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1 教材 P129 练习 T1 变式 下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是 （
A.$a^2 + b^2$
B.$-a^2 - b^2$
C.$-a^2 + b^2$
D.$a^2 - 2a$
C
）A.$a^2 + b^2$
B.$-a^2 - b^2$
C.$-a^2 + b^2$
D.$a^2 - 2a$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断哪个多项式能用平方差公式因式分解，首先要明确平方差公式分解因式的适用条件：多项式是两项式，两项都可以表示成平方的形式，且两项的符号相反。接下来我们只需逐个对照条件分析每个选项即可得出答案。
【解析】
平方差公式因式分解的形式为：$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$，即需满足“两项、异号、均为平方项”的特征。
选项A：$a^2 + b^2$，两项符号相同，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式分解；
选项B：$-a^2 - b^2 = -(a^2 + b^2)$，两项符号相同，不符合特征，不能用平方差公式分解；
选项C：$-a^2 + b^2 = b^2 - a^2$，是两项、异号、均为平方项，符合平方差公式特征，可分解为$(b+a)(b-a)$；
选项D：$a^2 - 2a$，其中$2a$不是平方项，不符合特征，不能用平方差公式分解。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式；多项式结构识别
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是掌握平方差公式分解因式的多项式的结构特征，牢记“两项、异号、均为平方项”的判断口诀就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
要判断哪个多项式能用平方差公式因式分解，首先要明确平方差公式分解因式的适用条件：多项式是两项式，两项都可以表示成平方的形式，且两项的符号相反。接下来我们只需逐个对照条件分析每个选项即可得出答案。
【解析】
平方差公式因式分解的形式为：$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$，即需满足“两项、异号、均为平方项”的特征。
选项A：$a^2 + b^2$，两项符号相同，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式分解；
选项B：$-a^2 - b^2 = -(a^2 + b^2)$，两项符号相同，不符合特征，不能用平方差公式分解；
选项C：$-a^2 + b^2 = b^2 - a^2$，是两项、异号、均为平方项，符合平方差公式特征，可分解为$(b+a)(b-a)$；
选项D：$a^2 - 2a$，其中$2a$不是平方项，不符合特征，不能用平方差公式分解。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式；多项式结构识别
【点评】
本题是基础概念应用题，核心是掌握平方差公式分解因式的多项式的结构特征，牢记“两项、异号、均为平方项”的判断口诀就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
2 多项式$\frac{1}{16} - x^2$分解因式的结果是 （
A.$(\frac{1}{4} - x)(\frac{1}{4} + x)$
B.$(x - \frac{1}{4})(x + \frac{1}{4})$
C.$(\frac{1}{8} + x)(\frac{1}{8} - x)$
D.$(\frac{1}{4} - x)^2$
A
）A.$(\frac{1}{4} - x)(\frac{1}{4} + x)$
B.$(x - \frac{1}{4})(x + \frac{1}{4})$
C.$(\frac{1}{8} + x)(\frac{1}{8} - x)$
D.$(\frac{1}{4} - x)^2$
答案
2.A
解析
【分析】
这道题考查运用平方差公式分解因式，解题时首先观察多项式的结构，原式是两个数的平方相减的形式，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$的特征，我们只需要先确定两个平方项对应的底数，再代入公式即可，同时要注意辨析各选项的正误，排除不符合公式的选项。
【解析】
首先回忆平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，即$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$。
