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1 一题多解 已知抛物线的顶点为$(2,3)$，且经过点$(3,6)$，则该抛物线对应的函数解析式为（
A.$y=3(x-2)^2+3$
B.$y=2(x-2)^2+3$
C.$y=3(x+2)^2+3$
D.$y=2(x+2)^2+3$
A
）A.$y=3(x-2)^2+3$
B.$y=2(x-2)^2+3$
C.$y=3(x+2)^2+3$
D.$y=2(x+2)^2+3$
答案
【解析】解法一(顶点式法):设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2+3$.将$(3,6)$代入,得$6=a(3-2)^2+3$,解得$a=3$.$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=3(x-2)^2+3$.解法二(一般式法):设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+bx+c$.$\because$ 顶点为$(2,3)$,$\therefore -\frac{b}{2a}=2$,$\frac{4ac-b^2}{4a}=3$,即$b=-4a$,$4ac-b^2=12a$.又$\because$ 抛物线经过点$(3,6)$,$\therefore 9a+3b+c=6$,将$b=-4a$代入,得$9a-12a+c=6$,即$c=3a+6$.将$b=-4a$,$c=3a+6$代入$4ac-b^2=12a$,得$4a(3a+6)-16a^2=12a$,解得$a=0$(舍去)或$a=3$.$\therefore b=-12$,$c=15$.$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=3x^2-12x+15$,即$y=3(x-2)^2+3$.
解析
【分析】
已知抛物线的顶点坐标，优先选择顶点式求解更简便。首先回忆二次函数顶点式的形式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$是顶点坐标，我们可以先把已知的顶点$(2,3)$代入顶点式，确定$h$、$k$的值，此时解析式中仅含未知参数$a$，再将抛物线经过的点$(3,6)$代入解析式，即可求出$a$的值，最终得到完整的函数解析式。也可以选择一般式$y=ax^2+bx+c$，结合顶点坐标公式和过点的条件列方程组求解，不过计算量稍大。
【解析】
解法一（顶点式法）：
因为抛物线的顶点为$(2,3)$，所以设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2+3$（$a≠0$）。
将点$(3,6)$代入解析式，得：
$6=a(3-2)^2+3$
化简得$6=a+3$，解得$a=3$。
所以抛物线对应的函数解析式为$y=3(x-2)^2+3$。
解法二（一般式法）：
设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）。
因为抛物线顶点为$(2,3)$，根据二次函数顶点坐标公式可得$-\frac{b}{2a}=2$，$\frac{4ac-b^2}{4a}=3$，整理得：
$b=-4a$ ①，$4ac-b^2=12a$ ②。
又因为抛物线经过点$(3,6)$，代入得：
$9a+3b+c=6$ ③。
将①代入③，得$9a+3×(-4a)+c=6$，化简得$c=3a+6$ ④。
将①和④代入②，得$4a(3a+6)-(-4a)^2=12a$，
展开计算：$12a^2+24a-16a^2=12a$，
整理得$-4a^2+12a=0$，即$-4a(a-3)=0$，
解得$a=0$（不符合二次函数定义，舍去）或$a=3$。
将$a=3$代入①得$b=-12$，代入④得$c=15$。
所以解析式为$y=3x^2-12x+15$，整理为顶点式为$y=3(x-2)^2+3$。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点式；二次函数一般式
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，解题的关键是根据已知条件选择最优的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可大大简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
已知抛物线的顶点坐标，优先选择顶点式求解更简便。首先回忆二次函数顶点式的形式为$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$），其中$(h,k)$是顶点坐标，我们可以先把已知的顶点$(2,3)$代入顶点式，确定$h$、$k$的值，此时解析式中仅含未知参数$a$，再将抛物线经过的点$(3,6)$代入解析式，即可求出$a$的值，最终得到完整的函数解析式。也可以选择一般式$y=ax^2+bx+c$，结合顶点坐标公式和过点的条件列方程组求解，不过计算量稍大。
【解析】
解法一（顶点式法）：
