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10.如图,在图①所示的天平上,物体A的质量等于物体B的质量加物体C的质量;在图②所示的天平上,物体A的质量加物体B的质量等于3个物体C的质量。由此可知,1个物体A的质量与(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)个物体C的质量相等。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
10. B
解析
【分析】
首先根据天平平衡时左右两边质量相等的原理，将两个天平的平衡关系转化为含有A、B、C质量的等式，再通过等量代换消去中间量B，即可推导得到A和C的质量关系。第一步先写出两个天平对应的等式，第二步将第一个等式变形，用A和C表示出B，第三步将B的表达式代入第二个等式，消去B后就能直接求出A和C的对应关系。
【解析】
设物体A、B、C的质量分别为$m_A$、$m_B$、$m_C$。
根据图①天平平衡可得：$m_A = m_B + m_C$ ①
根据图②天平平衡可得：$m_A + m_B = 3m_C$ ②
由①式变形得：$m_B = m_A - m_C$，将其代入②式：
$m_A + (m_A - m_C) = 3m_C$
整理得：$2m_A - m_C = 3m_C$
移项合并同类项得：$2m_A = 4m_C$
两边同时除以2得：$m_A = 2m_C$
即1个物体A的质量与2个物体C的质量相等。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质、等量代换
【点评】
本题结合天平平衡的实际场景考查等量关系的推导，只要能正确将天平平衡转化为等式，通过等量代换消去中间量即可求解，属于基础的等式应用类题目。
【难度系数】
0.8
首先根据天平平衡时左右两边质量相等的原理，将两个天平的平衡关系转化为含有A、B、C质量的等式，再通过等量代换消去中间量B，即可推导得到A和C的质量关系。第一步先写出两个天平对应的等式，第二步将第一个等式变形，用A和C表示出B，第三步将B的表达式代入第二个等式，消去B后就能直接求出A和C的对应关系。
【解析】
设物体A、B、C的质量分别为$m_A$、$m_B$、$m_C$。
根据图①天平平衡可得：$m_A = m_B + m_C$ ①
根据图②天平平衡可得：$m_A + m_B = 3m_C$ ②
由①式变形得：$m_B = m_A - m_C$，将其代入②式：
$m_A + (m_A - m_C) = 3m_C$
整理得：$2m_A - m_C = 3m_C$
移项合并同类项得：$2m_A = 4m_C$
两边同时除以2得：$m_A = 2m_C$
即1个物体A的质量与2个物体C的质量相等。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质、等量代换
【点评】
本题结合天平平衡的实际场景考查等量关系的推导，只要能正确将天平平衡转化为等式，通过等量代换消去中间量即可求解，属于基础的等式应用类题目。
【难度系数】
0.8
11.在天平的左边放3枚硬币和12 g砝码，右边放5枚硬币和4 g砝码，天平恰好平衡。已知所有硬币的质量都相同，如果设1枚硬币的质量为x g，可列出方程为(
A.$3x + 12 = 5x + 4$
B.$3x - 12 = 5x - 4$
C.$3x + 12 = 5x - 4$
D.$3x - 12 = 5x + 4$
A
)。A.$3x + 12 = 5x + 4$
B.$3x - 12 = 5x - 4$
C.$3x + 12 = 5x - 4$
D.$3x - 12 = 5x + 4$
答案
11. A
解析
【分析】
解决本题首先要找到核心等量关系：天平恰好平衡说明左右两盘的总质量相等。接下来分别用含x的式子表示两盘的总质量：左盘是3枚硬币的质量加12g砝码的质量，右盘是5枚硬币的质量加4g砝码的质量，最后根据等量关系将左右两盘总质量用等号连接，就能得到对应方程。
【解析】
天平平衡时满足：左盘总质量=右盘总质量
左盘总质量 = 3枚硬币质量 + 12g砝码质量 = $3x+12$
右盘总质量 = 5枚硬币质量 + 4g砝码质量 = $5x+4$
因此可列方程为：$3x + 12 = 5x + 4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程；天平平衡原理
【点评】
本题是基础的方程应用类题目，解题关键是从实际场景中提取等量关系，再分别表示出两边的总质量即可列出方程，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要找到核心等量关系：天平恰好平衡说明左右两盘的总质量相等。接下来分别用含x的式子表示两盘的总质量：左盘是3枚硬币的质量加12g砝码的质量，右盘是5枚硬币的质量加4g砝码的质量，最后根据等量关系将左右两盘总质量用等号连接，就能得到对应方程。
【解析】