观察多项式$\frac{1}{16} - x^2$，可得$\frac{1}{16}=(\frac{1}{4})^2$，因此原式可变形为：
$\frac{1}{16} - x^2=(\frac{1}{4})^2 - x^2$
代入平方差公式，令$a=\frac{1}{4}$，$b=x$，则：
$(\frac{1}{4})^2 - x^2=(\frac{1}{4}-x)(\frac{1}{4}+x)$
逐一验证其余选项：
B选项：$(x-\frac{1}{4})(x+\frac{1}{4})=x^2-\frac{1}{16}$，与原式符号相反，错误；
C选项：$(\frac{1}{8}+x)(\frac{1}{8}-x)=\frac{1}{64}-x^2$，平方项底数错误，错误；
D选项：$(\frac{1}{4}-x)^2=\frac{1}{16}-\frac{1}{2}x+x^2$，是完全平方式，与原式不符，错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是准确识别平方差公式的结构特征，确定两个平方项的底数，解题时注意区分平方差和完全平方公式的区别，避免符号和底数识别错误。
【难度系数】
0.9
这道题考查运用平方差公式分解因式，解题时首先观察多项式的结构，原式是两个数的平方相减的形式，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$的特征，我们只需要先确定两个平方项对应的底数，再代入公式即可，同时要注意辨析各选项的正误，排除不符合公式的选项。
【解析】
首先回忆平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，即$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$。
观察多项式$\frac{1}{16} - x^2$，可得$\frac{1}{16}=(\frac{1}{4})^2$，因此原式可变形为：
$\frac{1}{16} - x^2=(\frac{1}{4})^2 - x^2$
代入平方差公式，令$a=\frac{1}{4}$，$b=x$，则：
$(\frac{1}{4})^2 - x^2=(\frac{1}{4}-x)(\frac{1}{4}+x)$
逐一验证其余选项：
B选项：$(x-\frac{1}{4})(x+\frac{1}{4})=x^2-\frac{1}{16}$，与原式符号相反，错误；
C选项：$(\frac{1}{8}+x)(\frac{1}{8}-x)=\frac{1}{64}-x^2$，平方项底数错误，错误；
D选项：$(\frac{1}{4}-x)^2=\frac{1}{16}-\frac{1}{2}x+x^2$，是完全平方式，与原式不符，错误。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是准确识别平方差公式的结构特征，确定两个平方项的底数，解题时注意区分平方差和完全平方公式的区别，避免符号和底数识别错误。
【难度系数】
0.9
3 $9x^2 - y^2$分解因式的结果为（
A.$(9x+y)(9x-y)$
B.$9(x+y)(x-y)$
C.$(3x+y)(3x-y)$
D.$3(x+y)(x-y)$
C
）A.$(9x+y)(9x-y)$
B.$9(x+y)(x-y)$
C.$(3x+y)(3x-y)$
D.$3(x+y)(x-y)$
答案
3.C
解析
【分析】
拿到这道因式分解题，首先观察多项式结构：$9x^2 - y^2$是两项的差，且两项都可以写成平方形式，符合平方差公式的结构特征，因此优先用平方差公式求解。第一步回忆平方差公式形式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；第二步将原式两项对应公式里的$a^2$和$b^2$，$9x^2$可变形为$(3x)^2$，$y^2$就是$y^2$，即$a=3x$，$b=y$；第三步代入公式得到分解结果，也可通过排除法验证选项：A未对9开平方，B错误提取公因式9，D错误提取公因式3且未对系数开平方，三项均错误。
【解析】
解：运用平方差公式分解因式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
先对原式变形：
$9x^2 - y^2 = (3x)^2 - y^2$
令$a=3x$，$b=y$，代入公式得：
$(3x)^2 - y^2 = (3x + y)(3x - y)$
因此分解结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式、积的乘方逆运算
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构特征的掌握，解题关键是先把多项式的两项转化为平方形式，准确对应公式中的a和b，避免出现系数不开方的常见错误。
【难度系数】
0.85
