11 函数$y=x^2+2x-3(-2≤ x≤2)$的最大值和最小值分别是（）

A.4和-3
B.-3和-4
C.5和-4
D.5和-3

11. C

【分析】
要解决给定区间内二次函数的最值问题，首先可将二次函数配方为顶点式，明确抛物线的开口方向与对称轴；再判断对称轴是否落在给定的自变量取值区间内：对于开口向上的抛物线，若对称轴在区间内，则顶点处取最小值，最大值取区间两个端点中离对称轴更远的点对应的函数值，最后计算对应值即可得到结果。
【解析】
第一步：将函数配方为顶点式
$y=x^2+2x-3=(x^2+2x+1)-1-3=(x+1)^2-4$
第二步：判断抛物线性质
二次项系数$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$。
第三步：判断对称轴与区间的关系
给定自变量取值范围为$-2≤ x≤2$，对称轴$x=-1$在该区间内。
第四步：计算最值
①最小值：开口向上的抛物线顶点处取最小值，当$x=-1$时，$y_{\mathrm{最小}}=-4$；
②计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=(-2)^2+2×(-2)-3=-3$；
当$x=2$时，$y=2^2+2×2-3=5$。
比较两个端点的函数值，$5＞-3$，因此最大值为$5$。
综上，函数的最大值为5，最小值为-4。
【答案】
C
【知识点】
二次函数最值求解，二次函数顶点式，二次函数图象性质
【点评】
本题考查二次函数在固定区间内的最值计算，解题核心是结合抛物线开口方向、对称轴位置与自变量取值范围综合判断最值的取值点，避免忽略自变量范围直接将顶点值作为最值的错误。
【难度系数】
0.8

12 对于二次函数 $y=-x^2+2x-4$，下列说法正确的是 （）

A.当 $x＞0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小
B.当 $x=1$ 时，$y$ 有最大值 $-3$
C.其图象的顶点为 $(-1,-3)$
D.其图象与 $x$ 轴有两个交点

12. B

【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+bx+c$的相关性质，解题思路如下：首先将二次函数的一般式转化为顶点式，可快速得到抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，据此判断A、B、C三个选项；再通过计算判别式$\Delta$的值，即可判断抛物线与$x$轴的交点个数，验证D选项。
【解析】
先将二次函数解析式配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-x^2+2x-4\\&=-(x^2-2x)-4\\&=-(x^2-2x+1-1)-4\\&=-(x-1)^2+1-4\\&=-(x-1)^2-3\end{aligned}$
$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-3)$。
逐个分析选项：
A选项：抛物线开口向下，在对称轴右侧$x＞1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$0＜x＜1$时，$y$随$x$的增大而增大，故A错误。
B选项：抛物线开口向下，顶点为图象最高点，当$x=1$时，$y$取得最大值，最大值为$-3$，故B正确。
C选项：由顶点式可知顶点坐标为$(1,-3)$，不是$(-1,-3)$，故C错误。
D选项：计算判别式$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×(-1)×(-4)=4-16=-12＜0$，因此抛物线图象与$x$轴没有交点，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的顶点式；抛物线与x轴交点判定
【点评】
本题是二次函数基础题型，重点考查二次函数核心性质的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数一般式与顶点式的转化，以及判别式的用法。
【难度系数】
0.7

13 如图，若抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 上的 $ P(4,0) $，Q两点关于它的对称轴直线 $ x=1 $ 对称，则点Q的坐标为。

13. $(-2,0)$

【分析】
本题考查二次函数图象的对称性，解题思路如下：首先明确关于抛物线对称轴对称的两个点，纵坐标相同，且两点横坐标到对称轴的距离相等。已知点P坐标和对称轴方程，先计算点P到对称轴的水平距离，再向左平移该距离即可得到点Q的横坐标，纵坐标与点P保持一致。
【解析】
解：
∵ 点$P(4,0)$和点Q关于抛物线的对称轴$x=1$对称，
∴ 点P和点Q的纵坐标相等，均为0，且两点的横坐标到直线$x=1$的距离相等。
点P的横坐标到$x=1$的距离为：$4 - 1 = 3$，
∴ 点Q的横坐标为：$1 - 3 = -2$，
∴ 点Q的坐标为$(-2,0)$。
【答案】
$(-2,0)$
【知识点】
二次函数的对称性；轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心是利用二次函数的对称性求解对称点坐标，熟练掌握轴对称点的坐标规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9

14 如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的一边AB在x轴上,顶点B在x轴正半轴上.若抛物线$y=x^2 -5x +4$经过点C，D(0,4)，则点B的坐标为.

