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1 下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是 (
A.$m^2 - m - 1$
B.$-4m + m^2 + 4$
C.$1 - 4m - m^2$
D.$m^2 - 4m - 4$
B
)A.$m^2 - m - 1$
B.$-4m + m^2 + 4$
C.$1 - 4m - m^2$
D.$m^2 - 4m - 4$
答案
1.B
解析
【分析】
要判断多项式能否用完全平方公式因式分解，首先需牢记完全平方式的结构特征：①是三项式；②有两项是两个数（或整式）的平方，且这两项符号相同；③第三项是这两个数（或整式）乘积的2倍，符号可正可负。解题时先将各选项多项式按降幂排列，再对照特征逐一验证即可。
【解析】
完全平方公式因式分解的形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们逐个分析选项：
A. $m^2 - m - 1$：平方项为$m^2$和$-1$，二者符号相反，不符合完全平方式特征，不能用完全平方公式因式分解；
B. 先将式子按降幂排列得$m^2 -4m +4$，其中$m^2$是$m$的平方，$4$是$2$的平方，两项均为正、符号相同，中间项$-4m=-2× m×2$，完全符合$a^2-2ab+b^2$的形式，可分解为$(m-2)^2$，符合要求；
C. 按降幂排列得$-m^2 -4m +1$，平方项为$-m^2$和$1$，二者符号相反，不符合特征，不能用完全平方公式因式分解；
D. $m^2 -4m -4$：平方项为$m^2$和$-4$，二者符号相反，不符合特征，不能用完全平方公式因式分解。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解
2. 完全平方式的特征
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对完全平方公式结构的识别，解题时遵循“先整理多项式顺序、再判断平方项符号、最后验证中间项”的步骤即可快速判断，注意不要混淆平方项的符号以及中间项的倍数关系。
【难度系数】
0.8
要判断多项式能否用完全平方公式因式分解，首先需牢记完全平方式的结构特征：①是三项式；②有两项是两个数（或整式）的平方，且这两项符号相同；③第三项是这两个数（或整式）乘积的2倍，符号可正可负。解题时先将各选项多项式按降幂排列，再对照特征逐一验证即可。
【解析】
完全平方公式因式分解的形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们逐个分析选项：
A. $m^2 - m - 1$：平方项为$m^2$和$-1$，二者符号相反，不符合完全平方式特征，不能用完全平方公式因式分解；
B. 先将式子按降幂排列得$m^2 -4m +4$，其中$m^2$是$m$的平方，$4$是$2$的平方，两项均为正、符号相同，中间项$-4m=-2× m×2$，完全符合$a^2-2ab+b^2$的形式，可分解为$(m-2)^2$，符合要求；
C. 按降幂排列得$-m^2 -4m +1$，平方项为$-m^2$和$1$，二者符号相反，不符合特征，不能用完全平方公式因式分解；
D. $m^2 -4m -4$：平方项为$m^2$和$-4$，二者符号相反，不符合特征，不能用完全平方公式因式分解。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解
2. 完全平方式的特征
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对完全平方公式结构的识别，解题时遵循“先整理多项式顺序、再判断平方项符号、最后验证中间项”的步骤即可快速判断，注意不要混淆平方项的符号以及中间项的倍数关系。
【难度系数】
0.8
2 多项式 $x^2 - 1$ 与多项式 $x^2 - 2x + 1$ 的公因式为 （
A.$x - 1$
B.$x + 1$
C.$x^2 - 1$
D.$(x - 1)^2$
A
）A.$x - 1$
B.$x + 1$
C.$x^2 - 1$
D.$(x - 1)^2$
答案
2.A
解析
【分析】
要确定两个多项式的公因式，核心思路是先将两个多项式分别因式分解，再从分解后的乘积形式中找出两个式子共同含有的因式即可。解题时首先回忆因式分解的常用公式，分别对两个多项式分解，再对比找公共因式。
【解析】
第一步：对多项式$x^2 - 1$因式分解，利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$x^2 - 1=(x+1)(x-1)$
第二步：对多项式$x^2 - 2x + 1$因式分解，利用完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得：
$x^2 - 2x + 1=(x-1)^2=(x-1)(x-1)$
第三步：对比两个分解结果，共同含有的因式为$x-1$，即两个多项式的公因式是$x-1$。
【答案】