因为抛物线的顶点为$(2,3)$，所以设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2+3$（$a≠0$）。
将点$(3,6)$代入解析式，得：
$6=a(3-2)^2+3$
化简得$6=a+3$，解得$a=3$。
所以抛物线对应的函数解析式为$y=3(x-2)^2+3$。
解法二（一般式法）：
设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）。
因为抛物线顶点为$(2,3)$，根据二次函数顶点坐标公式可得$-\frac{b}{2a}=2$，$\frac{4ac-b^2}{4a}=3$，整理得：
$b=-4a$ ①，$4ac-b^2=12a$ ②。
又因为抛物线经过点$(3,6)$，代入得：
$9a+3b+c=6$ ③。
将①代入③，得$9a+3×(-4a)+c=6$，化简得$c=3a+6$ ④。
将①和④代入②，得$4a(3a+6)-(-4a)^2=12a$，
展开计算：$12a^2+24a-16a^2=12a$，
整理得$-4a^2+12a=0$，即$-4a(a-3)=0$，
解得$a=0$（不符合二次函数定义，舍去）或$a=3$。
将$a=3$代入①得$b=-12$，代入④得$c=15$。
所以解析式为$y=3x^2-12x+15$，整理为顶点式为$y=3(x-2)^2+3$。
【答案】
A
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数顶点式；二次函数一般式
【点评】
本题考查二次函数解析式的求解，解题的关键是根据已知条件选择最优的解析式形式，已知顶点坐标时选用顶点式可大大简化计算，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
2 已知二次函数图象的对称轴为直线$x=-2$，顶点在$x$轴上，并与$y$轴交于点$(0,3)$，求二次函数的解析式。
答案
由题意,可设$y=a(x+2)^2$.将$(0,3)$代入,得$4a=3$,解得$a=\frac{3}{4}$.$\therefore y=\frac{3}{4}(x+2)^2$
解析
【分析】
首先梳理题目给出的条件：已知二次函数对称轴为$x=-2$，且顶点在$x$轴上，可直接推出顶点坐标为$(-2,0)$。对于已知顶点坐标的二次函数解析式求解问题，优先选择顶点式设解析式，仅需求解1个未知数$a$，比设一般式更简便。接下来将已知的与y轴交点$(0,3)$代入所设解析式，求出$a$的值，即可得到最终解析式。
【解析】
$\because$ 二次函数图象的对称轴为直线$x=-2$，且顶点在$x$轴上
$\therefore$ 该二次函数的顶点坐标为$(-2,0)$
设二次函数的解析式为顶点式：$y=a(x+2)^2$（$a\ne0$）
将点$(0,3)$代入解析式，得：
$3=a×(0+2)^2$
即$4a=3$，解得$a=\frac{3}{4}$
将$a=\frac{3}{4}$代入所设解析式，得$y=\frac{3}{4}(x+2)^2$
【答案】
$y=\frac{3}{4}(x+2)^2$
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求函数解析式；二次函数图象性质
【点评】
本题属于二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是根据已知的顶点相关条件选择顶点式设解析式，简化计算过程，熟练掌握二次函数不同解析式的适用场景即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先梳理题目给出的条件：已知二次函数对称轴为$x=-2$，且顶点在$x$轴上，可直接推出顶点坐标为$(-2,0)$。对于已知顶点坐标的二次函数解析式求解问题，优先选择顶点式设解析式，仅需求解1个未知数$a$，比设一般式更简便。接下来将已知的与y轴交点$(0,3)$代入所设解析式，求出$a$的值，即可得到最终解析式。
【解析】
$\because$ 二次函数图象的对称轴为直线$x=-2$，且顶点在$x$轴上
$\therefore$ 该二次函数的顶点坐标为$(-2,0)$
设二次函数的解析式为顶点式：$y=a(x+2)^2$（$a\ne0$）
将点$(0,3)$代入解析式，得：
$3=a×(0+2)^2$
即$4a=3$，解得$a=\frac{3}{4}$
将$a=\frac{3}{4}$代入所设解析式，得$y=\frac{3}{4}(x+2)^2$
【答案】
$y=\frac{3}{4}(x+2)^2$
【知识点】
二次函数顶点式；待定系数法求函数解析式；二次函数图象性质
【点评】
本题属于二次函数解析式求解的基础题型，解题关键是根据已知的顶点相关条件选择顶点式设解析式，简化计算过程，熟练掌握二次函数不同解析式的适用场景即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3 教材变式题 若抛物线经过$(0,1),(-1,0),(2,-3)$三点,则此抛物线对应的函数解析式为 (
A.$y=x^2+1$
B.$y=x^2-1$
C.$y=-x^2+1$
D.$y=-x^2-1$
C
