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12 如果在一个边长为12.75 cm的正方形内挖去一个边长为7.25 cm的小正方形，那么剩余部分的面积为
110
cm².答案
12. 110
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确剩余部分的面积等于大正方形的面积减去挖去的小正方形的面积，先列出面积差的表达式。观察表达式的结构，是两个数的平方相减，符合平方差公式的形式，运用平方差公式分解因式来计算，比直接计算两个平方数再相减更简便，能避免复杂的乘法运算，减少计算错误。
【解析】
解：剩余部分的面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积
即 $ S = 12.75^2 - 7.25^2 $
根据平方差公式 $ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $，对式子因式分解得：
$ S = (12.75 + 7.25) × (12.75 - 7.25) $
分别计算括号内的数值：
$ 12.75 + 7.25 = 20 $，$ 12.75 - 7.25 = 5.5 $
所以 $ S = 20 × 5.5 = 110 \, (cm^2) $
【答案】
110
【知识点】
正方形面积计算，平方差公式因式分解
【点评】
本题结合几何面积计算场景，考查因式分解的实际应用，合理运用平方差公式可以简化运算，提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确剩余部分的面积等于大正方形的面积减去挖去的小正方形的面积，先列出面积差的表达式。观察表达式的结构，是两个数的平方相减，符合平方差公式的形式，运用平方差公式分解因式来计算，比直接计算两个平方数再相减更简便，能避免复杂的乘法运算，减少计算错误。
【解析】
解：剩余部分的面积 = 大正方形面积 - 小正方形面积
即 $ S = 12.75^2 - 7.25^2 $
根据平方差公式 $ a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) $，对式子因式分解得：
$ S = (12.75 + 7.25) × (12.75 - 7.25) $
分别计算括号内的数值：
$ 12.75 + 7.25 = 20 $，$ 12.75 - 7.25 = 5.5 $
所以 $ S = 20 × 5.5 = 110 \, (cm^2) $
【答案】
110
【知识点】
正方形面积计算，平方差公式因式分解
【点评】
本题结合几何面积计算场景，考查因式分解的实际应用，合理运用平方差公式可以简化运算，提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
13 把下列各式分解因式：
(1) $9a^2 - (2a - b)^2$；
(2) $(2a - b)^2 - 36a^2$；
(3) $(x + 3y)^2 - (x - 3y)^2$；
(4) $25(m - n)^2 - (m + n)^2$。
(1) $9a^2 - (2a - b)^2$；
(2) $(2a - b)^2 - 36a^2$；
(3) $(x + 3y)^2 - (x - 3y)^2$；
(4) $25(m - n)^2 - (m + n)^2$。
答案
13.(1) $(5a-b)(a+b)$ (2) $-(8a-b)(4a+b)$ (3) $12xy$
(4) $4(3m-2n)(2m-3n)$
(4) $4(3m-2n)(2m-3n)$
解析
【分析】
这4道因式分解题均为两个平方项作差的结构，符合平方差公式的特征，解题思路为：第一步先识别式子中对应平方差公式$\boldsymbol{A^2-B^2=(A+B)(A-B)}$里的$A$和$B$；第二步套用平方差公式将原式写成两个整式乘积的形式；第三步对每个括号内的整式去括号、合并同类项化简，若结果首项为负要提取负号，最后确认因式分解彻底即可。
【解析】
(1) 先将$9a^2$改写为$(3a)^2$，确定$A=3a$，$B=2a-b$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(3a)^2-(2a-b)^2\\&=[3a+(2a-b)][3a-(2a-b)]\\&=(5a-b)(a+b)\end{aligned}$
(2) 先将$36a^2$改写为$(6a)^2$，确定$A=2a-b$，$B=6a$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2a-b)^2-(6a)^2\\&=[(2a-b)+6a][(2a-b)-6a]\\&=(8a-b)(-4a-b)\\&=-(8a-b)(4a+b)\end{aligned}$
(3) 确定$A=x+3y$，$B=x-3y$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(x+3y)+(x-3y)][(x+3y)-(x-3y)]\\&=2x·6y\\&=12xy\end{aligned}$
(4) 先将$25(m-n)^2$改写为$[5(m-n)]^2$，确定$A=5(m-n)$，$B=m+n$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[5(m-n)]^2-(m+n)^2\\&=[5(m-n)+(m+n)][5(m-n)-(m+n)]\\&=(6m-4n)(4m-6n)\\&=2(3m-2n)·2(2m-3n)\\&=4(3m-2n)(2m-3n)\end{aligned}$