14. $(2,0)$

【分析】
要求点B的坐标，首先结合菱形对边平行的性质：已知AB在x轴上，可得CD与x轴平行，因此点C与点D的纵坐标相等。已知D点坐标为(0,4)，将y=4代入抛物线解析式即可求出点C的坐标，进而得到CD的长度即菱形的边长。再由菱形边长相等，在Rt△AOD中用勾股定理求出AO的长度，得到A点坐标，最后结合AB长度等于边长，即可求出B点坐标。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ CD//AB，AD=CD=AB，
∵ AB在x轴上，
∴ CD//x轴，即点C、D的纵坐标相等，
∵ D(0,4)，
∴ 点C的纵坐标为4，
将y=4代入抛物线解析式$y=x^2 -5x +4$，得：
$4 = x^2 -5x +4$，
整理得$x^2 -5x = 0$，解得$x_1=0$，$x_2=5$，
x=0对应点D，故点C坐标为(5,4)，
∴ CD的长度为$5-0=5$，即菱形边长为5，故AD=AB=5，
在Rt△AOD中，OD=4，AD=5，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{AD^2 - OD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$，
∵ 点A在x轴负半轴，
∴ A点坐标为(-3,0)，
∵ AB=5，点B在x轴正半轴，
∴ 点B的横坐标为$-3 +5=2$，即B(2,0)。
【答案】
$(2,0)$
【知识点】
菱形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理
【点评】
本题是二次函数与几何的综合题，解题的突破口是利用菱形对边平行的性质确定点C的纵坐标，进而求出菱形边长，再结合直角三角形的性质求解坐标，解题时需注意结合图象判断点的位置，避免多解错误。
【难度系数】
0.6

15 已知抛物线 $y=-x^2+4x$ 的顶点横坐标比抛物线 $y=-x^2+ax$（$a$ 为常数）的顶点横坐标大1.
(1) 求 $a$ 的值.
(2) 抛物线 $y=-x^2+ax$（$a$ 为常数）是否可以由抛物线 $y=-x^2+4x$ 平移得到？如果可以，请说出如何平移；如果不可以，请说明理由.

15. (1) $\because y=-x^2+4x=-(x-2)^2+4$,$\therefore$ 抛物线$y=-x^2+4x$的顶点坐标为$(2,4)$. $\because y=-x^2+ax=-(x-\frac{a}{2})^2+\frac{a^2}{4}$,$\therefore$ 抛物线$y=-x^2+ax$的顶点坐标为$(\frac{a}{2},\frac{a^2}{4})$. $\because$ 抛物线$y=-x^2+4x$的顶点横坐标比抛物线$y=-x^2+ax$的顶点横坐标大1,$\therefore 2=\frac{a}{2}+1$,解得$a=2$
(2) 可以 由(1)可知,$y=-x^2+4x=-(x-2)^2+4$,$y=-x^2+2x=-(x-1)^2+1$,$\therefore$ 抛物线$y=-x^2+2x$可以由抛物线$y=-x^2+4x$向左平移1个单位长度,向下平移3个单位长度得到