)A.$y=x^2+1$
B.$y=x^2-1$
C.$y=-x^2+1$
D.$y=-x^2-1$
答案
C
解析
【分析】
本题已知抛物线上三个点的坐标求函数解析式，可采用两种思路解题：①选择题优先用代入排除法，将三点坐标逐一代入选项验证，排除不符合的选项即可快速得到答案；②通用方法为待定系数法，先设二次函数的一般式为y=ax²+bx+c（a≠0），再将三点坐标分别代入得到三元一次方程组，求解得到a、b、c的值就能确定解析式。
【解析】
方法一：代入排除法
1. 先代入点$(0,1)$：将$x=0$代入各选项，得A的$y$值为1，B的$y$值为$-1$，C的$y$值为1，D的$y$值为$-1$，排除B、D；
2. 再代入点$(-1,0)$：将$x=-1$代入剩余的A、C选项，A的$y$值为$(-1)^2+1=2≠0$，C的$y$值为$-(-1)^2+1=0$，排除A；
3. 最后验证点$(2,-3)$：将$x=2$代入C选项，$y=-2^2+1=-3$，完全符合，因此C正确。
方法二：待定系数法
设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），将三点坐标分别代入得：
$\begin{cases}c=1 \\a - b + c = 0 \\4a + 2b + c = -3\end{cases}$
将$c=1$代入后两个方程，整理得：
$\begin{cases}a - b = -1 \\2a + b = -2\end{cases}$
两式相加消去$b$得$3a=-3$，解得$a=-1$，将$a=-1$代入$a-b=-1$，得$b=0$。
因此解析式为$y=-x^2+1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；三元一次方程组的解法
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，既可以用通用的待定系数法求解，也可以结合选择题的特点用代入排除法提高解题效率，需要熟练掌握两种方法的应用。
【难度系数】
0.8
本题已知抛物线上三个点的坐标求函数解析式，可采用两种思路解题：①选择题优先用代入排除法，将三点坐标逐一代入选项验证，排除不符合的选项即可快速得到答案；②通用方法为待定系数法，先设二次函数的一般式为y=ax²+bx+c（a≠0），再将三点坐标分别代入得到三元一次方程组，求解得到a、b、c的值就能确定解析式。
【解析】
方法一：代入排除法
1. 先代入点$(0,1)$：将$x=0$代入各选项，得A的$y$值为1，B的$y$值为$-1$，C的$y$值为1，D的$y$值为$-1$，排除B、D；
2. 再代入点$(-1,0)$：将$x=-1$代入剩余的A、C选项，A的$y$值为$(-1)^2+1=2≠0$，C的$y$值为$-(-1)^2+1=0$，排除A；
3. 最后验证点$(2,-3)$：将$x=2$代入C选项，$y=-2^2+1=-3$，完全符合，因此C正确。
方法二：待定系数法
设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），将三点坐标分别代入得：
$\begin{cases}c=1 \\a - b + c = 0 \\4a + 2b + c = -3\end{cases}$
将$c=1$代入后两个方程，整理得：
$\begin{cases}a - b = -1 \\2a + b = -2\end{cases}$
两式相加消去$b$得$3a=-3$，解得$a=-1$，将$a=-1$代入$a-b=-1$，得$b=0$。
因此解析式为$y=-x^2+1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；三元一次方程组的解法
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，既可以用通用的待定系数法求解，也可以结合选择题的特点用代入排除法提高解题效率，需要熟练掌握两种方法的应用。
【难度系数】
0.8
4 已知二次函数图象经过(0, -1)，(1, 3)，(-1, -1)三点，则该二次函数的解析式为
$y=2x^2+2x-1$
.答案
$y=2x^2+2x-1$
解析
【分析】
已知二次函数图象上三个点的坐标，求解析式可采用待定系数法：先设二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，再将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解方程组求出三个参数的值，即可得到函数解析式。其中点$(0,-1)$是图象与y轴的交点，代入可直接求出$c$的值，能简化后续计算。
【解析】
设该二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$
1. 将点$(0,-1)$代入解析式，得：
$-1=a×0^2 + b×0 + c$，解得$c=-1$
2. 将点$(1,3)$、$c=-1$代入解析式，得：
$3=a×1^2 + b×1 -1$，整理得$a + b = 4$ ①
3. 将点$(-1,-1)$、$c=-1$代入解析式，得：