天平平衡时满足：左盘总质量=右盘总质量
左盘总质量 = 3枚硬币质量 + 12g砝码质量 = $3x+12$
右盘总质量 = 5枚硬币质量 + 4g砝码质量 = $5x+4$
因此可列方程为：$3x + 12 = 5x + 4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程；天平平衡原理
【点评】
本题是基础的方程应用类题目，解题关键是从实际场景中提取等量关系，再分别表示出两边的总质量即可列出方程，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.9
12.阅读小明利用等式的基本性质解方程的过程，指出他错在哪一步，为什么？
$2(y+2)-3=5(y+2)-3$。
方程两边都加3，得$2(y+2)=5(y+2)$。①
方程两边都除以$y+2$，得$2=5$。②
$2(y+2)-3=5(y+2)-3$。
方程两边都加3，得$2(y+2)=5(y+2)$。①
方程两边都除以$y+2$，得$2=5$。②
答案
解:错在第②步。因为不能确定$y+2$的值是不是0,所以方程两边不能同时除以$y+2$。
解析
【分析】
解题时首先回忆等式的基本性质，再逐行核对小明的解题步骤是否符合性质要求：第一步方程两边同时加3，符合等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立的要求，是正确的；第二步方程两边同时除以$y+2$，此时需要注意，等式的基本性质中明确规定，等式两边同时除以的数必须是不为0的数，而$y+2$是含未知数的式子，它的值有可能等于0，所以这一步不符合等式性质的要求，即可判断错误位置和原因。
【解析】
我们逐步骤验证小明的解法：
1. 第①步：方程两边都加3，根据等式的基本性质1，等式两边同时加上同一个整式，等式仍然成立，因此第①步运算正确。
2. 第②步：方程两边都除以$y+2$，根据等式的基本性质2，等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式才仍然成立。本题中$y$是未知数，无法确定$y+2$的值是否为0，若$y+2=0$，此时除以$y+2$不符合运算规则，因此第②步错误。
【答案】
错在第②步。因为不能确定$y+2$的值是不是0，所以方程两边不能同时除以$y+2$。
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 解方程运算规范
【点评】
这道题是等式性质应用的典型易错题，重点考察对等式基本性质前提条件的掌握，提醒我们在解方程时，若要在等式两边同时除以含未知数的式子，必须先确认该式子的值不为0，避免出现类似的逻辑错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆等式的基本性质，再逐行核对小明的解题步骤是否符合性质要求：第一步方程两边同时加3，符合等式两边同时加上同一个数，等式仍然成立的要求，是正确的；第二步方程两边同时除以$y+2$，此时需要注意，等式的基本性质中明确规定，等式两边同时除以的数必须是不为0的数，而$y+2$是含未知数的式子，它的值有可能等于0，所以这一步不符合等式性质的要求，即可判断错误位置和原因。
【解析】
我们逐步骤验证小明的解法：
1. 第①步：方程两边都加3，根据等式的基本性质1，等式两边同时加上同一个整式，等式仍然成立，因此第①步运算正确。
2. 第②步：方程两边都除以$y+2$，根据等式的基本性质2，等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式才仍然成立。本题中$y$是未知数，无法确定$y+2$的值是否为0，若$y+2=0$，此时除以$y+2$不符合运算规则，因此第②步错误。
【答案】
错在第②步。因为不能确定$y+2$的值是不是0，所以方程两边不能同时除以$y+2$。
【知识点】
1. 等式的基本性质
2. 解方程运算规范
【点评】
这道题是等式性质应用的典型易错题，重点考察对等式基本性质前提条件的掌握，提醒我们在解方程时，若要在等式两边同时除以含未知数的式子，必须先确认该式子的值不为0，避免出现类似的逻辑错误。
【难度系数】
0.6
13.【综合与实践】根据等式的基本性质，回答下列问题：
(1)从$ab=bc$能否得到$a=c$？为什么？
(2)从$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{b}$能否得到$a=c$？为什么？
(3)从$ab=1$能否得到$a+1=\dfrac{1}{b}+1$？为什么？
(1)从$ab=bc$能否得到$a=c$？为什么？
(2)从$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{b}$能否得到$a=c$？为什么？
(3)从$ab=1$能否得到$a+1=\dfrac{1}{b}+1$？为什么？
答案