【答案】
(1) $(5a-b)(a+b)$；(2) $-(8a-b)(4a+b)$；(3) $12xy$；(4) $4(3m-2n)(2m-3n)$
【知识点】
平方差公式分解因式、整式加减运算
【点评】
本题是平方差公式分解因式的典型基础题，解题关键是准确识别平方差结构的两个平方项，套用公式后要注意去括号的符号规则，化简结果要保证每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.7
这4道因式分解题均为两个平方项作差的结构，符合平方差公式的特征，解题思路为：第一步先识别式子中对应平方差公式$\boldsymbol{A^2-B^2=(A+B)(A-B)}$里的$A$和$B$；第二步套用平方差公式将原式写成两个整式乘积的形式；第三步对每个括号内的整式去括号、合并同类项化简，若结果首项为负要提取负号，最后确认因式分解彻底即可。
【解析】
(1) 先将$9a^2$改写为$(3a)^2$，确定$A=3a$，$B=2a-b$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(3a)^2-(2a-b)^2\\&=[3a+(2a-b)][3a-(2a-b)]\\&=(5a-b)(a+b)\end{aligned}$
(2) 先将$36a^2$改写为$(6a)^2$，确定$A=2a-b$，$B=6a$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(2a-b)^2-(6a)^2\\&=[(2a-b)+6a][(2a-b)-6a]\\&=(8a-b)(-4a-b)\\&=-(8a-b)(4a+b)\end{aligned}$
(3) 确定$A=x+3y$，$B=x-3y$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(x+3y)+(x-3y)][(x+3y)-(x-3y)]\\&=2x·6y\\&=12xy\end{aligned}$
(4) 先将$25(m-n)^2$改写为$[5(m-n)]^2$，确定$A=5(m-n)$，$B=m+n$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[5(m-n)]^2-(m+n)^2\\&=[5(m-n)+(m+n)][5(m-n)-(m+n)]\\&=(6m-4n)(4m-6n)\\&=2(3m-2n)·2(2m-3n)\\&=4(3m-2n)(2m-3n)\end{aligned}$
【答案】
(1) $(5a-b)(a+b)$；(2) $-(8a-b)(4a+b)$；(3) $12xy$；(4) $4(3m-2n)(2m-3n)$
【知识点】
平方差公式分解因式、整式加减运算
【点评】
本题是平方差公式分解因式的典型基础题，解题关键是准确识别平方差结构的两个平方项，套用公式后要注意去括号的符号规则，化简结果要保证每个因式都不能再分解。
【难度系数】
0.7
14 教材 P132 习题 T4 变式 利用因式分解简便计算：
(1) $\dfrac{1000^2}{252^2 - 248^2}$；
(2) $(1-\dfrac{1}{2^2}) × (1-\dfrac{1}{3^2}) × (1-\dfrac{1}{4^2}) × \dots × (1-\dfrac{1}{2026^2})$
(1) $\dfrac{1000^2}{252^2 - 248^2}$；
(2) $(1-\dfrac{1}{2^2}) × (1-\dfrac{1}{3^2}) × (1-\dfrac{1}{4^2}) × \dots × (1-\dfrac{1}{2026^2})$
答案
14. (1) 原式$=\dfrac{1\ 000×1\ 000}{(252+248)×(252-248)}=\dfrac{1\ 000×1\ 000}{500×4}=500$
(2) 原式$=(1-\dfrac{1}{2})×(1+\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})×(1+\dfrac{1}{3})×(1-\dfrac{1}{4})×(1+\dfrac{1}{4})×···×(1-\dfrac{1}{2\ 026})×(1+\dfrac{1}{2\ 026})=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×···×\dfrac{2\ 025}{2\ 026}×\dfrac{2\ 027}{2\ 026}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2\ 027}{2\ 026}=\dfrac{2\ 027}{4\ 052}$
(2) 原式$=(1-\dfrac{1}{2})×(1+\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})×(1+\dfrac{1}{3})×(1-\dfrac{1}{4})×(1+\dfrac{1}{4})×···×(1-\dfrac{1}{2\ 026})×(1+\dfrac{1}{2\ 026})=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×···×\dfrac{2\ 025}{2\ 026}×\dfrac{2\ 027}{2\ 026}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2\ 027}{2\ 026}=\dfrac{2\ 027}{4\ 052}$