$-1=a×(-1)^2 + b×(-1) -1$，整理得$a - b = 0$ ②
4. 联立①②组成二元一次方程组，①+②得$2a=4$，解得$a=2$
将$a=2$代入②，得$2 - b = 0$，解得$b=2$
5. 把$a=2、b=2、c=-1$代入所设一般式，即可得到二次函数解析式。
【答案】
$y=2x^2+2x-1$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的一般式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，核心是掌握待定系数法的应用步骤，代入点坐标时要注意符号，解方程组时计算仔细即可正确求解。
【难度系数】
0.8
已知二次函数图象上三个点的坐标，求解析式可采用待定系数法：先设二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，再将三个点的坐标分别代入一般式，得到关于$a、b、c$的三元一次方程组，解方程组求出三个参数的值，即可得到函数解析式。其中点$(0,-1)$是图象与y轴的交点，代入可直接求出$c$的值，能简化后续计算。
【解析】
设该二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$
1. 将点$(0,-1)$代入解析式，得：
$-1=a×0^2 + b×0 + c$，解得$c=-1$
2. 将点$(1,3)$、$c=-1$代入解析式，得：
$3=a×1^2 + b×1 -1$，整理得$a + b = 4$ ①
3. 将点$(-1,-1)$、$c=-1$代入解析式，得：
$-1=a×(-1)^2 + b×(-1) -1$，整理得$a - b = 0$ ②
4. 联立①②组成二元一次方程组，①+②得$2a=4$，解得$a=2$
将$a=2$代入②，得$2 - b = 0$，解得$b=2$
5. 把$a=2、b=2、c=-1$代入所设一般式，即可得到二次函数解析式。
【答案】
$y=2x^2+2x-1$
【知识点】
1. 待定系数法求二次函数解析式
2. 二次函数的一般式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，核心是掌握待定系数法的应用步骤，代入点坐标时要注意符号，解方程组时计算仔细即可正确求解。
【难度系数】
0.8
5 已知抛物线 $y=\frac{1}{3}x^2+bx+c$ 过点 $C(-1,m)$，$D(5,m)$，$A(4,-1)$，求抛物线对应的函数解析式。
答案
$\because$ 抛物线 $y=\frac{1}{3}x^2+bx+c$ 过点 $C(-1,m)$ 和 $D(5,m)$,
$\therefore$ 对称轴是直线 $x=\frac{-1+5}{2}=2$,即 $-\frac{b}{2×\frac{1}{3}}=2$,解得 $b=-\frac{4}{3}$.$\therefore y=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+c$.$\because$ 抛物线过点 $A(4,-1)$,
$\therefore \frac{1}{3}×4^2-\frac{4}{3}×4+c=-1$,解得 $c=-1$.$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为 $y=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x-1$
$\therefore$ 对称轴是直线 $x=\frac{-1+5}{2}=2$,即 $-\frac{b}{2×\frac{1}{3}}=2$,解得 $b=-\frac{4}{3}$.$\therefore y=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+c$.$\because$ 抛物线过点 $A(4,-1)$,
$\therefore \frac{1}{3}×4^2-\frac{4}{3}×4+c=-1$,解得 $c=-1$.$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为 $y=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x-1$
解析
【分析】
解题时首先观察到点C和D的纵坐标相同，可知这两点关于抛物线的对称轴对称，由此可先求出抛物线的对称轴；再结合二次函数的对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可求出系数b的值；此时解析式中仅剩下c未知，将已知点A的坐标代入解析式，即可求出c的值，最终得到完整的函数解析式。
【解析】
$\because$ 抛物线 $y=\frac{1}{3}x^2+bx+c$ 过点 $C(-1,m)$ 和 $D(5,m)$，两点纵坐标相同，
$\therefore$ 抛物线的对称轴是直线 $x=\frac{-1+5}{2}=2$，
结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，其中$a=\frac{1}{3}$，可得：