拿到这道因式分解题，首先观察多项式结构：$9x^2 - y^2$是两项的差，且两项都可以写成平方形式，符合平方差公式的结构特征，因此优先用平方差公式求解。第一步回忆平方差公式形式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；第二步将原式两项对应公式里的$a^2$和$b^2$，$9x^2$可变形为$(3x)^2$，$y^2$就是$y^2$，即$a=3x$，$b=y$；第三步代入公式得到分解结果，也可通过排除法验证选项：A未对9开平方，B错误提取公因式9，D错误提取公因式3且未对系数开平方，三项均错误。
【解析】
解：运用平方差公式分解因式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
先对原式变形：
$9x^2 - y^2 = (3x)^2 - y^2$
令$a=3x$，$b=y$，代入公式得：
$(3x)^2 - y^2 = (3x + y)(3x - y)$
因此分解结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式、积的乘方逆运算
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对平方差公式结构特征的掌握，解题关键是先把多项式的两项转化为平方形式，准确对应公式中的a和b，避免出现系数不开方的常见错误。
【难度系数】
0.85
4 下列各式中,利用平方差公式分解因式正确的是 (
A.$1+25a^2=(1+5a)(1-5a)$
B.$m^2-16m=m(m+4)(m-4)$
C.$x^2-49b^2=(x+49b)(x-49b)$
D.$9-4x^2=(3+2x)(3-2x)$
D
)A.$1+25a^2=(1+5a)(1-5a)$
B.$m^2-16m=m(m+4)(m-4)$
C.$x^2-49b^2=(x+49b)(x-49b)$
D.$9-4x^2=(3+2x)(3-2x)$
答案
4.D
解析
【分析】
要判断哪个选项是利用平方差公式正确分解因式，首先需明确平方差公式分解因式的结构特征：公式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，即多项式必须是两个平方项作差的形式，分解结果是两个数的和乘这两个数的差。解题时先逐个验证选项是否符合公式结构，再判断分解是否正确即可。
【解析】
我们结合平方差公式的特征逐一分析选项：
选项A：$1+25a^2$是两个平方项的和，不是差，不符合平方差公式的结构，无法用平方差公式分解，该选项错误；
选项B：$m^2-16m$的第二项不是平方项，提取公因式$m$后得到$m(m-16)$，无法继续用平方差公式分解，该选项错误；
选项C：$x^2-49b^2$中，$49b^2=(7b)^2$，正确分解结果应为$(x+7b)(x-7b)$，选项中误将$7b$写为$49b$，分解错误，该选项错误；
选项D：$9-4x^2$可变形为$3^2-(2x)^2$，符合平方差公式结构，分解得$(3+2x)(3-2x)$，分解正确。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式因式分解、因式分解正误判断
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方差公式的结构特征，解题时需注意先判断多项式是否满足“两个平方项作差”的前提，再准确识别两个平方项对应的底数，避免出现系数、符号类的错误。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项是利用平方差公式正确分解因式，首先需明确平方差公式分解因式的结构特征：公式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，即多项式必须是两个平方项作差的形式，分解结果是两个数的和乘这两个数的差。解题时先逐个验证选项是否符合公式结构，再判断分解是否正确即可。
【解析】
我们结合平方差公式的特征逐一分析选项：
选项A：$1+25a^2$是两个平方项的和，不是差，不符合平方差公式的结构，无法用平方差公式分解，该选项错误；
选项B：$m^2-16m$的第二项不是平方项，提取公因式$m$后得到$m(m-16)$，无法继续用平方差公式分解，该选项错误；
选项C：$x^2-49b^2$中，$49b^2=(7b)^2$，正确分解结果应为$(x+7b)(x-7b)$，选项中误将$7b$写为$49b$，分解错误，该选项错误；
选项D：$9-4x^2$可变形为$3^2-(2x)^2$，符合平方差公式结构，分解得$(3+2x)(3-2x)$，分解正确。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式因式分解、因式分解正误判断
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方差公式的结构特征，解题时需注意先判断多项式是否满足“两个平方项作差”的前提，再准确识别两个平方项对应的底数，避免出现系数、符号类的错误。