A
【知识点】
因式分解、公因式的确定、公式法分解因式
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握平方差公式、完全平方公式的逆用，准确将多项式分解为因式乘积的形式后即可快速找到公因式。
【难度系数】
0.8
要确定两个多项式的公因式，核心思路是先将两个多项式分别因式分解，再从分解后的乘积形式中找出两个式子共同含有的因式即可。解题时首先回忆因式分解的常用公式，分别对两个多项式分解，再对比找公共因式。
【解析】
第一步：对多项式$x^2 - 1$因式分解，利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$x^2 - 1=(x+1)(x-1)$
第二步：对多项式$x^2 - 2x + 1$因式分解，利用完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可得：
$x^2 - 2x + 1=(x-1)^2=(x-1)(x-1)$
第三步：对比两个分解结果，共同含有的因式为$x-1$，即两个多项式的公因式是$x-1$。
【答案】
A
【知识点】
因式分解、公因式的确定、公式法分解因式
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握平方差公式、完全平方公式的逆用，准确将多项式分解为因式乘积的形式后即可快速找到公因式。
【难度系数】
0.8
3 多项式 $x^2 -6x +9$ 分解因式的结果是（
A.$(x-3)^2$
B.$(x-9)^2$
C.$(x+3)(x-3)$
D.$(x+9)(x-9)$
A
）A.$(x-3)^2$
B.$(x-9)^2$
C.$(x+3)(x-3)$
D.$(x+9)(x-9)$
答案
3.A
解析
【分析】
本题考查运用完全平方公式分解因式，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，再对照给定多项式$x^2-6x+9$的结构，先找出两个平方项对应的$a$和$b$，再验证中间项是否符合公式要求，最后代入公式得到分解结果，匹配选项即可。
【解析】
解：完全平方差公式为$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$。
观察多项式$x^2-6x+9$：
1. 平方项$x^2=(x)^2$，对应公式中的$a=x$；
2. 平方项$9=3^2$，对应公式中的$b=3$；
3. 中间项$-6x=-2× x×3=-2ab$，符合完全平方差公式的中间项要求。
将对应值代入公式得：$x^2-6x+9=(x-3)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题，核心考查对完全平方公式结构特征的掌握，只要熟记公式形式、准确识别公式中的对应项，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
本题考查运用完全平方公式分解因式，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，再对照给定多项式$x^2-6x+9$的结构，先找出两个平方项对应的$a$和$b$，再验证中间项是否符合公式要求，最后代入公式得到分解结果，匹配选项即可。
【解析】
解：完全平方差公式为$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$。
观察多项式$x^2-6x+9$：
1. 平方项$x^2=(x)^2$，对应公式中的$a=x$；
2. 平方项$9=3^2$，对应公式中的$b=3$；
3. 中间项$-6x=-2× x×3=-2ab$，符合完全平方差公式的中间项要求。
将对应值代入公式得：$x^2-6x+9=(x-3)^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题，核心考查对完全平方公式结构特征的掌握，只要熟记公式形式、准确识别公式中的对应项，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
4 如果多项式$x^2+1$加上一个单项式后，能够直接用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（
A.$2x$
B.$-2x$
C.$\frac{1}{4}x^4$
D.$-\frac{1}{4}x^4$
D
）A.$2x$
B.$-2x$
C.$\frac{1}{4}x^4$
D.$-\frac{1}{4}x^4$
答案
4.D
解析
【分析】
解题首先要明确完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，即构成完全平方的三项需满足“两个平方项同号，加上或减去两底数乘积的2倍”。我们将现有多项式$x^2+1$的两项分别对应完全平方公式中的不同部分，分情况讨论可添加的单项式，再逐一对比选项即可判断。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，分情况讨论：