【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 要确定a的值，首先需要分别求出两条抛物线的顶点横坐标。对于二次函数，可通过配方转化为顶点式直接得到顶点坐标，也可用顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$计算。再根据“第一条抛物线顶点横坐标比第二条大1”的等量关系列方程，求解即可得到a的值。
(2) 判断两条抛物线能否通过平移得到，首先看二次项系数是否相等：平移不改变抛物线的形状和开口方向，因此二次项系数相同就可以平移。之后对比两条抛物线的顶点坐标，根据点的平移规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”就能得到具体的平移方式。
【解析】
(1) 先将两条抛物线配方为顶点式：
对于抛物线$y=-x^2+4x$，配方得：
$y=-x^2+4x=-(x^2-4x)=-(x^2-4x+4-4)=-(x-2)^2+4$，
因此它的顶点坐标为$(2,4)$，顶点横坐标为2。
对于抛物线$y=-x^2+ax$，配方得：
$y=-x^2+ax=-(x^2-ax)=-(x^2-ax+\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{4})=-(x-\frac{a}{2})^2+\frac{a^2}{4}$，
因此它的顶点坐标为$(\frac{a}{2},\frac{a^2}{4})$，顶点横坐标为$\frac{a}{2}$。
根据题意，第一条抛物线顶点横坐标比第二条大1，可列方程：
$2=\frac{a}{2}+1$，
解得$a=2$。
(2) 可以通过平移得到，理由如下：
由(1)可知第二条抛物线的解析式为$y=-x^2+2x$，配方得$y=-(x-1)^2+1$，其顶点坐标为$(1,1)$。
两条抛物线的二次项系数均为-1，说明形状、开口方向完全相同，因此可以通过平移得到。
对比顶点坐标：从$(2,4)$到$(1,1)$，横坐标减少了1，纵坐标减少了3，因此平移方式为：将抛物线$y=-x^2+4x$向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，即可得到抛物线$y=-x^2+2x$。
【答案】
(1) $a=2$；
(2) 可以，将抛物线$y=-x^2+4x$向左平移1个单位长度，向下平移3个单位长度可得到抛物线$y=-x^2+2x$。
【知识点】
1. 二次函数顶点坐标求法
2. 二次函数平移规律
3. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查二次函数顶点式的配方方法和平移的性质，解题的关键是明确平移前后抛物线的二次项系数不变，结合顶点坐标的变化即可快速确定平移方式。
【难度系数】
0.8

微专题
同一直角坐标系中一次函数与二次函数的图象
【方法归纳】先假设一个函数图象成立，再根据这个函数图象的位置、形状等确定待定系数的取值范围，再看求出的待定系数的范围是否满足另一个函数图象。
在同一平面直角坐标系中，二次函数$y=x^2 - 2ax + a^2$与一次函数$y=ax + a$的图象可能是（）
A
B
C
D

D

【分析】
解题时首先对二次函数解析式配方化简，先确定二次函数的固定性质：开口方向、顶点坐标、对称轴，再明确一次函数过的定点。接下来分a＞0和a＜0两种情况，分别推导两种函数的图像特征，再将推导结果和各选项对比，排除不符合的选项，最终得到正确答案。
【解析】
1. 化简二次函数解析式：
对二次函数配方得$y=x^2 - 2ax + a^2=(x-a)^2$，因此二次函数开口向上（二次项系数为1＞0），顶点坐标为$(a,0)$，对称轴为直线$x=a$，可先排除所有二次函数开口向下的选项。
2. 分析一次函数特征：
一次函数整理得$y=ax+a=a(x+1)$，可知一次函数恒过定点$(-1,0)$，斜率为$a$，与y轴交点为$(0,a)$。
3. 分类讨论参数a的取值，逐一排除：
① 若$a＞0$：二次函数对称轴$x=a$在y轴右侧，顶点在x轴正半轴；一次函数斜率为正、与y轴交点在正半轴，图像过一、二、三象限，呈上升趋势，无对应选项符合该特征。
② 若$a＜0$：二次函数对称轴$x=a$在y轴左侧，顶点在x轴负半轴；一次函数斜率为负、与y轴交点在负半轴，图像过二、三、四象限，呈下降趋势，且过定点$(-1,0)$，与选项D特征完全吻合。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图像与性质；一次函数的图像与性质；函数图像综合判断
【点评】
本题是同坐标系内一次函数与二次函数图像判断的典型题型，解题核心是先确定无争议的函数性质缩小判断范围，再通过分类讨论参数符号，结合两类函数的图像特征排除错误选项，能有效考查函数性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.7