【难度系数】
0.8
5 运用平方差公式填空：
(1) $x^2 - \_\_\_\_\_\_ = (x + 11)(x - \_\_\_\_\_\_)$；
(2) $-1 + \_\_\_\_\_\_ = (1 + 13m)(\_\_\_\_\_\_ - 1)$。
(1) $x^2 - \_\_\_\_\_\_ = (x + 11)(x - \_\_\_\_\_\_)$；
(2) $-1 + \_\_\_\_\_\_ = (1 + 13m)(\_\_\_\_\_\_ - 1)$。
答案
5.(1) 121 11 (2) $169m^2$ $13m$
解析
【分析】
解题的核心是运用平方差公式的结构特征分析：平方差公式为$\boldsymbol{a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)}$，即等式左边是两个数的平方差，右边是这两个数的和与差的乘积。解题时将题目给出的式子和公式结构一一对应，找到公式中对应的a、b即可完成填空。
第(1)题右侧给出$(x+11)$，对应公式中“两数和”的部分，可知a=x，b=11，代入公式就能推导左侧空缺和右侧第二个空缺；第(2)题右侧给出$(1+13m)$，调整后对应“两数和”的部分，可知a=13m，b=1，代入公式推导左侧空缺和右侧第二个空缺即可。
【解析】
首先明确平方差公式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
(1) 观察右侧式子$(x + 11)(x - \_\_\_\_\_\_)$，符合平方差公式右侧的结构，其中a=x，b=11，代入公式得：
$(x + 11)(x - 11) = x^2 - 11^2 = x^2 - 121$，因此第一个空缺填121，第二个空缺填11。
(2) 观察右侧式子$(1 + 13m)(\_\_\_\_\_\_ - 1)$，调整顺序后符合平方差公式右侧“两数和乘两数差”的结构，其中a=13m，b=1，代入公式得：
$(13m + 1)(13m - 1) = (13m)^2 - 1^2 = 169m^2 - 1 = -1 + 169m^2$，因此第一个空缺填$169m^2$，第二个空缺填$13m$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{121}$，$\boldsymbol{11}$；(2) $\boldsymbol{169m^2}$，$\boldsymbol{13m}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 公式法因式分解
【点评】
本题侧重考查对平方差公式结构特征的理解与运用，解题关键是准确匹配公式中对应的两个数a和b，熟练掌握平方差公式的形式是解决这类基础因式分解题的前提。
【难度系数】
0.8
解题的核心是运用平方差公式的结构特征分析：平方差公式为$\boldsymbol{a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)}$，即等式左边是两个数的平方差，右边是这两个数的和与差的乘积。解题时将题目给出的式子和公式结构一一对应，找到公式中对应的a、b即可完成填空。
第(1)题右侧给出$(x+11)$，对应公式中“两数和”的部分，可知a=x，b=11，代入公式就能推导左侧空缺和右侧第二个空缺；第(2)题右侧给出$(1+13m)$，调整后对应“两数和”的部分，可知a=13m，b=1，代入公式推导左侧空缺和右侧第二个空缺即可。
【解析】
首先明确平方差公式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
(1) 观察右侧式子$(x + 11)(x - \_\_\_\_\_\_)$，符合平方差公式右侧的结构，其中a=x，b=11，代入公式得：
$(x + 11)(x - 11) = x^2 - 11^2 = x^2 - 121$，因此第一个空缺填121，第二个空缺填11。
(2) 观察右侧式子$(1 + 13m)(\_\_\_\_\_\_ - 1)$，调整顺序后符合平方差公式右侧“两数和乘两数差”的结构，其中a=13m，b=1，代入公式得：
$(13m + 1)(13m - 1) = (13m)^2 - 1^2 = 169m^2 - 1 = -1 + 169m^2$，因此第一个空缺填$169m^2$，第二个空缺填$13m$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{121}$，$\boldsymbol{11}$；(2) $\boldsymbol{169m^2}$，$\boldsymbol{13m}$
【知识点】
1. 平方差公式
2. 公式法因式分解
【点评】
本题侧重考查对平方差公式结构特征的理解与运用，解题关键是准确匹配公式中对应的两个数a和b，熟练掌握平方差公式的形式是解决这类基础因式分解题的前提。
【难度系数】
0.8
6 分解因式：
(1) [2025 陕西]$a^2 - 1 =$