解:(1)不一定。当$b≠0$时,根据等式的基本性质可得$a=c$;当$b=0$时,$a$不一定等于$c$。
(2)能得到。由题意,知$b≠0$,根据等式的基本性质,在$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$的两边都乘$b$,得$a=c$。
(3)能得到。显然$b≠0$,根据等式的基本性质,在$ab=1$的两边都除以$b$,得$a=\frac{1}{b}$,再根据等式的基本性质,在$a=\frac{1}{b}$两边都加1,得$a+1=\frac{1}{b}+1$。
(2)能得到。由题意,知$b≠0$,根据等式的基本性质,在$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$的两边都乘$b$,得$a=c$。
(3)能得到。显然$b≠0$,根据等式的基本性质,在$ab=1$的两边都除以$b$,得$a=\frac{1}{b}$,再根据等式的基本性质,在$a=\frac{1}{b}$两边都加1,得$a+1=\frac{1}{b}+1$。
解析
【分析】
本题围绕等式的基本性质的应用设置问题，解题核心要牢记：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式才仍然成立，思考时要先判断每一问中涉及的乘除对象是否可能为0，分情况推导：
1. 第(1)问要把等式两边同时除以b，需要先考虑b是否为0，分两种情况讨论即可；
2. 第(2)问原式以分数形式呈现，隐含分母不能为0的要求，因此b≠0，可直接按等式性质变形；
3. 第(3)问由ab=1可直接推出b≠0（若b为0，乘积必为0，和已知矛盾），先两边除以b得到a和1/b的关系，再两边加1即可推导。
【解析】
(1) 不一定能得到$a=c$。当$b≠0$时，根据等式的基本性质，等式两边同时除以b，可得$a=c$；当$b=0$时，无论a、c取何值，$ab=bc=0$都成立，因此a不一定等于c。
(2) 能得到$a=c$。分数的分母不能为0，因此题目隐含$b≠0$的条件，根据等式的基本性质，在$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$的两边同时乘b，即可得到$a=c$。
(3) 能得到$a+1=\frac{1}{b}+1$。由$ab=1$可知$b≠0$（若$b=0$，则$ab=0$，和$ab=1$矛盾），根据等式的基本性质，在$ab=1$两边同时除以b，得$a=\frac{1}{b}$，再根据等式的基本性质，在等式两边同时加1，可得$a+1=\frac{1}{b}+1$。
【答案】
(1)不一定。当$b≠0$时,根据等式的基本性质可得$a=c$;当$b=0$时,$a$不一定等于$c$。
(2)能得到。由题意,知$b≠0$,根据等式的基本性质,在$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$的两边都乘$b$,得$a=c$。
(3)能得到。显然$b≠0$,根据等式的基本性质,在$ab=1$的两边都除以$b$,得$a=\frac{1}{b}$,再根据等式的基本性质,在$a=\frac{1}{b}$两边都加1,得$a+1=\frac{1}{b}+1$。
【知识点】
等式的基本性质；0不能作除数
【点评】
本题是等式变形的典型易错题，解题的关键是注意等式两边同时乘除同一个数时，必须保证这个数不为0，要学会挖掘题目中隐含的数不为0的条件，必要时分类讨论，避免忽略0的特殊情况出现错误。
【难度系数】
0.7
本题围绕等式的基本性质的应用设置问题，解题核心要牢记：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式才仍然成立，思考时要先判断每一问中涉及的乘除对象是否可能为0，分情况推导：
1. 第(1)问要把等式两边同时除以b，需要先考虑b是否为0，分两种情况讨论即可；
2. 第(2)问原式以分数形式呈现，隐含分母不能为0的要求，因此b≠0，可直接按等式性质变形；
3. 第(3)问由ab=1可直接推出b≠0（若b为0，乘积必为0，和已知矛盾），先两边除以b得到a和1/b的关系，再两边加1即可推导。
【解析】
(1) 不一定能得到$a=c$。当$b≠0$时，根据等式的基本性质，等式两边同时除以b，可得$a=c$；当$b=0$时，无论a、c取何值，$ab=bc=0$都成立，因此a不一定等于c。
(2) 能得到$a=c$。分数的分母不能为0，因此题目隐含$b≠0$的条件，根据等式的基本性质，在$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$的两边同时乘b，即可得到$a=c$。
(3) 能得到$a+1=\frac{1}{b}+1$。由$ab=1$可知$b≠0$（若$b=0$，则$ab=0$，和$ab=1$矛盾），根据等式的基本性质，在$ab=1$两边同时除以b，得$a=\frac{1}{b}$，再根据等式的基本性质，在等式两边同时加1，可得$a+1=\frac{1}{b}+1$。