解析
【分析】
(1) 观察算式可发现分母是两个数的平方差形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，先利用平方差公式对分母因式分解，再代入数值计算，可避免计算大数平方，简化运算步骤。
(2) 算式中每个括号内的式子都形如$1-\frac{1}{n^2}$，也就是$1^2-(\frac{1}{n})^2$，同样符合平方差公式结构，先将每个括号用平方差公式拆分为两个数的乘积，再展开所有分数，可发现中间相邻分数可以相互约分，最终仅需计算剩余首尾两项的乘积即可得出结果，大幅降低计算量。
【解析】
(1) 对分母运用平方差公式因式分解：
原式$=\dfrac{1000^2}{(252+248)×(252-248)}$
计算括号内的数值：
$=\dfrac{1000×1000}{500×4}$
约分计算得：
$=\dfrac{1000000}{2000}=500$
(2) 对每个括号内的式子运用平方差公式因式分解：
原式$=(1-\dfrac{1}{2})×(1+\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})×(1+\dfrac{1}{3})×(1-\dfrac{1}{4})×(1+\dfrac{1}{4})×···×(1-\dfrac{1}{2026})×(1+\dfrac{1}{2026})$
将每个因式化简为分数形式：
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×···×\dfrac{2025}{2026}×\dfrac{2027}{2026}$
中间相邻分数两两约分后仅剩首尾两项：
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2027}{2026}=\dfrac{2027}{4052}$
【答案】
(1) $\boxed{500}$；(2) $\boxed{\dfrac{2027}{4052}}$
【知识点】
平方差公式分解因式、分式约分、有理数简便运算
【点评】
这两道题是因式分解简便运算的典型题型，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，灵活对算式进行变形；第二题还需要观察发现约分规律，避免复杂的乘法运算，能有效提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
(1) 观察算式可发现分母是两个数的平方差形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，先利用平方差公式对分母因式分解，再代入数值计算，可避免计算大数平方，简化运算步骤。
(2) 算式中每个括号内的式子都形如$1-\frac{1}{n^2}$，也就是$1^2-(\frac{1}{n})^2$，同样符合平方差公式结构，先将每个括号用平方差公式拆分为两个数的乘积，再展开所有分数，可发现中间相邻分数可以相互约分，最终仅需计算剩余首尾两项的乘积即可得出结果，大幅降低计算量。
【解析】
(1) 对分母运用平方差公式因式分解：
原式$=\dfrac{1000^2}{(252+248)×(252-248)}$
计算括号内的数值：
$=\dfrac{1000×1000}{500×4}$
约分计算得：
$=\dfrac{1000000}{2000}=500$
(2) 对每个括号内的式子运用平方差公式因式分解：
原式$=(1-\dfrac{1}{2})×(1+\dfrac{1}{2})×(1-\dfrac{1}{3})×(1+\dfrac{1}{3})×(1-\dfrac{1}{4})×(1+\dfrac{1}{4})×···×(1-\dfrac{1}{2026})×(1+\dfrac{1}{2026})$
将每个因式化简为分数形式：
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{4}{3}×\dfrac{3}{4}×\dfrac{5}{4}×···×\dfrac{2025}{2026}×\dfrac{2027}{2026}$
中间相邻分数两两约分后仅剩首尾两项：
$=\dfrac{1}{2}×\dfrac{2027}{2026}=\dfrac{2027}{4052}$
【答案】
(1) $\boxed{500}$；(2) $\boxed{\dfrac{2027}{4052}}$
【知识点】
平方差公式分解因式、分式约分、有理数简便运算
【点评】
这两道题是因式分解简便运算的典型题型，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，灵活对算式进行变形；第二题还需要观察发现约分规律，避免复杂的乘法运算，能有效提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.7
15 如图，在一个大圆盘中，镶嵌着四个大小一样的小圆盘.已知大、小圆盘的直径都是整厘米数，涂色部分的面积为 $7π \ \mathrm{cm}^2$，求大、小圆盘的半径.
