课堂精要·梳理内容
等式的基本性质
等式的变形
等式的两边都加(或减)同一个，所得结果仍是等式。用符号表示:若$x = y$，则$x \pm z = y \pm z$($z$为代数式)

等式的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是。用符号表示:若$x = y$，则$cx = cy$($c$为常数)，$\frac{x}{c} = \frac{y}{c}$($c$为非零常数)

1. 代数式
2. 等式

【分析】
这道题考查等式基本性质的识记，解题时可结合题干给出的提示推导答案：首先看第一个空，题干后续的符号表示部分明确标注“z为代数式”，对应“加(或减)同一个对象”的描述，可直接对应得出答案；其次看第二个空，对应等式基本性质的结论，等式经过符合要求的乘除运算后，仍保持等式的属性，结合性质内容即可填写。
【解析】
1. 根据等式的第一条基本性质，结合题干里符号表示部分“z为代数式”的提示，可知等式两边加(或减)的是同一个代数式，因此第一个空填“代数式”。
2. 根据等式的第二条基本性质，等式两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式，因此第二个空填“等式”。
【答案】
代数式；等式
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对等式基本性质内容的准确记忆，该知识点是后续学习解方程的重要基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9

1. 下列变形符合等式的基本性质的是()。

A.如果 $ x - 1 = y + 1 $，那么 $ x = y $
B.如果 $ a = b $，那么 $ \frac{a}{2} = \frac{b}{2} $
C.如果 $ -2x = 5 $，那么 $ x = -2 + 5 $
D.如果 $ 3x = 5 $，那么 $ x = \frac{3}{5} $

1. B

【分析】
解题时首先要明确等式的两条基本性质：1. 等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立；2. 等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来我们逐一验证每个选项的变形是否符合上述性质即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：对$x-1=y+1$，根据等式性质1，两边同时加1，得$x=y+2$，而非$x=y$，不符合等式性质，错误。
选项B：对$a=b$，根据等式性质2，两边同时除以不为0的数2，得$\frac{a}{2}=\frac{b}{2}$，符合等式性质，正确。
选项C：对$-2x=5$，根据等式性质2，两边同时除以$-2$，得$x=-\frac{5}{2}$，而非$x=-2+5$，变形逻辑错误，不符合等式性质，错误。
选项D：对$3x=5$，根据等式性质2，两边同时除以3，得$x=\frac{5}{3}$，而非$x=\frac{3}{5}$，分子分母颠倒，不符合等式性质，错误。
综上，符合等式基本性质的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查对等式基本性质的掌握程度，解题时需注意除以一个数时要保证除数不为0，同时要注意运算的准确性，避免出现运算逻辑错误、分子分母颠倒等失误。
【难度系数】
0.8

2.下列结论错误的是()。

A.若$a=b$,则$b=a$
B.若$a=b$,则$-3a=-3b$
C.若$a=b$,则$b+3=a+3$
D.若$ac=bc$,则$a=b$

2. D

【分析】
本题考查等式的基本性质的应用，解题思路如下：首先回忆等式的相关性质：1. 等式具有对称性，即若a=b，则b=a；2. 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；3. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。接下来对照性质逐一判断每个选项是否正确，重点注意D选项中除以字母c时，要考虑c是否为0的特殊情况。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据等式的对称性，若a=b，则交换等式两边的位置可得b=a，结论正确，不符合题意；
B选项：根据等式的性质2，将等式a=b两边同时乘-3，可得-3a=-3b，结论正确，不符合题意；
C选项：根据等式的性质1，将等式a=b两边同时加3，可得a+3=b+3，即b+3=a+3，结论正确，不符合题意；
D选项：当c=0时，无论a、b取何值，ac=bc恒成立，此时无法推出a=b，所以该结论错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质
【点评】
本题是等式性质的基础应用题，易错点是对等式两边同时除以含字母的式子时，忽略该式子不能为0的前提条件，做题时要注意考虑特殊取值情况。
【难度系数】
0.8

3.下列等式是由$5x-2=2x$根据等式的基本性质变形得到的，其中正确的个数是（）。
①$5x-2x=2$；②$2x-5x=2$；
③$\frac{5}{2}x -1 =x$；④$4x-2=x$。