$-\frac{b}{2×\frac{1}{3}}=2$，解得 $b=-\frac{4}{3}$，
$\therefore$ 抛物线解析式可写为 $y=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+c$，
又$\because$ 抛物线过点 $A(4,-1)$，将点A坐标代入上式：
$\frac{1}{3}×4^2-\frac{4}{3}×4+c=-1$，
计算得：$\frac{16}{3}-\frac{16}{3}+c=-1$，解得 $c=-1$，
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为 $y=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x-1$。
【答案】
$y=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x-1$
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求二次函数解析式；二次函数对称轴公式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题的关键是利用纵坐标相同的两点快速确定对称轴，简化待定系数法的计算过程，降低运算量。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到点C和D的纵坐标相同，可知这两点关于抛物线的对称轴对称，由此可先求出抛物线的对称轴；再结合二次函数的对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可求出系数b的值；此时解析式中仅剩下c未知，将已知点A的坐标代入解析式，即可求出c的值，最终得到完整的函数解析式。
【解析】
$\because$ 抛物线 $y=\frac{1}{3}x^2+bx+c$ 过点 $C(-1,m)$ 和 $D(5,m)$，两点纵坐标相同，
$\therefore$ 抛物线的对称轴是直线 $x=\frac{-1+5}{2}=2$，
结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，其中$a=\frac{1}{3}$，可得：
$-\frac{b}{2×\frac{1}{3}}=2$，解得 $b=-\frac{4}{3}$，
$\therefore$ 抛物线解析式可写为 $y=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+c$，
又$\because$ 抛物线过点 $A(4,-1)$，将点A坐标代入上式：
$\frac{1}{3}×4^2-\frac{4}{3}×4+c=-1$，
计算得：$\frac{16}{3}-\frac{16}{3}+c=-1$，解得 $c=-1$，
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为 $y=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x-1$。
【答案】
$y=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x-1$
【知识点】
二次函数的对称性；待定系数法求二次函数解析式；二次函数对称轴公式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题的关键是利用纵坐标相同的两点快速确定对称轴，简化待定系数法的计算过程，降低运算量。
【难度系数】
0.7
6 一题多解 抛物线与x轴交于点(1,0)和(3,0)，且经过点(2,2)，则其对应的函数解析式为（
A.$y=-2(x-1)(x-3)$
B.$y=2(x-1)(x-3)$
C.$y=-(x-1)(x-3)$
D.$y=(x-1)(x-3)$
A
）A.$y=-2(x-1)(x-3)$
B.$y=2(x-1)(x-3)$
C.$y=-(x-1)(x-3)$
D.$y=(x-1)(x-3)$
答案
【解析】解法一(交点式法):设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-1)(x-3)$,将$(2,2)$代入,得$2=a(2-1)(2-3)$,解得$a=-2$.$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=-2(x-1)(x-3)$.解法二(一般式法):设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+bx+c$,将$(1,0)$,$(3,0)$,$(2,2)$分别代入,得$\begin{cases}a+b+c=0,\\9a+3b+c=0,\\4a+2b+c=2.\end{cases}$解得$a=-2$,$b=8$,$c=-6$.$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=-2x^2+8x-6$,即$y=-2(x-1)(x-3)$.