1. 若$x^2$和$1$为两个平方项，即$a^2=x^2$，$b^2=1$，则缺少的中间项为$\pm2ab=\pm2· x·1=\pm2x$，因此添加$2x$（选项A）或$-2x$（选项B）后，可得到完全平方式$x^2\pm2x+1=(x\pm1)^2$，A、B不符合题意。
2. 若$x^2$为两数乘积的2倍项，$1$为其中一个平方项，设另一平方项为$a^2$，则$2ab=x^2$、$b^2=1$即$b=\pm1$，代入得$a=\frac{1}{2}x^2$，因此$a^2=\frac{1}{4}x^4$，添加$\frac{1}{4}x^4$（选项C）后，可得到完全平方式$\frac{1}{4}x^4+x^2+1=(\frac{1}{2}x^2+1)^2$，C不符合题意。
3. 验证选项D：添加$-\frac{1}{4}x^4$后，多项式为$-\frac{1}{4}x^4+x^2+1$，整理得$-(\frac{1}{4}x^4-x^2-1)$，括号内的式子不符合完全平方公式的结构（常数项为负，无法作为平方项，且各项系数不匹配），不能用完全平方公式因式分解，D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；因式分解
【点评】
本题重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，需要通过分类讨论确定现有项在完全平方中的对应位置，是因式分解部分的常见题型，解题时注意不要漏考虑高次平方项的情况。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，即构成完全平方的三项需满足“两个平方项同号，加上或减去两底数乘积的2倍”。我们将现有多项式$x^2+1$的两项分别对应完全平方公式中的不同部分，分情况讨论可添加的单项式，再逐一对比选项即可判断。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，分情况讨论：
1. 若$x^2$和$1$为两个平方项，即$a^2=x^2$，$b^2=1$，则缺少的中间项为$\pm2ab=\pm2· x·1=\pm2x$，因此添加$2x$（选项A）或$-2x$（选项B）后，可得到完全平方式$x^2\pm2x+1=(x\pm1)^2$，A、B不符合题意。
2. 若$x^2$为两数乘积的2倍项，$1$为其中一个平方项，设另一平方项为$a^2$，则$2ab=x^2$、$b^2=1$即$b=\pm1$，代入得$a=\frac{1}{2}x^2$，因此$a^2=\frac{1}{4}x^4$，添加$\frac{1}{4}x^4$（选项C）后，可得到完全平方式$\frac{1}{4}x^4+x^2+1=(\frac{1}{2}x^2+1)^2$，C不符合题意。
3. 验证选项D：添加$-\frac{1}{4}x^4$后，多项式为$-\frac{1}{4}x^4+x^2+1$，整理得$-(\frac{1}{4}x^4-x^2-1)$，括号内的式子不符合完全平方公式的结构（常数项为负，无法作为平方项，且各项系数不匹配），不能用完全平方公式因式分解，D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；因式分解
【点评】
本题重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，需要通过分类讨论确定现有项在完全平方中的对应位置，是因式分解部分的常见题型，解题时注意不要漏考虑高次平方项的情况。
【难度系数】
0.7
5 下列各式分解因式正确的是 （
A.$(x-y)^2 +10(y-x)+25=(x-y+5)^2$
B.$(x-y)^2 -10(y-x)+25=(x-y+5)^2$
C.$(x-y)^2 +10(y-x)+25=(y-x-5)^2$
D.$(x-y)^2 -10(y-x)+25=(x-y-5)^2$
B
）A.$(x-y)^2 +10(y-x)+25=(x-y+5)^2$
B.$(x-y)^2 -10(y-x)+25=(x-y+5)^2$
C.$(x-y)^2 +10(y-x)+25=(y-x-5)^2$
D.$(x-y)^2 -10(y-x)+25=(x-y-5)^2$
答案
5.B
解析
【分析】
本题考查运用完全平方公式分解因式，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，其次注意到式子中$x-y$和$y-x$互为相反数，即$y-x=-(x-y)$，我们可以先将式子中的两项统一为同一个整体，再对照完全平方公式的结构逐个验证选项即可。
【解析】
首先明确公式：完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，且$y-x=-(x-y)$。
我们逐个分析选项：
选项A：左边$(x-y)^2 +10(y-x)+25=(x-y)^2 -10(x-y)+25$，将$x-y$看作整体$a$，则式子为$a^2-10a+25=(a-5)^2=(x-y-5)^2≠(x-y+5)^2$，A错误。