答案
15. 设大圆盘的直径为 $d_1$ cm,小圆盘的直径为 $d_2$ cm. 根据题意,得 $π(\dfrac{d_1}{2})^2 -4π(\dfrac{d_2}{2})^2 =7π$, 即 $d_1^2-4d_2^2=28$. 分解因式,得$(d_1+2d_2)(d_1-2d_2)=28$. $\because$ $d_1,d_2$ 均为整数, $\therefore$ $d_1+2d_2$,$d_1-2d_2$ 均为整数. 又$\because$ $d_1+2d_2$ 和 $d_1-2d_2$ 的奇偶性相同,且 $d_1+2d_2＞d_1-2d_2$, $\therefore$ $\begin{cases} d_1+2d_2=14,\\ d_1-2d_2=2,\\ \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} d_1=8,\\ d_2=3.\\ \end{cases}$ $\therefore$ $\dfrac{d_1}{2}=4$,$\dfrac{d_2}{2}=1.5$. $\therefore$ 大、小圆盘的半径分别为 4 cm 和 1.5 cm
解析
【分析】
首先明确涂色部分面积为大圆盘面积减去4个小圆盘的面积，先根据圆的面积公式列出面积关系等式，化简得到关于大、小圆盘直径的方程。再利用平方差公式对等式分解因式，结合大、小圆盘直径为整数、分解得到的两个因式奇偶性相同且大小不等的特点，列出二元一次方程组求解，最终换算得到半径即可。
【解析】
设大圆盘的直径为$d_1$ cm，小圆盘的直径为$d_2$ cm。
根据题意得：
$π(\dfrac{d_1}{2})^2 - 4π(\dfrac{d_2}{2})^2 = 7π$
两边同时除以$π$并化简：
$\dfrac{d_1^2}{4} - d_2^2 = 7$
整理得$d_1^2 - 4d_2^2 = 28$
用平方差公式分解因式得：
$(d_1+2d_2)(d_1-2d_2)=28$
$\because d_1、d_2$均为正整数，$\therefore d_1+2d_2$、$d_1-2d_2$均为正整数，且$d_1+2d_2＞d_1-2d_2$；又$\because d_1+2d_2$与$d_1-2d_2$的和为$2d_1$是偶数，因此二者奇偶性相同。
28的正整数因数对中只有14和2同为偶数，符合要求，因此列方程组：
$\begin{cases} d_1+2d_2=14\\ d_1-2d_2=2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} d_1=8\\ d_2=3 \end{cases}$
因此大圆盘半径为$\dfrac{d_1}{2}=4\ \mathrm{cm}$，小圆盘半径为$\dfrac{d_2}{2}=1.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
大圆盘半径为4 cm，小圆盘半径为1.5 cm
【知识点】
圆的面积计算，平方差公式因式分解，二元一次方程组求解
【点评】
本题是几何与代数结合的综合题，解题核心是通过面积关系建立方程，再结合因式分解和整数性质筛选符合条件的解，能够有效考察学生综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
首先明确涂色部分面积为大圆盘面积减去4个小圆盘的面积，先根据圆的面积公式列出面积关系等式，化简得到关于大、小圆盘直径的方程。再利用平方差公式对等式分解因式，结合大、小圆盘直径为整数、分解得到的两个因式奇偶性相同且大小不等的特点，列出二元一次方程组求解，最终换算得到半径即可。
【解析】
设大圆盘的直径为$d_1$ cm，小圆盘的直径为$d_2$ cm。
根据题意得：
$π(\dfrac{d_1}{2})^2 - 4π(\dfrac{d_2}{2})^2 = 7π$
两边同时除以$π$并化简：
$\dfrac{d_1^2}{4} - d_2^2 = 7$
整理得$d_1^2 - 4d_2^2 = 28$
用平方差公式分解因式得：
$(d_1+2d_2)(d_1-2d_2)=28$
$\because d_1、d_2$均为正整数，$\therefore d_1+2d_2$、$d_1-2d_2$均为正整数，且$d_1+2d_2＞d_1-2d_2$；又$\because d_1+2d_2$与$d_1-2d_2$的和为$2d_1$是偶数，因此二者奇偶性相同。
28的正整数因数对中只有14和2同为偶数，符合要求，因此列方程组：
$\begin{cases} d_1+2d_2=14\\ d_1-2d_2=2 \end{cases}$
解得$\begin{cases} d_1=8\\ d_2=3 \end{cases}$
因此大圆盘半径为$\dfrac{d_1}{2}=4\ \mathrm{cm}$，小圆盘半径为$\dfrac{d_2}{2}=1.5\ \mathrm{cm}$。
【答案】
大圆盘半径为4 cm，小圆盘半径为1.5 cm
【知识点】
圆的面积计算，平方差公式因式分解，二元一次方程组求解
【点评】
本题是几何与代数结合的综合题，解题核心是通过面积关系建立方程，再结合因式分解和整数性质筛选符合条件的解，能够有效考察学生综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
