1 一题多解 已知抛物线的顶点为$(2,3)$，且经过点$(3,6)$，则该抛物线对应的函数解析式为（）

A.$y=3(x-2)^2+3$
B.$y=2(x-2)^2+3$
C.$y=3(x+2)^2+3$
D.$y=2(x+2)^2+3$

【解析】解法一(顶点式法):设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^2+3$.将$(3,6)$代入,得$6=a(3-2)^2+3$,解得$a=3$.$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=3(x-2)^2+3$.解法二(一般式法):设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+bx+c$.$\because$ 顶点为$(2,3)$,$\therefore -\frac{b}{2a}=2$,$\frac{4ac-b^2}{4a}=3$,即$b=-4a$,$4ac-b^2=12a$.又$\because$ 抛物线经过点$(3,6)$,$\therefore 9a+3b+c=6$,将$b=-4a$代入,得$9a-12a+c=6$,即$c=3a+6$.将$b=-4a$,$c=3a+6$代入$4ac-b^2=12a$,得$4a(3a+6)-16a^2=12a$,解得$a=0$(舍去)或$a=3$.$\therefore b=-12$,$c=15$.$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=3x^2-12x+15$,即$y=3(x-2)^2+3$.

2 已知二次函数图象的对称轴为直线$x=-2$，顶点在$x$轴上，并与$y$轴交于点$(0,3)$，求二次函数的解析式。

由题意,可设$y=a(x+2)^2$.将$(0,3)$代入,得$4a=3$,解得$a=\frac{3}{4}$.$\therefore y=\frac{3}{4}(x+2)^2$

3 教材变式题 若抛物线经过$(0,1),(-1,0),(2,-3)$三点,则此抛物线对应的函数解析式为 ()

A.$y=x^2+1$
B.$y=x^2-1$
C.$y=-x^2+1$
D.$y=-x^2-1$

C

4 已知二次函数图象经过(0, -1)，(1, 3)，(-1, -1)三点，则该二次函数的解析式为.

$y=2x^2+2x-1$

5 已知抛物线 $y=\frac{1}{3}x^2+bx+c$ 过点 $C(-1,m)$，$D(5,m)$，$A(4,-1)$，求抛物线对应的函数解析式。

$\because$ 抛物线 $y=\frac{1}{3}x^2+bx+c$ 过点 $C(-1,m)$ 和 $D(5,m)$,
$\therefore$ 对称轴是直线 $x=\frac{-1+5}{2}=2$,即 $-\frac{b}{2×\frac{1}{3}}=2$,解得 $b=-\frac{4}{3}$.$\therefore y=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+c$.$\because$ 抛物线过点 $A(4,-1)$,
$\therefore \frac{1}{3}×4^2-\frac{4}{3}×4+c=-1$,解得 $c=-1$.$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为 $y=\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x-1$

6 一题多解 抛物线与x轴交于点(1,0)和(3,0)，且经过点(2,2)，则其对应的函数解析式为（）

A.$y=-2(x-1)(x-3)$
B.$y=2(x-1)(x-3)$
C.$y=-(x-1)(x-3)$
D.$y=(x-1)(x-3)$

【解析】解法一(交点式法):设抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-1)(x-3)$,将$(2,2)$代入,得$2=a(2-1)(2-3)$,解得$a=-2$.$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=-2(x-1)(x-3)$.解法二(一般式法):设抛物线对应的函数解析式为$y=ax^2+bx+c$,将$(1,0)$,$(3,0)$,$(2,2)$分别代入,得$\begin{cases}a+b+c=0,\\9a+3b+c=0,\\4a+2b+c=2.\end{cases}$解得$a=-2$,$b=8$,$c=-6$.$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=-2x^2+8x-6$,即$y=-2(x-1)(x-3)$.

7 某二次函数的图象如图所示，则此二次函数的解析式为。

$y=-x^2+2x+3$

8 如图，一个二次函数的图象经过A，B，C三点，点A的坐标为$(-1,0)$，点B的坐标为$(4,0)$，点C在y轴的正半轴上，且$OC=AB$。求：
(1) 点C的坐标；
(2) 这个二次函数的解析式。

(1) $\because$ 点 A 的坐标为$(-1,0)$,点 B 的坐标为$(4,0)$,
$\therefore OA=1$,$OB=4$.$\therefore AB=OA+OB=1+4=5$.$\because OC=AB$,
$\therefore OC=5$,即点 C 的坐标为$(0,5)$
(2) 设这个二次函数的解析式为$y=a(x-4)(x+1)(a≠0)$.$\because$ 点$C(0,5)$在该二次函数的图象上,$\therefore a(0-4)×(0+1)=5$,解得$a=-\frac{5}{4}$.$\therefore y=-\frac{5}{4}(x-4)(x+1)=-\frac{5}{4}x^2+\frac{15}{4}x+5$