选项B：左边$(x-y)^2 -10(y-x)+25=(x-y)^2 +10(x-y)+25$，将$x-y$看作整体$a$，则式子为$a^2+10a+25=(a+5)^2=(x-y+5)^2$，和右边相等，B正确。
选项C：左边和A选项左边相同，计算结果为$(x-y-5)^2=(y-x+5)^2≠(y-x-5)^2$，C错误。
选项D：左边和B选项左边相同，计算结果为$(x-y+5)^2≠(x-y-5)^2$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解
2. 代数式恒等变形
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先统一$x-y$和$y-x$的形式，再套用完全平方公式验证，变形时要格外注意符号是否正确，避免因符号出错导致失分。
【难度系数】
0.7
本题考查运用完全平方公式分解因式，解题思路如下：首先回忆完全平方公式的结构：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，其次注意到式子中$x-y$和$y-x$互为相反数，即$y-x=-(x-y)$，我们可以先将式子中的两项统一为同一个整体，再对照完全平方公式的结构逐个验证选项即可。
【解析】
首先明确公式：完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，且$y-x=-(x-y)$。
我们逐个分析选项：
选项A：左边$(x-y)^2 +10(y-x)+25=(x-y)^2 -10(x-y)+25$，将$x-y$看作整体$a$，则式子为$a^2-10a+25=(a-5)^2=(x-y-5)^2≠(x-y+5)^2$，A错误。
选项B：左边$(x-y)^2 -10(y-x)+25=(x-y)^2 +10(x-y)+25$，将$x-y$看作整体$a$，则式子为$a^2+10a+25=(a+5)^2=(x-y+5)^2$，和右边相等，B正确。
选项C：左边和A选项左边相同，计算结果为$(x-y-5)^2=(y-x+5)^2≠(y-x-5)^2$，C错误。
选项D：左边和B选项左边相同，计算结果为$(x-y+5)^2≠(x-y-5)^2$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解
2. 代数式恒等变形
【点评】
本题属于基础题，解题核心是先统一$x-y$和$y-x$的形式，再套用完全平方公式验证，变形时要格外注意符号是否正确，避免因符号出错导致失分。
【难度系数】
0.7
6 教材P132习题T8变式 若$x^2 + (m - 3)x + 4$能用完全平方公式进行因式分解，则常数m的值为（
A.1或5
B.7或-1
C.5
D.7
B
）A.1或5
B.7或-1
C.5
D.7
答案
6.B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需明确完全平方公式有完全平方和、完全平方差两种形式，再将给定的二次三项式与完全平方公式的结构对应，找到对应项的系数关系，列方程求解即可，注意不要遗漏任意一种完全平方的情况，避免漏解。
【解析】
完全平方公式为：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，其结构可总结为“首平方，尾平方，首尾两倍在中央，符号看前方”。
已知$x^2 + (m - 3)x + 4$能用完全平方公式因式分解，对比公式结构：首项$x^2$对应$a^2$，即$a=x$；尾项$4=2^2$对应$b^2$，即$b=\pm2$。因此中间项的系数满足：
$m-3=\pm2×1×2=\pm4$
分两种情况计算：
①当$m-3=4$时，解得$m=7$；
②当$m-3=-4$时，解得$m=-1$。
综上，常数$m$的值为7或-1。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；因式分解
【点评】
本题主要考查完全平方公式的应用，易错点是容易忽略完全平方差的情况导致漏解，解题时需牢记完全平方公式的两种形式，分类讨论进行求解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需明确完全平方公式有完全平方和、完全平方差两种形式，再将给定的二次三项式与完全平方公式的结构对应，找到对应项的系数关系，列方程求解即可，注意不要遗漏任意一种完全平方的情况，避免漏解。
【解析】
完全平方公式为：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，其结构可总结为“首平方，尾平方，首尾两倍在中央，符号看前方”。
已知$x^2 + (m - 3)x + 4$能用完全平方公式因式分解，对比公式结构：首项$x^2$对应$a^2$，即$a=x$；尾项$4=2^2$对应$b^2$，即$b=\pm2$。因此中间项的系数满足：
$m-3=\pm2×1×2=\pm4$
分两种情况计算：
①当$m-3=4$时，解得$m=7$；
②当$m-3=-4$时，解得$m=-1$。