(2) [2025 常州]$x^2 - 9y^2 =$
(1) [2025 陕西]$a^2 - 1 =$
$(a+1)(a-1)$
;(2) [2025 常州]$x^2 - 9y^2 =$
$(x+3y)(x-3y)$
.答案
6.(1) $(a+1)(a-1)$ (2) $(x+3y)(x-3y)$
解析
【分析】
这两道题都考查运用平方差公式进行因式分解，解题时先判断式子是否符合平方差公式的结构特征：式子包含两项，两项均为平方形式且符号相反，符合特征即可直接套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解。第(1)题中可将1看作$1^2$，对应公式中的$b^2$；第(2)题中可将$9y^2$看作$(3y)^2$，对应公式中的$b^2$。
【解析】
(1) 式子$a^2-1$符合平方差公式结构，将1变形为$1^2$后代入公式：
$a^2-1=a^2-1^2=(a+1)(a-1)$
(2) 式子$x^2-9y^2$符合平方差公式结构，先将$9y^2$变形为$(3y)^2$，再代入公式：
$x^2-9y^2=x^2-(3y)^2=(x+3y)(x-3y)$
【答案】
(1) $(a+1)(a-1)$；(2) $(x+3y)(x-3y)$
【知识点】
平方差公式分解因式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对平方差公式结构的识别与直接应用，熟练掌握平方差公式的形式，准确找到公式中对应的a和b即可快速求解。
【难度系数】
0.9
这两道题都考查运用平方差公式进行因式分解，解题时先判断式子是否符合平方差公式的结构特征：式子包含两项，两项均为平方形式且符号相反，符合特征即可直接套用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解。第(1)题中可将1看作$1^2$，对应公式中的$b^2$；第(2)题中可将$9y^2$看作$(3y)^2$，对应公式中的$b^2$。
【解析】
(1) 式子$a^2-1$符合平方差公式结构，将1变形为$1^2$后代入公式：
$a^2-1=a^2-1^2=(a+1)(a-1)$
(2) 式子$x^2-9y^2$符合平方差公式结构，先将$9y^2$变形为$(3y)^2$，再代入公式：
$x^2-9y^2=x^2-(3y)^2=(x+3y)(x-3y)$
【答案】
(1) $(a+1)(a-1)$；(2) $(x+3y)(x-3y)$
【知识点】
平方差公式分解因式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查对平方差公式结构的识别与直接应用，熟练掌握平方差公式的形式，准确找到公式中对应的a和b即可快速求解。
【难度系数】
0.9
7 利用因式分解计算：$201^2 - 199^2 =$
800
.答案
7. 800
解析
【分析】
首先观察算式的结构，发现是两个数的平方作差的形式，刚好符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，因此优先考虑用平方差公式对原式因式分解，再代入数值计算，相比直接计算两个大数的平方，这种方法计算更简便，也能降低计算出错的概率。
【解析】
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=201$，$b=199$，代入可得：
$\begin{aligned}201^2 - 199^2&=(201+199)×(201-199)\\&=400×2\\&=800\end{aligned}$
【答案】
800
【知识点】
平方差公式；因式分解的应用
【点评】
本题考查利用因式分解实现简便运算，解题的核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，识别出算式符合平方差的形式后，通过因式分解可以大幅简化计算过程，避免直接计算大数平方的繁琐。
【难度系数】
0.9
首先观察算式的结构，发现是两个数的平方作差的形式，刚好符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，因此优先考虑用平方差公式对原式因式分解，再代入数值计算，相比直接计算两个大数的平方，这种方法计算更简便，也能降低计算出错的概率。
【解析】
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=201$，$b=199$，代入可得：
$\begin{aligned}201^2 - 199^2&=(201+199)×(201-199)\\&=400×2\\&=800\end{aligned}$
【答案】
800
【知识点】
平方差公式；因式分解的应用
【点评】
本题考查利用因式分解实现简便运算，解题的核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，识别出算式符合平方差的形式后，通过因式分解可以大幅简化计算过程，避免直接计算大数平方的繁琐。
