20. (9分)如图18是由若干棱长为2 cm的小正方体搭成的几何体.

(1)请你在网格中分别画出它从左面看和从上面看的图形；
(2)求这个几何体的表面积(含底面)；
(3)若你手边还有一些相同的小正方体,如果保持从上面和左面观察到的形状图不变,那么最多可以添加多少个小正方体.

解：
(1) 所画图形如下：
从上面看：共3行3列，最前一行第1、3格各有1个正方形，中间一行第1、2、3格各有1个正方形，最后一行第2、3格各有1个正方形；
从左面看：共3列，从左到右第1列高度为1，第2列高度为3，第3列高度为2。
(2) 每个小正方形面的面积为 $ 2 × 2 = 4 \, \mathrm{cm}^2 $。
前、后方向共可见 $ 6 × 2 = 12 $ 个面，左、右方向共可见 $ 6 × 2 = 12 $ 个面，上、下方向共可见 $ 7 × 2 = 14 $ 个面。
总表面积为 $ (12 + 12 + 14) × 4 = 152 \, \mathrm{cm}^2 $。
(3) 保持从上面看到的形状不变，说明底层7个位置的布局不变；保持从左面看到的形状不变，即前后三行的最大高度分别为1、3、2：
最前侧行的2个位置最大高度只能为1，无法添加小正方体；
中间侧行最大高度要求为3，除已为3层的位置外，剩余2个位置分别可添加2个、1个小正方体，共可添加3个；
最后侧行最大高度要求为2，该行2个1层的位置各可添加1个小正方体，共可添加2个。
最多可以添加小正方体的总数为 $ 3 + 2 = 5 $。
答：这个几何体的表面积为 $ 152 \, \mathrm{cm}^2 $，最多可以添加5个小正方体。

【分析】
(1) 画三视图遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则：从上面看可直接得到底层小正方体的分布位置，对应在网格中画出正方形即可；从左面看需先确定列数，再明确每列的最大高度，按高度画出对应正方形。
(2) 计算表面积时，先求出单个小正方形面的面积，再分别统计前、后、左、右、上、下六个方向可见的正方形总个数，用总面数乘单个面的面积即可得到几何体的表面积。
(3) 保持俯视图不变说明底层小正方体的位置和数量固定；保持左视图不变说明几何体前后三行的最大高度固定，分别计算每行各位置可添加的小正方体数量，求和即为最多可添加的总数。
【解析】
(1) 按要求绘制图形：
从上面看：共3行3列，最前一行第1、3格各有1个正方形，中间一行第1、2、3格各有1个正方形，最后一行第2、3格各有1个正方形；
从左面看：共3列，从左到右第1列高度为1，第2列高度为3，第3列高度为2。
(2) 单个小正方形面的面积：$2×2=4\,\mathrm{cm}^2$
前后方向各可见6个面，共$6×2=12$个面；
左右方向各可见6个面，共$6×2=12$个面；
上下方向各可见7个面，共$7×2=14$个面；
总表面积：$(12+12+14)×4=38×4=152\,\mathrm{cm}^2$
(3) 保持俯视图不变，底层7个小正方体的位置固定；保持左视图不变，可知前后三行的最大高度分别为1、3、2：
① 最前侧行最大高度为1，原有高度已达上限，无法添加；
② 中间侧行最大高度为3，现有3个位置中1个已达3层，剩余2个位置分别可添加2个、1个小正方体，共可添加$2+1=3$个；
③ 最后侧行最大高度为2，现有2个位置均为1层，每个可添加1个，共可添加$1+1=2$个；
最多添加总数：$3+2=5$个。
【答案】
(1) 所画图形见上述描述；
(2) 这个几何体的表面积为$\boldsymbol{152\,\mathrm{cm}^2}$；
(3) 最多可以添加$\boldsymbol{5}$个小正方体。
【知识点】
几何体的三视图；几何体表面积计算；由三视图判断几何体
【点评】
本题综合考查三视图绘制、几何体表面积计算及三视图的实际应用，解题核心是具备空间想象能力，明确三视图和几何体结构的对应关系，能有效考查学生的空间思维能力。
【难度系数】
0.6

21. (10分)如图19,已知AB, DE是直立在地面上的两根立柱,AB=12 m,某一时刻AB在阳光下的投影BC=4 m.
(1)请你在图中画出此时DE在阳光下的投影.
(2)在测量AB的投影时,同时测量出DE在阳光下的投影长6 m,请你计算DE的长.