综上，常数$m$的值为7或-1。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式；因式分解
【点评】
本题主要考查完全平方公式的应用，易错点是容易忽略完全平方差的情况导致漏解，解题时需牢记完全平方公式的两种形式，分类讨论进行求解。
【难度系数】
0.7
7 分解因式：
(1) $x^2 - \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2 =$
(2) $4x^2 + 4x + 1 =$
(1) $x^2 - \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2 =$
$(x-\frac{1}{3}y)^2$
；(2) $4x^2 + 4x + 1 =$
$(2x+1)^2$
。答案
7.(1) $(x-\frac{1}{3}y)^2$
(2) $(2x+1)^2$
(2) $(2x+1)^2$
解析
【分析】
本题考查运用完全平方公式分解因式，完全平方公式的形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，解题思路如下：1. 先识别式子中的两个平方项（即“首平方”和“尾平方”），确定对应公式里的a和b；2. 验证中间项是否为a、b乘积的2倍，符号与中间项保持一致；3. 套用公式写出分解结果即可。
【解析】
(1) 对$x^2 - \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2$分析：
首平方项为$x^2$，对应$a=x$；尾平方项为$\frac{1}{9}y^2=(\frac{1}{3}y)^2$，对应$b=\frac{1}{3}y$；
中间项$-\frac{2}{3}xy = -2· x· \frac{1}{3}y$，符合完全平方差公式的结构，因此：
$x^2 - \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2=(x-\frac{1}{3}y)^2$。
(2) 对$4x^2 + 4x + 1$分析：
首平方项为$4x^2=(2x)^2$，对应$a=2x$；尾平方项为$1=1^2$，对应$b=1$；
中间项$4x=2· 2x· 1$，符合完全平方和公式的结构，因此：
$4x^2 + 4x + 1=(2x+1)^2$。
【答案】
(1) $(x-\dfrac{1}{3}y)^2$；(2) $(2x+1)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，准确识别公式中对应的a、b项即可快速求解，是对公式应用能力的基础考查。
【难度系数】
0.9
本题考查运用完全平方公式分解因式，完全平方公式的形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，解题思路如下：1. 先识别式子中的两个平方项（即“首平方”和“尾平方”），确定对应公式里的a和b；2. 验证中间项是否为a、b乘积的2倍，符号与中间项保持一致；3. 套用公式写出分解结果即可。
【解析】
(1) 对$x^2 - \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2$分析：
首平方项为$x^2$，对应$a=x$；尾平方项为$\frac{1}{9}y^2=(\frac{1}{3}y)^2$，对应$b=\frac{1}{3}y$；
中间项$-\frac{2}{3}xy = -2· x· \frac{1}{3}y$，符合完全平方差公式的结构，因此：
$x^2 - \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2=(x-\frac{1}{3}y)^2$。
(2) 对$4x^2 + 4x + 1$分析：
首平方项为$4x^2=(2x)^2$，对应$a=2x$；尾平方项为$1=1^2$，对应$b=1$；
中间项$4x=2· 2x· 1$，符合完全平方和公式的结构，因此：
$4x^2 + 4x + 1=(2x+1)^2$。
【答案】
(1) $(x-\dfrac{1}{3}y)^2$；(2) $(2x+1)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，准确识别公式中对应的a、b项即可快速求解，是对公式应用能力的基础考查。
【难度系数】
0.9
8 已知 $ a = 5 - 3b $，则式子 $ a^2 + 6ab + 9b^2 = $
25
。答案
8.25
解析
【分析】
首先观察待求式$a^2 + 6ab + 9b^2$的结构，它符合完全平方和公式的形式，因此第一步先利用完全平方公式对其因式分解；再结合已知条件$a=5-3b$，通过移项得到$a+3b$的数值，最后整体代入分解后的式子就能快速算出结果，不需要单独求解a、b的值。
【解析】
1. 因式分解待求式：
根据完全平方和公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，将$a^2 + 6ab + 9b^2$变形可得：