【难度系数】
0.9
8 已知$|x - 4y + 2| + \sqrt{2x + 8y - 10} = 0$，则$x^2 - 16y^2$的值为
-10
。答案
8. $-10$
【解析】根据题意,得$\begin{cases} x-4y+2=0,\\ 2x+8y-10=0,\\ \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} x-4y=-2,\\ x+4y=5.\\ \end{cases}$
$\therefore x^2-16y^2=(x+4y)(x-4y)=5×(-2)=-10.$
【解析】根据题意,得$\begin{cases} x-4y+2=0,\\ 2x+8y-10=0,\\ \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} x-4y=-2,\\ x+4y=5.\\ \end{cases}$
$\therefore x^2-16y^2=(x+4y)(x-4y)=5×(-2)=-10.$
解析
【分析】
绝对值和算术平方根都具有非负性（结果≥0），两个非负数相加和为0时，每个非负数的值都为0，据此可列出关于x、y的方程组。观察待求式$x^2-16y^2$，符合平方差公式的形式，可分解为$(x-4y)(x+4y)$，无需单独求解x、y，只需从方程组中整理得到$x-4y$和$x+4y$的整体值，代入计算即可。
【解析】
根据非负数的性质，可得方程组：
$\begin{cases} x-4y+2=0\\ 2x+8y-10=0 \end{cases}$
整理两个方程得：
$\begin{cases} x-4y=-2\\ x+4y=5 \end{cases}$
利用平方差公式因式分解待求式：
$x^2-16y^2=(x+4y)(x-4y)$
将$x-4y=-2$、$x+4y=5$代入上式：
原式$=5×(-2)=-10$
【答案】
$-10$
【知识点】
非负数的性质，平方差公式，整体代入求值
【点评】
本题综合考查非负数性质与因式分解的应用，采用整体代入的思路可避免单独求解x、y的繁琐运算，是代数部分的常见综合题型。
【难度系数】
0.7
绝对值和算术平方根都具有非负性（结果≥0），两个非负数相加和为0时，每个非负数的值都为0，据此可列出关于x、y的方程组。观察待求式$x^2-16y^2$，符合平方差公式的形式，可分解为$(x-4y)(x+4y)$，无需单独求解x、y，只需从方程组中整理得到$x-4y$和$x+4y$的整体值，代入计算即可。
【解析】
根据非负数的性质，可得方程组：
$\begin{cases} x-4y+2=0\\ 2x+8y-10=0 \end{cases}$
整理两个方程得：
$\begin{cases} x-4y=-2\\ x+4y=5 \end{cases}$
利用平方差公式因式分解待求式：
$x^2-16y^2=(x+4y)(x-4y)$
将$x-4y=-2$、$x+4y=5$代入上式：
原式$=5×(-2)=-10$
【答案】
$-10$
【知识点】
非负数的性质，平方差公式，整体代入求值
【点评】
本题综合考查非负数性质与因式分解的应用，采用整体代入的思路可避免单独求解x、y的繁琐运算，是代数部分的常见综合题型。
【难度系数】
0.7
9 教材 P129 练习 T2 变式 把下列各式分解因式：
(1) $\frac{1}{4}x^2y^2 -1$；
(2) $81 - \frac{1}{16}m^2$；
(3) $-25 + a^4b^4$；
(4) $49x^4 -25y^2$。
(1) $\frac{1}{4}x^2y^2 -1$；
(2) $81 - \frac{1}{16}m^2$；
(3) $-25 + a^4b^4$；
(4) $49x^4 -25y^2$。
答案
9.(1) $(\dfrac{1}{2}xy+1)(\dfrac{1}{2}xy-1)$ (2) $(9+\dfrac{1}{4}m)(9-\dfrac{1}{4}m)$
(3) $(a^2b^2+5)(a^2b^2-5)$ (4) $(7x^2+5y)(7x^2-5y)$
(3) $(a^2b^2+5)(a^2b^2-5)$ (4) $(7x^2+5y)(7x^2-5y)$
解析
【分析】
这4道因式分解题的共同特征是都可转化为两个式子的平方差形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的适用条件。解题时先观察式子结构，确认满足“两项、符号相反、两项均能写成某数或整式的平方”的特征后，若有需要先调整项的顺序（如第(3)题），再分别找到对应平方差公式中的$a$和$b$，最后代入公式完成分解即可。
【解析】
(1) 将原式变形为平方差形式：
$\frac{1}{4}x^2y^2 -1 = (\frac{1}{2}xy)^2 - 1^2$
根据平方差公式分解得：
$=(\frac{1}{2}xy + 1)(\frac{1}{2}xy - 1)$
(2) 将原式变形为平方差形式：