解析
【分析】
本题要求二次函数的解析式，已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可优先选择交点式求解，简化计算步骤；也可采用一般式，代入三个已知点坐标列三元一次方程组求解。思路如下：方法一（交点式）：已知抛物线与x轴交于(1,0)和(3,0)，可设解析式为$y=a(x-1)(x-3)$，仅含一个未知参数$a$，将点(2,2)代入即可求出$a$的值，进而得到解析式；方法二（一般式）：设解析式为$y=ax^2+bx+c$，将三个点的坐标分别代入得到三元一次方程组，解方程组求出$a、b、c$的值，整理后即可得到解析式，再对应选项判断即可。
【解析】
解法一（交点式法）：
∵ 抛物线与x轴交于点$(1,0)$和$(3,0)$
∴ 设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-1)(x-3)$（$a≠0$）
将点$(2,2)$代入解析式，得：
$2=a(2-1)(2-3)$
即$2=-a$，解得$a=-2$
∴ 抛物线对应的函数解析式为$y=-2(x-1)(x-3)$
解法二（一般式法）：
设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）
将$(1,0)$、$(3,0)$、$(2,2)$分别代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}a+b+c=0\\9a+3b+c=0\\4a+2b+c=2\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$8a+2b=0$，即$4a+b=0$ ①
用第三个方程减第一个方程得：$3a+b=2$ ②
①-②得：$a=-2$，代入①得$b=8$，再代入$a+b+c=0$得$c=-6$
∴ 抛物线解析式为$y=-2x^2+8x-6$，因式分解得$y=-2(x-1)(x-3)$
【答案】
A
【知识点】
1.待定系数法求二次函数解析式 2.二次函数交点式 3.二次函数一般式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题时可根据已知条件选择最优的解析式设法，已知与x轴的两个交点时选择交点式可大幅减少计算量，需熟练掌握不同解析式形式的适用场景。
【难度系数】
0.8
本题要求二次函数的解析式，已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可优先选择交点式求解，简化计算步骤；也可采用一般式，代入三个已知点坐标列三元一次方程组求解。思路如下：方法一（交点式）：已知抛物线与x轴交于(1,0)和(3,0)，可设解析式为$y=a(x-1)(x-3)$，仅含一个未知参数$a$，将点(2,2)代入即可求出$a$的值，进而得到解析式；方法二（一般式）：设解析式为$y=ax^2+bx+c$，将三个点的坐标分别代入得到三元一次方程组，解方程组求出$a、b、c$的值，整理后即可得到解析式，再对应选项判断即可。
【解析】
解法一（交点式法）：
∵ 抛物线与x轴交于点$(1,0)$和$(3,0)$
∴ 设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-1)(x-3)$（$a≠0$）
将点$(2,2)$代入解析式，得：
$2=a(2-1)(2-3)$
即$2=-a$，解得$a=-2$
∴ 抛物线对应的函数解析式为$y=-2(x-1)(x-3)$
解法二（一般式法）：
设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）
将$(1,0)$、$(3,0)$、$(2,2)$分别代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}a+b+c=0\\9a+3b+c=0\\4a+2b+c=2\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$8a+2b=0$，即$4a+b=0$ ①
用第三个方程减第一个方程得：$3a+b=2$ ②
①-②得：$a=-2$，代入①得$b=8$，再代入$a+b+c=0$得$c=-6$
∴ 抛物线解析式为$y=-2x^2+8x-6$，因式分解得$y=-2(x-1)(x-3)$
【答案】
A
【知识点】
1.待定系数法求二次函数解析式 2.二次函数交点式 3.二次函数一般式
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题时可根据已知条件选择最优的解析式设法，已知与x轴的两个交点时选择交点式可大幅减少计算量，需熟练掌握不同解析式形式的适用场景。