解：
(1) 连接AC，过点D作DF//AC，交地面所在直线于点F，线段EF即为此时DE在阳光下的投影。
(2) ∵ AB⊥地面，DE⊥地面，
∴ ∠ABC = ∠DEF = 90°，
又∵ AC//DF，
∴ ∠ACB = ∠DFE，
∴ △ABC ∽ △DEF，
∴ $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}$。
将AB=12 m，BC=4 m，EF=6 m代入得：
$\frac{12}{DE} = \frac{4}{6}$，
解得 DE = 18 m。
答：DE的长为18 m。

【分析】
(1) 同一时刻阳光属于平行光线，依据平行投影的特点，要得到DE的投影，首先连接点A和点C得到光线AC，再过点D作AC的平行线，与地面的交点记为F，线段EF就是DE此时在阳光下的投影。
(2) 由于AB、DE都垂直于地面，结合光线平行的特点，可证明△ABC与△DEF相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长即可求出DE的长度。
【解析】
(1) 连接AC，过点D作DF//AC，交地面所在直线于点F，线段EF即为此时DE在阳光下的投影。
(2)
∵ AB⊥地面，DE⊥地面，
∴ ∠ABC = ∠DEF = 90°，
又
∵ AC//DF，
∴ ∠ACB = ∠DFE，
∴ △ABC ∽ △DEF，
∴ $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}$。
将AB=12 m，BC=4 m，EF=6 m代入得：
$\frac{12}{DE} = \frac{4}{6}$，
解得 DE = 18 m。
【答案】
(1) 线段EF即为DE的投影；(2) DE的长为18 m
【知识点】
平行投影的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题结合实际生活中的投影场景，考查平行投影规律和相似三角形的应用，解题的核心是掌握同一时刻平行投影下光线平行、物高与影长成比例的特点，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8

22.（10分）图20是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），根据图中所示数据计算这个几何体的表面积.

23.（11分）学习投影后，小明和小颖利用灯光下自己的影子长度

解：
由三视图可知，该几何体为圆锥，
圆锥的底面直径为2 cm，母线长为3 cm，
因此圆锥的底面半径 $ r = \frac{2}{2} = 1\ \mathrm{cm} $。
圆锥的底面积为：$ S_{\mathrm{底}} = π r^2 = π × 1^2 = π\ \mathrm{cm}^2 $，
圆锥的侧面积为：$ S_{\mathrm{侧}} = π r l = π × 1 × 3 = 3π\ \mathrm{cm}^2 $，
该几何体的表面积为：$ S_{\mathrm{表}} = S_{\mathrm{底}} + S_{\mathrm{侧}} = π + 3π = 4π\ \mathrm{cm}^2 $。
答：这个几何体的表面积为$4π\ \mathrm{cm}^2$。

【分析】首先观察三视图，主视图和左视图为等腰三角形，俯视图为圆，可确定该几何体是圆锥。圆锥的表面积由底面积和侧面积两部分组成，解题时先从视图中提取底面直径和母线长的数值，算出底面半径，再分别代入底面积、侧面积公式计算，最后求和即可得到几何体的总表面积。
【解析】
解：由三视图可知，该几何体为圆锥，
圆锥的底面直径为2 cm，母线长为3 cm，
因此圆锥的底面半径 $ r = \frac{2}{2} = 1\ \mathrm{cm} $。
圆锥的底面积为：$ S_{\mathrm{底}} = π r^2 = π × 1^2 = π\ \mathrm{cm}^2 $，
圆锥的侧面积为：$ S_{\mathrm{侧}} = π r l = π × 1 × 3 = 3π\ \mathrm{cm}^2 $，
该几何体的表面积为：$ S_{\mathrm{表}} = S_{\mathrm{底}} + S_{\mathrm{侧}} = π + 3π = 4π\ \mathrm{cm}^2 $。
答：这个几何体的表面积为$4π\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$4π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
三视图判断几何体、圆锥表面积计算
【点评】
本题考查三视图的识别和圆锥面积的相关计算，解题关键是先通过三视图确定几何体类型，再准确提取相关数值代入公式计算，注意圆锥的表面积包含底面积，不要漏算。
【难度系数】
0.7