$a^2 + 6ab + 9b^2 = a^2 + 2· a· 3b + (3b)^2 = (a+3b)^2$
2. 由已知条件推导$a+3b$的值：
已知$a=5-3b$，将等式右侧的$-3b$移到左侧，得$a+3b=5$
3. 整体代入计算：
把$a+3b=5$代入$(a+3b)^2$，得$5^2=25$
【答案】
25
【知识点】
完全平方公式因式分解，整体代入求值
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，核心是熟练识别完全平方公式的结构特征，通过整体代入的方法简化计算，降低运算量。
【难度系数】
0.7
首先观察待求式$a^2 + 6ab + 9b^2$的结构，它符合完全平方和公式的形式，因此第一步先利用完全平方公式对其因式分解；再结合已知条件$a=5-3b$，通过移项得到$a+3b$的数值，最后整体代入分解后的式子就能快速算出结果，不需要单独求解a、b的值。
【解析】
1. 因式分解待求式：
根据完全平方和公式$m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$，将$a^2 + 6ab + 9b^2$变形可得：
$a^2 + 6ab + 9b^2 = a^2 + 2· a· 3b + (3b)^2 = (a+3b)^2$
2. 由已知条件推导$a+3b$的值：
已知$a=5-3b$，将等式右侧的$-3b$移到左侧，得$a+3b=5$
3. 整体代入计算：
把$a+3b=5$代入$(a+3b)^2$，得$5^2=25$
【答案】
25
【知识点】
完全平方公式因式分解，整体代入求值
【点评】
本题是因式分解的典型应用题型，核心是熟练识别完全平方公式的结构特征，通过整体代入的方法简化计算，降低运算量。
【难度系数】
0.7
9 教材P131练习T2变式 把下列各式分解因式：
(1) $m^2 - 12mn + 36n^2$；
(2) $9a^2 - 6a + 1$；
(3) $25x^2 - 10x + 1$；
(4) $x(x + 12) + 36$。
(1) $m^2 - 12mn + 36n^2$；
(2) $9a^2 - 6a + 1$；
(3) $25x^2 - 10x + 1$；
(4) $x(x + 12) + 36$。
答案
9.(1) $(m-6n)^2$
(2) $(3a-1)^2$
(3) $(5x-1)^2$
(4) $(x+6)^2$
(2) $(3a-1)^2$
(3) $(5x-1)^2$
(4) $(x+6)^2$
解析
【分析】
本题考查运用完全平方公式分解因式，解题思路如下：首先牢记完全平方公式的因式分解形式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，其适用的多项式特征为：共有3项，其中两项为两个整式的平方且符号一致，剩余一项为这两个整式乘积的2倍。对于前三道题，可直接观察式子结构，对应找到公式中的$a$和$b$，验证中间项是否符合特征后套用公式；第(4)题无法直接判断，先通过整式乘法展开括号，整理为标准三项式后，再用完全平方公式分解。
【解析】
(1) 观察多项式$m^2 - 12mn + 36n^2$：
首项$m^2=m^2$，末项$36n^2=(6n)^2$，两项均为平方且同号，中间项$-12mn=-2× m×6n$，符合完全平方差公式特征，因此：
$m^2 - 12mn + 36n^2=(m-6n)^2$
(2) 观察多项式$9a^2 - 6a + 1$：
首项$9a^2=(3a)^2$，末项$1=1^2$，两项均为平方且同号，中间项$-6a=-2×3a×1$，符合完全平方差公式特征，因此：
$9a^2 - 6a + 1=(3a-1)^2$
(3) 观察多项式$25x^2 - 10x + 1$：
首项$25x^2=(5x)^2$，末项$1=1^2$，两项均为平方且同号，中间项$-10x=-2×5x×1$，符合完全平方差公式特征，因此：
$25x^2 - 10x + 1=(5x-1)^2$
(4) 先展开整理多项式$x(x + 12) + 36$：
$x(x + 12) + 36=x^2+12x+36$
观察整理后的式子：首项$x^2=x^2$，末项$36=6^2$，两项均为平方且同号，中间项$12x=2× x×6$，符合完全平方和公式特征，因此：
$x(x + 12) + 36=(x+6)^2$
【答案】
(1) $(m-6n)^2$；(2) $(3a-1)^2$；(3) $(5x-1)^2$；(4) $(x+6)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式法分解因式 2. 整式的乘法运算
【点评】
本题是完全平方公式分解因式的基础练习题，解题核心是准确识别完全平方式的结构特征，对于形式不直观的多项式，要先化简为标准形式再判断分解，计算时需注意中间项的符号，避免出错。
【难度系数】
0.85