$81 - \frac{1}{16}m^2 = 9^2 - (\frac{1}{4}m)^2$
根据平方差公式分解得：
$=(9 + \frac{1}{4}m)(9 - \frac{1}{4}m)$
(3) 先调整项的顺序，转化为平方差形式：
$-25 + a^4b^4 = a^4b^4 - 25 = (a^2b^2)^2 - 5^2$
根据平方差公式分解得：
$=(a^2b^2 + 5)(a^2b^2 - 5)$
(4) 将原式变形为平方差形式：
$49x^4 - 25y^2 = (7x^2)^2 - (5y)^2$
根据平方差公式分解得：
$=(7x^2 + 5y)(7x^2 - 5y)$
【答案】
(1) $(\dfrac{1}{2}xy+1)(\dfrac{1}{2}xy-1)$
(2) $(9+\dfrac{1}{4}m)(9-\dfrac{1}{4}m)$
(3) $(a^2b^2+5)(a^2b^2-5)$
(4) $(7x^2+5y)(7x^2-5y)$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 幂的乘方逆运算
【点评】
本题是运用平方差公式分解因式的基础训练题，核心是准确识别平方差公式的结构特征，解题时注意正确找出公式中对应的$a$和$b$，必要时先调整式子顺序再分解，熟练掌握公式特征后可快速求解。
【难度系数】
0.85
这4道因式分解题的共同特征是都可转化为两个式子的平方差形式，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的适用条件。解题时先观察式子结构，确认满足“两项、符号相反、两项均能写成某数或整式的平方”的特征后，若有需要先调整项的顺序（如第(3)题），再分别找到对应平方差公式中的$a$和$b$，最后代入公式完成分解即可。
【解析】
(1) 将原式变形为平方差形式：
$\frac{1}{4}x^2y^2 -1 = (\frac{1}{2}xy)^2 - 1^2$
根据平方差公式分解得：
$=(\frac{1}{2}xy + 1)(\frac{1}{2}xy - 1)$
(2) 将原式变形为平方差形式：
$81 - \frac{1}{16}m^2 = 9^2 - (\frac{1}{4}m)^2$
根据平方差公式分解得：
$=(9 + \frac{1}{4}m)(9 - \frac{1}{4}m)$
(3) 先调整项的顺序，转化为平方差形式：
$-25 + a^4b^4 = a^4b^4 - 25 = (a^2b^2)^2 - 5^2$
根据平方差公式分解得：
$=(a^2b^2 + 5)(a^2b^2 - 5)$
(4) 将原式变形为平方差形式：
$49x^4 - 25y^2 = (7x^2)^2 - (5y)^2$
根据平方差公式分解得：
$=(7x^2 + 5y)(7x^2 - 5y)$
【答案】
(1) $(\dfrac{1}{2}xy+1)(\dfrac{1}{2}xy-1)$
(2) $(9+\dfrac{1}{4}m)(9-\dfrac{1}{4}m)$
(3) $(a^2b^2+5)(a^2b^2-5)$
(4) $(7x^2+5y)(7x^2-5y)$
【知识点】
1. 平方差公式分解因式
2. 幂的乘方逆运算
【点评】
本题是运用平方差公式分解因式的基础训练题，核心是准确识别平方差公式的结构特征，解题时注意正确找出公式中对应的$a$和$b$，必要时先调整式子顺序再分解，熟练掌握公式特征后可快速求解。
【难度系数】
0.85
10 若$a+b=3$,则$a^2+6b-b^2$的值为（
A.3
B.6
C.9
D.12
C
）A.3
B.6
C.9
D.12
答案
10.C
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，发现式子中含有$a^2$和$-b^2$，可优先考虑利用平方差公式对$a^2 - b^2$因式分解，再结合已知条件$a+b=3$，代入后逐步化简代数式，最后通过整体代入$a+b=3$即可求出结果，无需单独求解$a$、$b$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
先对所求代数式变形：
$a^2+6b-b^2 = a^2 - b^2 + 6b$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入得：
原式$=(a+b)(a-b) + 6b$
已知$a+b=3$，将其代入上式：
原式$=3(a-b) + 6b$
展开括号并合并同类项：
$=3a - 3b + 6b$
$=3a + 3b$
提取公因式3，可得：
$=3(a+b)$
再将$a+b=3$整体代入：
$=3×3=9$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解，整式化简，整体代入求值
【点评】
本题主要考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用整体代入的思想，不需要计算单个字母的取值即可快速求解，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