【难度系数】
0.8
7 某二次函数的图象如图所示，则此二次函数的解析式为
$y=-x^2+2x+3$
。答案
$y=-x^2+2x+3$
解析
【分析】
求解该二次函数解析式，首先从图像中提取关键信息：1. 抛物线与y轴交于点(0,3)；2. 抛物线对称轴为直线x=1；3. 抛物线与x轴的一个交点为(3,0)。我们可采用待定系数法求解：既可以设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将上述三个条件转化为关于a、b、c的方程，解方程求出系数即可；也可以先利用二次函数的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，采用交点式求解，计算更简便。
【解析】
设二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$：
1. 由抛物线过点$(0,3)$，代入解析式得：$3=a×0^2 + b×0 + c$，解得$c=3$；
2. 由对称轴为直线$x=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$；
3. 由抛物线过点$(3,0)$，代入解析式得：$0=a×3^2 + b×3 + 3$，整理得$9a+3b+3=0$，化简为$3a + b + 1=0$；
4. 将$b=-2a$代入$3a + b + 1=0$，得$3a - 2a + 1=0$，解得$a=-1$，则$b=-2×(-1)=2$。
因此二次函数的解析式为$y=-x^2+2x+3$。
【答案】
$y=-x^2+2x+3$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数图像性质，二次函数对称性
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题核心是从图像中准确提取交点、对称轴等有效信息，选择合适的解析式形式简化计算，熟练掌握待定系数法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
求解该二次函数解析式，首先从图像中提取关键信息：1. 抛物线与y轴交于点(0,3)；2. 抛物线对称轴为直线x=1；3. 抛物线与x轴的一个交点为(3,0)。我们可采用待定系数法求解：既可以设二次函数的一般式$y=ax^2+bx+c(a≠0)$，将上述三个条件转化为关于a、b、c的方程，解方程求出系数即可；也可以先利用二次函数的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，采用交点式求解，计算更简便。
【解析】
设二次函数的解析式为$y=ax^2+bx+c(a≠0)$：
1. 由抛物线过点$(0,3)$，代入解析式得：$3=a×0^2 + b×0 + c$，解得$c=3$；
2. 由对称轴为直线$x=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=1$，整理得$b=-2a$；
3. 由抛物线过点$(3,0)$，代入解析式得：$0=a×3^2 + b×3 + 3$，整理得$9a+3b+3=0$，化简为$3a + b + 1=0$；
4. 将$b=-2a$代入$3a + b + 1=0$，得$3a - 2a + 1=0$，解得$a=-1$，则$b=-2×(-1)=2$。
因此二次函数的解析式为$y=-x^2+2x+3$。
【答案】
$y=-x^2+2x+3$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数图像性质，二次函数对称性
【点评】
本题是求二次函数解析式的基础题型，解题核心是从图像中准确提取交点、对称轴等有效信息，选择合适的解析式形式简化计算，熟练掌握待定系数法是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8
8 如图，一个二次函数的图象经过A，B，C三点，点A的坐标为$(-1,0)$，点B的坐标为$(4,0)$，点C在y轴的正半轴上，且$OC=AB$。求：
(1) 点C的坐标；
(2) 这个二次函数的解析式。
(1) 点C的坐标；
(2) 这个二次函数的解析式。
答案
(1) $\because$ 点 A 的坐标为$(-1,0)$,点 B 的坐标为$(4,0)$,
$\therefore OA=1$,$OB=4$.$\therefore AB=OA+OB=1+4=5$.$\because OC=AB$,
$\therefore OC=5$,即点 C 的坐标为$(0,5)$