【答案】
(1)不一定。当$b≠0$时,根据等式的基本性质可得$a=c$;当$b=0$时,$a$不一定等于$c$。
(2)能得到。由题意,知$b≠0$,根据等式的基本性质,在$\frac{a}{b}=\frac{c}{b}$的两边都乘$b$,得$a=c$。
(3)能得到。显然$b≠0$,根据等式的基本性质,在$ab=1$的两边都除以$b$,得$a=\frac{1}{b}$,再根据等式的基本性质,在$a=\frac{1}{b}$两边都加1,得$a+1=\frac{1}{b}+1$。
【知识点】
等式的基本性质；0不能作除数
【点评】
本题是等式变形的典型易错题，解题的关键是注意等式两边同时乘除同一个数时，必须保证这个数不为0，要学会挖掘题目中隐含的数不为0的条件，必要时分类讨论，避免忽略0的特殊情况出现错误。
【难度系数】
0.7
14.【数学文化】阅读下列材料，解决相应问题：
中国古代数学，和天文学以及其他许多科学技术一样，也取得了极其辉煌的成就。可以毫不夸张地说，明代中叶以前，在数学的许多分支领域里，中国一直处于遥遥领先的地位。中国古代的数学家写下了许多数学著作。许多具有世界意义的成就正是因为有了这些古算书才流传下来。
我国流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式表述。请大家看这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，多少老头多少梨？
(1)如果我们设有x个老头，可以得到关于x的等式为
(2)利用等式的基本性质求出，共有
中国古代数学，和天文学以及其他许多科学技术一样，也取得了极其辉煌的成就。可以毫不夸张地说，明代中叶以前，在数学的许多分支领域里，中国一直处于遥遥领先的地位。中国古代的数学家写下了许多数学著作。许多具有世界意义的成就正是因为有了这些古算书才流传下来。
我国流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式表述。请大家看这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，多少老头多少梨？
(1)如果我们设有x个老头，可以得到关于x的等式为
x+1=2x-2
；(2)利用等式的基本性质求出，共有
3
个老头、4
个梨。答案
(1) x+1=2x-2
(2) 3 4
(2) 3 4
解析
【分析】
本题核心是抓住梨的总数量不变这一等量关系解题。解决第一问时，设老头数量为x，分别用含x的式子表示两种分梨方式下的梨总数：每人分1个多1个，梨总数为x+1；每人分2个少2个，梨总数为2x-2，结合梨总数相等即可列出等式。第二问利用等式的基本性质对第一问得到的等式逐步变形，先求出老头的数量，再代入对应式子计算梨的数量即可。
【解析】
(1) 设有x个老头，根据两种分梨方式下梨的总数量相等：
一人一个多一梨时，梨的总数为$x+1$；一人两个少两梨时，梨的总数为$2x-2$，因此可列等式：$\boldsymbol{x+1=2x-2}$。
(2) 利用等式的基本性质解方程$x+1=2x-2$：
① 等式两边同时减去x，得：$x+1-x=2x-2-x$，化简得$1=x-2$；
② 等式两边同时加上2，得：$1+2=x-2+2$，解得$x=3$，即老头有3个。
将$x=3$代入$x+1$，可得梨的数量为$3+1=4$个。
【答案】
(1) $x+1=2x-2$
(2) 3；4
【知识点】
一元一次方程的应用；等式的基本性质
【点评】
本题以古代趣味算题为载体，考查用方程解决实际问题的能力，解题关键是找准不变量建立等量关系，题目兼具趣味性和知识性，能让学生在解题过程中感受传统数学文化的魅力。
【难度系数】
0.8
本题核心是抓住梨的总数量不变这一等量关系解题。解决第一问时，设老头数量为x，分别用含x的式子表示两种分梨方式下的梨总数：每人分1个多1个，梨总数为x+1；每人分2个少2个，梨总数为2x-2，结合梨总数相等即可列出等式。第二问利用等式的基本性质对第一问得到的等式逐步变形，先求出老头的数量，再代入对应式子计算梨的数量即可。
【解析】
(1) 设有x个老头，根据两种分梨方式下梨的总数量相等：
一人一个多一梨时，梨的总数为$x+1$；一人两个少两梨时，梨的总数为$2x-2$，因此可列等式：$\boldsymbol{x+1=2x-2}$。
(2) 利用等式的基本性质解方程$x+1=2x-2$：
① 等式两边同时减去x，得：$x+1-x=2x-2-x$，化简得$1=x-2$；
② 等式两边同时加上2，得：$1+2=x-2+2$，解得$x=3$，即老头有3个。
将$x=3$代入$x+1$，可得梨的数量为$3+1=4$个。
【答案】
(1) $x+1=2x-2$
(2) 3；4
【知识点】
一元一次方程的应用；等式的基本性质
【点评】
本题以古代趣味算题为载体，考查用方程解决实际问题的能力，解题关键是找准不变量建立等量关系，题目兼具趣味性和知识性，能让学生在解题过程中感受传统数学文化的魅力。
【难度系数】
0.8