本题考查运用完全平方公式分解因式，解题思路如下：首先牢记完全平方公式的因式分解形式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，其适用的多项式特征为：共有3项，其中两项为两个整式的平方且符号一致，剩余一项为这两个整式乘积的2倍。对于前三道题，可直接观察式子结构，对应找到公式中的$a$和$b$，验证中间项是否符合特征后套用公式；第(4)题无法直接判断，先通过整式乘法展开括号，整理为标准三项式后，再用完全平方公式分解。
【解析】
(1) 观察多项式$m^2 - 12mn + 36n^2$：
首项$m^2=m^2$，末项$36n^2=(6n)^2$，两项均为平方且同号，中间项$-12mn=-2× m×6n$，符合完全平方差公式特征，因此：
$m^2 - 12mn + 36n^2=(m-6n)^2$
(2) 观察多项式$9a^2 - 6a + 1$：
首项$9a^2=(3a)^2$，末项$1=1^2$，两项均为平方且同号，中间项$-6a=-2×3a×1$，符合完全平方差公式特征，因此：
$9a^2 - 6a + 1=(3a-1)^2$
(3) 观察多项式$25x^2 - 10x + 1$：
首项$25x^2=(5x)^2$，末项$1=1^2$，两项均为平方且同号，中间项$-10x=-2×5x×1$，符合完全平方差公式特征，因此：
$25x^2 - 10x + 1=(5x-1)^2$
(4) 先展开整理多项式$x(x + 12) + 36$：
$x(x + 12) + 36=x^2+12x+36$
观察整理后的式子：首项$x^2=x^2$，末项$36=6^2$，两项均为平方且同号，中间项$12x=2× x×6$，符合完全平方和公式特征，因此：
$x(x + 12) + 36=(x+6)^2$
【答案】
(1) $(m-6n)^2$；(2) $(3a-1)^2$；(3) $(5x-1)^2$；(4) $(x+6)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式法分解因式 2. 整式的乘法运算
【点评】
本题是完全平方公式分解因式的基础练习题，解题核心是准确识别完全平方式的结构特征，对于形式不直观的多项式，要先化简为标准形式再判断分解，计算时需注意中间项的符号，避免出错。
【难度系数】
0.85
10 有下列各式:① $10am - 15a$；② $4m^2 - 9$；③ $4m^2 - 12m + 9$；④ $-4m^2 - 9$. 其中,含有因式 $2m - 3$ 的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
10.C
解析
【分析】
要判断各式是否含有因式$2m-3$，只需对4个式子逐一进行因式分解，观察分解结果中是否包含$2m-3$这个因式即可，依次使用提公因式法、平方差公式、完全平方公式对每个式子分解后判断即可。
【解析】
我们逐个对式子因式分解：
① 对$10am - 15a$提公因式$5a$，得：
$10am -15a =5a(2m - 3)$，含有因式$2m-3$，符合要求；
② 对$4m^2 -9$用平方差公式分解，得：
$4m^2 -9=(2m)^2 -3^2=(2m+3)(2m-3)$，含有因式$2m-3$，符合要求；
③ 对$4m^2 -12m +9$用完全平方公式分解，得：
$4m^2 -12m +9=(2m)^2 -2×2m×3 +3^2=(2m-3)^2$，含有因式$2m-3$，符合要求；
④ 对$-4m^2 -9$整理得$-(4m^2 +9)$，$4m^2 +9$是平方和，无法分解出因式$2m-3$，不符合要求。
综上，含有因式$2m-3$的是①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基本方法的应用，解题关键是熟练掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式的形式和运算规则，注意平方和在实数范围内不能进行因式分解，避免判断错误。
【难度系数】
0.7
要判断各式是否含有因式$2m-3$，只需对4个式子逐一进行因式分解，观察分解结果中是否包含$2m-3$这个因式即可，依次使用提公因式法、平方差公式、完全平方公式对每个式子分解后判断即可。
【解析】
我们逐个对式子因式分解：
① 对$10am - 15a$提公因式$5a$，得：
$10am -15a =5a(2m - 3)$，含有因式$2m-3$，符合要求；
② 对$4m^2 -9$用平方差公式分解，得：
$4m^2 -9=(2m)^2 -3^2=(2m+3)(2m-3)$，含有因式$2m-3$，符合要求；
③ 对$4m^2 -12m +9$用完全平方公式分解，得：
$4m^2 -12m +9=(2m)^2 -2×2m×3 +3^2=(2m-3)^2$，含有因式$2m-3$，符合要求；
④ 对$-4m^2 -9$整理得$-(4m^2 +9)$，$4m^2 +9$是平方和，无法分解出因式$2m-3$，不符合要求。
综上，含有因式$2m-3$的是①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基本方法的应用，解题关键是熟练掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式的形式和运算规则，注意平方和在实数范围内不能进行因式分解，避免判断错误。