A.1
B.2
C.3
D.4

3. C

【分析】
解题时首先要回忆等式的两条基本性质：性质1为等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；性质2为等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。接下来我们将原等式$5x-2=2x$按照等式性质逐一验证4个变形是否正确，最后统计正确的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个验证各变形：
1. 验证①：根据等式性质1，原等式两边同时加2，再同时减$2x$，可得$5x-2x=2$，因此①变形正确；
2. 验证②：将原等式移项，把$5x$移到右侧，可得$-2=2x-5x$，即$2x-5x=-2$，与②中$2x-5x=2$不符，因此②变形错误；
3. 验证③：根据等式性质2，原等式两边同时除以2（2≠0，符合要求），左边化简为$\frac{5x-2}{2}=\frac{5}{2}x-1$，右边化简为$\frac{2x}{2}=x$，可得$\frac{5}{2}x -1 =x$，因此③变形正确；
4. 验证④：根据等式性质1，原等式两边同时减$x$，左边化简为$5x-2-x=4x-2$，右边化简为$2x-x=x$，可得$4x-2=x$，因此④变形正确。
综上，正确的变形有①③④，共3个。
【答案】
C
【知识点】
等式的基本性质、移项法则、等式化简
【点评】
本题是等式性质应用的典型题，解题时要注意移项必须改变符号，同时等式两边同时除以一个数时要保证该数不为0，逐一排查即可避免出错。
【难度系数】
0.7

4.已知$2x=3y(y≠0)$，则下列结论成立的是（）。

A.$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$
B.$\frac{x}{3}=\frac{2}{y}$
C.$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$
D.$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}$

4. A

【分析】
本题考查等式变形与比例的转换，解题可从两个思路入手：一是利用等式的基本性质，对已知等式两边同时除以不为0的数，直接推导出对应的比例式；二是利用比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，把每个选项的比例式还原成整式等式，和已知条件对比验证。题目明确给出$y≠0$，因此可以放心做含$y$的除法运算。
【解析】
方法一：利用等式的基本性质推导
已知$2x=3y$，且$y≠0$，等式两边同时除以$2y$（$2y≠0$）：
左边化简为$\frac{2x}{2y}=\frac{x}{y}$，右边化简为$\frac{3y}{2y}=\frac{3}{2}$
可得$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$，对应A选项成立。
方法二：用比例基本性质验证各选项
A选项：$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$，交叉相乘得$2x=3y$，和已知条件一致，成立；
B选项：$\frac{x}{3}=\frac{2}{y}$，交叉相乘得$xy=6$，和已知$2x=3y$不符，不成立；
C选项：$\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$，交叉相乘得$3x=2y$，和已知$2x=3y$不符，不成立；
D选项：$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}$，交叉相乘得$3x=2y$，和已知$2x=3y$不符，不成立。
综上，正确选项为A。
【答案】
A
【知识点】
等式的基本性质；比例的基本性质
【点评】
本题属于基础题型，核心是掌握等式变形的规则和比例式与整式等式的转换方法，做题时注意不要搞反比例的内外项，也可以通过代入特殊值（比如令$y=2$，则$x=3$）快速验证选项。
【难度系数】
0.8

5.若方程$5x=-3x+k$的解为$x=1$,则$k=$。

5. 8

【分析】
这道题考查方程的解的应用，解题思路如下：首先明确方程的解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。已知x=1是原方程的解，所以把x=1代入原方程，原方程就会转化为只含有未知数k的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵x=1是方程$5x=-3x+k$的解
∴将x=1代入方程，方程左右两边相等，可得：
$5×1 = -3×1 + k$
计算化简得：$5 = -3 + k$
移项得：$k = 5 + 3$
合并同类项得：$k = 8$
【答案】
8
【知识点】
1.方程的解的定义
2.解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，主要考查利用方程的解求参数的方法，只需将已知的解代入原方程，转化为关于参数的一元一次方程求解即可，计算量小，是一元一次方程相关内容的常考基础题型。
【难度系数】
0.9

6.若$3x - 2 = 7$,则$3x =$（依据）,$x =$（依据）。

6. 9 等式的两边都加(或减)同一个代数式,所得结果仍是等式 3 等式的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式

【分析】
这道题考查等式基本性质的应用，解题时先观察方程的变形目标：第一步要得到3x，需要消去等号左边的常数项-2，根据等式性质1，给等式两边同时加2即可；第二步要得到x，需要把3x的系数化为1，根据等式性质2，给等式两边同时除以3即可，每一步变形都要对应相应的等式性质作为依据。
【解析】
已知方程$3x - 2 = 7$：
1. 求$3x$的值：根据等式的基本性质1，等式两边都加同一个代数式，所得结果仍是等式，给等式两边同时加2，可得：
$3x - 2 + 2 = 7 + 2$，化简后得到$3x = 9$。
2. 求$x$的值：根据等式的基本性质2，等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式，给等式$3x = 9$两边同时除以3，可得：
$3x ÷ 3 = 9 ÷ 3$，化简后得到$x = 3$。
【答案】
9；等式的两边都加(或减)同一个代数式,所得结果仍是等式；3；等式的两边都乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式
【知识点】
等式的基本性质；一元一次方程求解
【点评】
本题是基础题型，重点考查等式两个基本性质的理解与应用，是求解一元一次方程的核心基础，需熟练掌握等式变形的规则，明确每一步运算的理论依据。
【难度系数】
0.9

