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23. (11分)学习投影后,小明和小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度,并探究影子长度的变化规律.如图21,在同一时间,身高为1.6 m的小明(AB)的影子BC长是3 m,而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点,并测得HB=6 m.
(1)请在图中画出形成影子的光线,并确定路灯灯泡所在的位置G.
(2)求路灯灯泡的垂直高度GH.
(3)如果小明沿线段BH向小颖(点H)走去,当小明走到BH中点
(1)请在图中画出形成影子的光线,并确定路灯灯泡所在的位置G.
(2)求路灯灯泡的垂直高度GH.
(3)如果小明沿线段BH向小颖(点H)走去,当小明走到BH中点
答案
解：
(1) 连接点C、A并延长，与过点H且垂直于地面的直线交于点G，点G即为路灯灯泡的位置，GA为形成影子的光线。
(2) 由题意可知：$AB⊥ HC$，$GH⊥ HC$，
$\therefore AB// GH$，
$\therefore △ ABC ∽ △ GHC$，
$\therefore \dfrac{AB}{GH}=\dfrac{BC}{HC}$。
已知$AB=1.6\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，$HB=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore HC=HB+BC=6+3=9\ \mathrm{m}$，
代入得：$\dfrac{1.6}{GH}=\dfrac{3}{9}$，
解得$GH=4.8\ \mathrm{m}$。
(3) 设小明走到$BH$中点$B_1$处时，影子长$A_1B_1=x\ \mathrm{m}$，
$\because B_1$是$BH$的中点，
$\therefore HB_1=\dfrac{1}{2}HB=3\ \mathrm{m}$，
又$A_1B_1⊥ HC$，$GH⊥ HC$，
$\therefore A_1B_1// GH$，
$\therefore △ A_1B_1C_1 ∽ △ GHC_1$，
$\therefore \dfrac{A_1B_1}{GH}=\dfrac{B_1C_1}{HC_1}$，
即$\dfrac{1.6}{4.8}=\dfrac{x}{x+3}$，
解得$x=1.5$。
答：路灯灯泡的垂直高度$GH$为$4.8\ \mathrm{m}$，小明走到$BH$中点处时的影子长为$1.5\ \mathrm{m}$。
(1) 连接点C、A并延长，与过点H且垂直于地面的直线交于点G，点G即为路灯灯泡的位置，GA为形成影子的光线。
(2) 由题意可知：$AB⊥ HC$，$GH⊥ HC$，
$\therefore AB// GH$，
$\therefore △ ABC ∽ △ GHC$，
$\therefore \dfrac{AB}{GH}=\dfrac{BC}{HC}$。
已知$AB=1.6\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，$HB=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore HC=HB+BC=6+3=9\ \mathrm{m}$，
代入得：$\dfrac{1.6}{GH}=\dfrac{3}{9}$，
解得$GH=4.8\ \mathrm{m}$。
(3) 设小明走到$BH$中点$B_1$处时，影子长$A_1B_1=x\ \mathrm{m}$，
$\because B_1$是$BH$的中点，
$\therefore HB_1=\dfrac{1}{2}HB=3\ \mathrm{m}$，
又$A_1B_1⊥ HC$，$GH⊥ HC$，
$\therefore A_1B_1// GH$，
$\therefore △ A_1B_1C_1 ∽ △ GHC_1$，
$\therefore \dfrac{A_1B_1}{GH}=\dfrac{B_1C_1}{HC_1}$，
即$\dfrac{1.6}{4.8}=\dfrac{x}{x+3}$，
解得$x=1.5$。
答：路灯灯泡的垂直高度$GH$为$4.8\ \mathrm{m}$，小明走到$BH$中点处时的影子长为$1.5\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 中心投影的光线由点光源发出，小明影子的顶端是点C，头顶是点A，连接C、A并延长，与过路灯正下方H点的竖直直线的交点就是路灯灯泡的位置G，CA所在直线就是形成影子的光线。
(2) 求解路灯高度GH时，由于人和路灯都垂直于地面，可得AB//GH，进而推出△ABC∽△GHC，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知线段长度即可计算出GH。
(3) 小明走到BH中点时，身高仍与GH平行，可构造新的相似三角形，设此时影子长为未知数，根据相似三角形对应边成比例列方程，解方程即可得到此时的影子长度。
【解析】