【难度系数】
0.7
11 分解因式：$(m+n)^2 -6(m+n)+9=$
$(m+n-3)^2$
.答案
11.$(m+n-3)^2$
解析
【分析】
要对该多项式进行因式分解，首先观察式子特征：可先把$m+n$看作一个整体，再对照完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构判断：式子首项是$(m+n)$的平方，尾项是$3$的平方，中间项恰好是$-2×(m+n)×3$，完全符合完全平方差公式的结构，直接套用公式即可完成分解。
【解析】
解：将$m+n$看作整体，
原式可变形为：$(m+n)^2 - 2×(m+n)×3 + 3^2$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（其中$a=m+n$，$b=3$），代入得：
原式$=(m+n - 3)^2$
【答案】
$(m+n-3)^2$
【知识点】
1. 因式分解 2. 完全平方公式 3. 整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确识别完全平方公式的结构特征，灵活运用整体思想将重复出现的代数式看作整体代入公式计算，侧重考查学生对公式的熟悉程度和基础的整体思维能力。
【难度系数】
0.8
要对该多项式进行因式分解，首先观察式子特征：可先把$m+n$看作一个整体，再对照完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构判断：式子首项是$(m+n)$的平方，尾项是$3$的平方，中间项恰好是$-2×(m+n)×3$，完全符合完全平方差公式的结构，直接套用公式即可完成分解。
【解析】
解：将$m+n$看作整体，
原式可变形为：$(m+n)^2 - 2×(m+n)×3 + 3^2$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（其中$a=m+n$，$b=3$），代入得：
原式$=(m+n - 3)^2$
【答案】
$(m+n-3)^2$
【知识点】
1. 因式分解 2. 完全平方公式 3. 整体思想
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是准确识别完全平方公式的结构特征，灵活运用整体思想将重复出现的代数式看作整体代入公式计算，侧重考查学生对公式的熟悉程度和基础的整体思维能力。
【难度系数】
0.8
12 已知$x + y = 0.2$，$2x + 4y = 4.2$，则$x^2 + 6xy + 9y^2 =$
16
.答案
12.16 【解析】$\because x+y=0.2$①,$2x+4y=4.2$②,$\therefore$ ②$-$①,得$x+3y=4. \therefore x^2+6xy+9y^2=(x+3y)^2=16.$
解析
【分析】
解题时先观察待求代数式的结构，发现$x^2+6xy+9y^2$符合完全平方公式的特征，可因式分解为$(x+3y)^2$，因此只需计算出$x+3y$的值即可，不需要单独求解x、y的值。再观察给出的两个已知等式，将第二个等式减去第一个等式，就能直接得到$x+3y$的数值，最后代入计算即可得到结果。
【解析】
$\because x+y=0.2$①，$2x+4y=4.2$②，
$\therefore$②$-$①，得：$(2x+4y)-(x+y)=4.2-0.2$，
化简得$x+3y=4$，
根据完全平方公式，$x^2+6xy+9y^2=(x+3y)^2$，
将$x+3y=4$代入得：原式$=4^2=16$。
【答案】
16
【知识点】
完全平方公式因式分解、整体代入求值、整式的加减
【点评】
本题通过对待求式因式分解转化为含有已知式的形式，利用整体思想代入计算，避免了解二元一次方程组的繁琐，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，灵活对代数式进行变形。
【难度系数】
0.8
解题时先观察待求代数式的结构，发现$x^2+6xy+9y^2$符合完全平方公式的特征，可因式分解为$(x+3y)^2$，因此只需计算出$x+3y$的值即可，不需要单独求解x、y的值。再观察给出的两个已知等式，将第二个等式减去第一个等式，就能直接得到$x+3y$的数值，最后代入计算即可得到结果。
【解析】
$\because x+y=0.2$①，$2x+4y=4.2$②，
$\therefore$②$-$①，得：$(2x+4y)-(x+y)=4.2-0.2$，
化简得$x+3y=4$，
根据完全平方公式，$x^2+6xy+9y^2=(x+3y)^2$，
将$x+3y=4$代入得：原式$=4^2=16$。
【答案】
16
【知识点】
完全平方公式因式分解、整体代入求值、整式的加减
【点评】
本题通过对待求式因式分解转化为含有已知式的形式，利用整体思想代入计算，避免了解二元一次方程组的繁琐，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，灵活对代数式进行变形。
【难度系数】
0.8