首先观察所求代数式的结构，发现式子中含有$a^2$和$-b^2$，可优先考虑利用平方差公式对$a^2 - b^2$因式分解，再结合已知条件$a+b=3$，代入后逐步化简代数式，最后通过整体代入$a+b=3$即可求出结果，无需单独求解$a$、$b$的具体值，能简化计算过程。
【解析】
先对所求代数式变形：
$a^2+6b-b^2 = a^2 - b^2 + 6b$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入得：
原式$=(a+b)(a-b) + 6b$
已知$a+b=3$，将其代入上式：
原式$=3(a-b) + 6b$
展开括号并合并同类项：
$=3a - 3b + 6b$
$=3a + 3b$
提取公因式3，可得：
$=3(a+b)$
再将$a+b=3$整体代入：
$=3×3=9$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式因式分解，整式化简，整体代入求值
【点评】
本题主要考查因式分解在代数式求值中的应用，核心是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用整体代入的思想，不需要计算单个字母的取值即可快速求解，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7
11 教材 P132 习题 T7 变式 对任意整数 $n$，$(2n+3)^2 -1$ 都（
A.能被2整除，不能被4整除
B.能被3整除
C.能被4整除
D.能被5整除
C
）A.能被2整除，不能被4整除
B.能被3整除
C.能被4整除
D.能被5整除
答案
11.C
解析
【分析】
本题可通过因式分解化简代数式后判断整除性。首先观察代数式为“平方减常数”的结构，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的形式，优先用平方差公式分解因式，再整理分解后的式子，判断是否含有选项对应的因数即可；也可通过代入特殊整数$n$计算结果，排除错误选项快速得到答案。
【解析】
方法一：因式分解法
根据平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}(2n+3)^2 -1&=(2n+3-1)(2n+3+1)\\&=(2n+2)(2n+4)\\&=2(n+1)×2(n+2)\\&=4(n+1)(n+2)\end{aligned}$
因为$n$是整数，所以$(n+1)(n+2)$也是整数，因此$4(n+1)(n+2)$是4的倍数，即原式能被4整除。
方法二：特殊值排除法
取$n=0$，代入得原式$=(0+3)^2-1=8$：
8能被4整除，排除A选项；
8不能被3、5整除，排除B、D选项。
综上可得答案为C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式，因式分解的应用，整除性判断
【点评】
本题考查因式分解在整除问题中的应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，正确对多项式进行因式分解，也可利用特殊值法快速排除错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
本题可通过因式分解化简代数式后判断整除性。首先观察代数式为“平方减常数”的结构，符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的形式，优先用平方差公式分解因式，再整理分解后的式子，判断是否含有选项对应的因数即可；也可通过代入特殊整数$n$计算结果，排除错误选项快速得到答案。
【解析】
方法一：因式分解法
根据平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}(2n+3)^2 -1&=(2n+3-1)(2n+3+1)\\&=(2n+2)(2n+4)\\&=2(n+1)×2(n+2)\\&=4(n+1)(n+2)\end{aligned}$
因为$n$是整数，所以$(n+1)(n+2)$也是整数，因此$4(n+1)(n+2)$是4的倍数，即原式能被4整除。
方法二：特殊值排除法
取$n=0$，代入得原式$=(0+3)^2-1=8$：
8能被4整除，排除A选项；
8不能被3、5整除，排除B、D选项。
综上可得答案为C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式分解因式，因式分解的应用，整除性判断
【点评】
本题考查因式分解在整除问题中的应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，正确对多项式进行因式分解，也可利用特殊值法快速排除错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