7.如果$-\dfrac{3}{5}a^{2x-1}$和$\dfrac{2}{3}a^{x+2}$是同类项，那么
$x=$。

7. 3

【分析】
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。本题中两个单项式都只含字母a，因此要满足同类项的要求，只需让a的指数相等，据此列出关于x的一元一次方程，再解方程即可求出x的值。
【解析】
根据同类项的定义，两个单项式中a的指数相等，可列方程：
$2x - 1 = x + 2$
移项得：$2x - x = 2 + 1$
合并同类项得：$x = 3$
【答案】
3
【知识点】
同类项的定义；一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是抓住同类项中相同字母指数相等的特点列方程，熟练掌握相关概念即可快速求解。
【难度系数】
0.9

8.利用等式的基本性质解下列方程：
(1)$5x - 7 = 8$；
(2)$3x - 4 = x$；
(3)$3 + 2x = 6 + x$。

解:(1)等式两边都加7,得5x=15,等式两边都除以5,得x=3。
(2)等式两边都减x,得2x-4=0,等式两边都加4,得2x=4,等式两边都除以2,得x=2。
(3)等式两边都减x+3,得x=3。

【分析】
解题核心依据是等式的两条基本性质：①等式两边同时加（或减）同一个数（或整式），等式仍然成立；②等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。解题时先利用等式性质1，将含未知数的项调整到等式一侧、常数项调整到等式另一侧，再利用等式性质2将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。
【解析】
(1) 等式两边都加7，得$5x=15$，等式两边都除以5，得$x=3$。
(2) 等式两边都减$x$，得$2x-4=0$，等式两边都加4，得$2x=4$，等式两边都除以2，得$x=2$。
(3) 等式两边都减$x+3$，得$x=3$。
【答案】
(1)$x=3$；(2)$x=2$；(3)$x=3$
【知识点】
等式的基本性质，解一元一次方程
【点评】
本题属于解方程的基础题型，重点考察对等式基本性质的理解和运用，解题时需注意每一步变形都要保证等式两边进行完全相同的运算，避免出现漏加、漏乘类的低级错误。
【难度系数】
0.9

9. 下列说法正确的是()。

A.等式 $ ab = ac $ 两边都除以 $ a $，可得 $ b = c $
B.等式 $ a = b $ 两边都除以 $ c^2 + 1 $，可得 $ \frac{a}{c^2 + 1} = \frac{b}{c^2 + 1} $
C.等式 $ \frac{b}{a} = \frac{c}{a} $ 两边都除以 $ a $，可得 $ b = c $
D.等式 $ 2x = 2a - b $ 两边都除以 2，可得 $ x = a - b $

9. B

【分析】
本题考查等式的基本性质的应用，解题核心是牢记等式性质2的要求：等式两边除以同一个数时，这个数必须不为0，且等式两边的每一项都要同时参与运算。解题时需逐个分析选项：首先判断各选项中除以的数是否可能为0，再判断运算操作是否正确，即可得出正确答案。
【解析】
首先回顾等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
选项A：若a=0，此时不能直接在等式$ab=ac$两边除以a，因此该操作错误，A不符合要求。
选项B：由平方的非负性可知$c^2≥0$，因此$c^2+1≥1$，始终不为0，等式$a=b$两边同时除以$c^2+1$，等式仍然成立，可得$\frac{a}{c^2 + 1} = \frac{b}{c^2 + 1}$，B符合要求。
选项C：等式$\frac{b}{a} = \frac{c}{a}$成立，说明$a≠0$，若要得到$b=c$，需两边同时乘a，而非除以a，操作错误，C不符合要求。
选项D：等式$2x = 2a - b$两边都除以2时，右边的每一项都要除以2，计算得$x = a - \frac{b}{2}$，而非$x = a - b$，运算错误，D不符合要求。
【答案】
B
【知识点】
等式的基本性质；平方的非负性
【点评】
本题是等式性质应用的典型易错题，解题的关键是注意等式两边做除法运算时，除数不能为0，同时要保证等式两边的每一项都参与相同的运算，避免漏除的错误。
【难度系数】
0.7