(2) 设这个二次函数的解析式为$y=a(x-4)(x+1)(a≠0)$.$\because$ 点$C(0,5)$在该二次函数的图象上,$\therefore a(0-4)×(0+1)=5$,解得$a=-\frac{5}{4}$.$\therefore y=-\frac{5}{4}(x-4)(x+1)=-\frac{5}{4}x^2+\frac{15}{4}x+5$
$\therefore OA=1$,$OB=4$.$\therefore AB=OA+OB=1+4=5$.$\because OC=AB$,
$\therefore OC=5$,即点 C 的坐标为$(0,5)$
(2) 设这个二次函数的解析式为$y=a(x-4)(x+1)(a≠0)$.$\because$ 点$C(0,5)$在该二次函数的图象上,$\therefore a(0-4)×(0+1)=5$,解得$a=-\frac{5}{4}$.$\therefore y=-\frac{5}{4}(x-4)(x+1)=-\frac{5}{4}x^2+\frac{15}{4}x+5$
解析
【分析】
(1) 求点C的坐标时，先计算AB的长度：点A、B都在x轴上，两点距离等于横坐标之差的绝对值，结合已知OC=AB，且C在y轴正半轴，即可推出C的坐标。
(2) 已知二次函数与x轴的两个交点A、B的坐标，优先选择交点式设二次函数解析式，再将点C的坐标代入解析式求出待定系数a，最后整理为一般式即可得到二次函数的解析式。
【解析】
(1) $\because$ 点A的坐标为$(-1,0)$，点B的坐标为$(4,0)$，
$\therefore OA=1$，$OB=4$，
$\therefore AB=OA+OB=1+4=5$，
$\because OC=AB$，点C在y轴正半轴上，
$\therefore OC=5$，即点C的坐标为$(0,5)$。
(2) 设这个二次函数的解析式为$y=a(x-4)(x+1)(a≠0)$，
$\because$ 点$C(0,5)$在该二次函数的图象上，
将$x=0$，$y=5$代入解析式得：
$a(0-4)×(0+1)=5$，
解得$a=-\frac{5}{4}$，
$\therefore$ 二次函数解析式为$y=-\frac{5}{4}(x-4)(x+1)$，
展开整理得：$y=-\frac{5}{4}x^2+\frac{15}{4}x+5$。
【答案】
(1) $\boxed{(0,5)}$
(2) $\boxed{y=-\dfrac{5}{4}x^2+\dfrac{15}{4}x+5}$
【知识点】
1. 坐标轴上点的坐标特征
2. 待定系数法求二次函数解析式
3. 二次函数交点式
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，解题关键是根据已知交点特征选择合适的解析式形式，可有效简化计算过程，考查学生对基础知识点的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 求点C的坐标时，先计算AB的长度：点A、B都在x轴上，两点距离等于横坐标之差的绝对值，结合已知OC=AB，且C在y轴正半轴，即可推出C的坐标。
(2) 已知二次函数与x轴的两个交点A、B的坐标，优先选择交点式设二次函数解析式，再将点C的坐标代入解析式求出待定系数a，最后整理为一般式即可得到二次函数的解析式。
【解析】
(1) $\because$ 点A的坐标为$(-1,0)$，点B的坐标为$(4,0)$，
$\therefore OA=1$，$OB=4$，
$\therefore AB=OA+OB=1+4=5$，
$\because OC=AB$，点C在y轴正半轴上，
$\therefore OC=5$，即点C的坐标为$(0,5)$。
(2) 设这个二次函数的解析式为$y=a(x-4)(x+1)(a≠0)$，
$\because$ 点$C(0,5)$在该二次函数的图象上，
将$x=0$，$y=5$代入解析式得：
$a(0-4)×(0+1)=5$，
解得$a=-\frac{5}{4}$，
$\therefore$ 二次函数解析式为$y=-\frac{5}{4}(x-4)(x+1)$，
展开整理得：$y=-\frac{5}{4}x^2+\frac{15}{4}x+5$。
【答案】
(1) $\boxed{(0,5)}$
(2) $\boxed{y=-\dfrac{5}{4}x^2+\dfrac{15}{4}x+5}$
【知识点】
1. 坐标轴上点的坐标特征
2. 待定系数法求二次函数解析式
3. 二次函数交点式
【点评】
本题属于二次函数基础应用题，解题关键是根据已知交点特征选择合适的解析式形式，可有效简化计算过程，考查学生对基础知识点的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.8
