最后将前面得到的$x-y$的值整体代入计算即可得到结果。
【解析】
首先化简已知等式：
$\begin{aligned}x(x-1)-(x^2 - y)&=-3\\x^2 - x - x^2 + y&=-3\\-x + y&=-3\\\therefore x - y&=3\end{aligned}$
再对所求代数式利用完全平方差公式因式分解：
$x^2 + y^2 - 2xy=(x - y)^2$
将$x - y=3$代入上式得：原式$=3^2=9$
【答案】
9
【知识点】
整式的化简；完全平方公式因式分解；整体代入求值
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是先通过整式化简得到$x-y$的值，再利用完全平方公式对所求代数式变形后整体代入计算，考查了对完全平方公式的掌握程度和整体思想的应用能力。
【难度系数】
0.8
16 若$△ ABC$的三边长$a,b,c$满足$a^2 + 2b^2 + c^2 - 2ab - 2bc = 0$，判断$△ ABC$的形状并说明理由.
答案
16.$△ ABC$为等边三角形 理由:$\because a^2+2b^2+c^2-2ab-2bc=0,\therefore a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2=0. \therefore (a-b)^2+(b-c)^2=0. \therefore a-b=0$且$b-c=0. \therefore a=b=c. \therefore △ ABC$为等边三角形.
解析
【分析】
要判断△ABC的形状，需先推导三边a、b、c的数量关系。观察已知等式的结构，含有平方项和乘积项，符合完全平方公式的特征，因此可以先将2b²拆分为两个b²，分别与a²-2ab、c²-2bc组合，凑成完全平方的形式，再利用平方数的非负性，推出三边相等的结论，即可判断三角形形状。
【解析】
△ABC为等边三角形，理由如下：
$\because a^2+2b^2+c^2-2ab-2bc=0$，
$\therefore$ 对左边拆项整理得：$a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2=0$，
由完全平方公式可得：$(a-b)^2+(b-c)^2=0$，
$\because$ 平方数具有非负性，即$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，
$\therefore$ 只有当$a-b=0$且$b-c=0$时，两个非负数的和才为0，
$\therefore a=b$，$b=c$，即$a=b=c$，
$\therefore △ ABC$为等边三角形。
【答案】
$△ ABC$是等边三角形
【知识点】
完全平方公式分解因式，非负数的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题是因式分解在几何判定中的典型应用，解题核心是通过合理拆项凑完全平方，结合非负数的性质得到三边的等量关系，考查了对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断△ABC的形状，需先推导三边a、b、c的数量关系。观察已知等式的结构，含有平方项和乘积项，符合完全平方公式的特征，因此可以先将2b²拆分为两个b²，分别与a²-2ab、c²-2bc组合，凑成完全平方的形式，再利用平方数的非负性，推出三边相等的结论，即可判断三角形形状。
【解析】
△ABC为等边三角形，理由如下：
$\because a^2+2b^2+c^2-2ab-2bc=0$，
$\therefore$ 对左边拆项整理得：$a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2=0$，
由完全平方公式可得：$(a-b)^2+(b-c)^2=0$，
$\because$ 平方数具有非负性，即$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，
$\therefore$ 只有当$a-b=0$且$b-c=0$时，两个非负数的和才为0，
$\therefore a=b$，$b=c$，即$a=b=c$，
$\therefore △ ABC$为等边三角形。
【答案】
$△ ABC$是等边三角形
【知识点】
完全平方公式分解因式，非负数的性质，等边三角形的判定
【点评】
本题是因式分解在几何判定中的典型应用，解题核心是通过合理拆项凑完全平方，结合非负数的性质得到三边的等量关系，考查了对公式的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