(1) 连接点C、A并延长，与过点H且垂直于地面的直线交于点G，点G即为路灯灯泡所在位置，GA为形成影子的光线（作图按上述方法完成即可）。
(2) 由题意可知：$AB⊥ HC$，$GH⊥ HC$，
$\therefore AB// GH$，
$\therefore △ ABC ∽ △ GHC$，
$\therefore \dfrac{AB}{GH}=\dfrac{BC}{HC}$。
已知$AB=1.6\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，$HB=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore HC=HB+BC=6+3=9\ \mathrm{m}$，
代入得：$\dfrac{1.6}{GH}=\dfrac{3}{9}$，
解得$GH=4.8\ \mathrm{m}$。
(3) 设小明走到$BH$中点$B_1$处时，影子长$A_1B_1=x\ \mathrm{m}$，
$\because B_1$是$BH$的中点，
$\therefore HB_1=\dfrac{1}{2}HB=3\ \mathrm{m}$，
又$A_1B_1⊥ HC$，$GH⊥ HC$，
$\therefore A_1B_1// GH$，
$\therefore △ A_1B_1C_1 ∽ △ GHC_1$，
$\therefore \dfrac{A_1B_1}{GH}=\dfrac{B_1C_1}{HC_1}$，
即$\dfrac{1.6}{4.8}=\dfrac{x}{x+3}$，
解得$x=1.5$。
【答案】
(1) 连接CA延长交过H的竖直线于G，G即为灯泡位置；
(2) 路灯灯泡的垂直高度GH为$\boldsymbol{4.8\ \mathrm{m}}$；
(3) 小明走到BH中点处时的影子长为$\boldsymbol{1.5\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
中心投影；相似三角形的应用
【点评】
本题结合生活中灯光投影的实际场景，将实际测量问题转化为相似三角形的求解问题，解题核心是利用垂直于地面的线段平行得到相似三角形，再通过对应边成比例建立关系式求解，能够有效考查学生的数学建模能力和应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 中心投影的光线由点光源发出，小明影子的顶端是点C，头顶是点A，连接C、A并延长，与过路灯正下方H点的竖直直线的交点就是路灯灯泡的位置G，CA所在直线就是形成影子的光线。
(2) 求解路灯高度GH时，由于人和路灯都垂直于地面，可得AB//GH，进而推出△ABC∽△GHC，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知线段长度即可计算出GH。
(3) 小明走到BH中点时，身高仍与GH平行，可构造新的相似三角形，设此时影子长为未知数，根据相似三角形对应边成比例列方程，解方程即可得到此时的影子长度。
【解析】
(1) 连接点C、A并延长，与过点H且垂直于地面的直线交于点G，点G即为路灯灯泡所在位置，GA为形成影子的光线（作图按上述方法完成即可）。
(2) 由题意可知：$AB⊥ HC$，$GH⊥ HC$，
$\therefore AB// GH$，
$\therefore △ ABC ∽ △ GHC$，
$\therefore \dfrac{AB}{GH}=\dfrac{BC}{HC}$。
已知$AB=1.6\ \mathrm{m}$，$BC=3\ \mathrm{m}$，$HB=6\ \mathrm{m}$，
$\therefore HC=HB+BC=6+3=9\ \mathrm{m}$，
代入得：$\dfrac{1.6}{GH}=\dfrac{3}{9}$，
解得$GH=4.8\ \mathrm{m}$。
(3) 设小明走到$BH$中点$B_1$处时，影子长$A_1B_1=x\ \mathrm{m}$，
$\because B_1$是$BH$的中点，
$\therefore HB_1=\dfrac{1}{2}HB=3\ \mathrm{m}$，
又$A_1B_1⊥ HC$，$GH⊥ HC$，
$\therefore A_1B_1// GH$，
$\therefore △ A_1B_1C_1 ∽ △ GHC_1$，
$\therefore \dfrac{A_1B_1}{GH}=\dfrac{B_1C_1}{HC_1}$，
即$\dfrac{1.6}{4.8}=\dfrac{x}{x+3}$，
解得$x=1.5$。
【答案】
(1) 连接CA延长交过H的竖直线于G，G即为灯泡位置；
(2) 路灯灯泡的垂直高度GH为$\boldsymbol{4.8\ \mathrm{m}}$；
(3) 小明走到BH中点处时的影子长为$\boldsymbol{1.5\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
中心投影；相似三角形的应用
【点评】
本题结合生活中灯光投影的实际场景，将实际测量问题转化为相似三角形的求解问题，解题核心是利用垂直于地面的线段平行得到相似三角形，再通过对应边成比例建立关系式求解，能够有效考查学生的数学建模能力和应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
