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1. (2026·武汉)乘坐地铁已经成为市民出行的主要方式. 小美和小好约定在某地铁站内会面,该地铁站有3个入口,他们各自随机选择一个入口进站,两人刚好从同一个入口进站的概率是 ()
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
C
解析
【分析】
这是一道结合生活场景的古典概型概率计算题，解题思路清晰：首先明确所有等可能的总结果数，两人各自随机选入口，每人都有3种选择，可通过分步计数得出总结果数；再统计两人从同一个入口进站的符合条件的结果数；最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”即可算出结果。也可通过固定一人选择的方法简化思考：先确定小美选的入口，小好要和她选同一个，仅需在3种选择里选到对应1种，可直接得出概率。
【解析】
解：设3个入口分别记为1、2、3。
1. 计算总等可能结果数：小美选入口有3种等可能结果，小好选入口也有3种等可能结果，因此总结果数为 $3×3=9$ 种。
2. 统计符合条件的结果数：两人同入口进站的情况为(1,1)、(2,2)、(3,3)，共3种。
3. 代入概率公式计算：
$P(\mathrm{同一入口进站})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
C
【知识点】
1. 概率公式 2. 列举法求概率
【点评】
本题以日常出行场景为背景考查基础概率计算，核心是准确梳理总结果数和符合要求的结果数，属于常规基础题，熟练掌握古典概型计算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
这是一道结合生活场景的古典概型概率计算题，解题思路清晰：首先明确所有等可能的总结果数，两人各自随机选入口，每人都有3种选择，可通过分步计数得出总结果数；再统计两人从同一个入口进站的符合条件的结果数；最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”即可算出结果。也可通过固定一人选择的方法简化思考：先确定小美选的入口，小好要和她选同一个，仅需在3种选择里选到对应1种，可直接得出概率。
【解析】
解：设3个入口分别记为1、2、3。
1. 计算总等可能结果数：小美选入口有3种等可能结果，小好选入口也有3种等可能结果，因此总结果数为 $3×3=9$ 种。
2. 统计符合条件的结果数：两人同入口进站的情况为(1,1)、(2,2)、(3,3)，共3种。
3. 代入概率公式计算：
$P(\mathrm{同一入口进站})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$
【答案】
C
【知识点】
1. 概率公式 2. 列举法求概率
【点评】
本题以日常出行场景为背景考查基础概率计算，核心是准确梳理总结果数和符合要求的结果数，属于常规基础题，熟练掌握古典概型计算方法即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2. 实验室的试管架上有三个没有标签的试管，试管内分别装有$\ce{NaOH}$,$\ce{HCl}$,$\ce{KOH}$三种溶液，小明同学将酚酞试剂随机滴入其中一个试管，则试管中溶液变红的概率是（）
A.0
B.1
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{3}$
A.0
B.1
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{2}{3}$
答案
D
解析
【分析】
要计算滴入酚酞后溶液变红的概率，需先明确两个核心信息：一是随机滴入试管的所有等可能结果总数，二是能使酚酞变红的情况数，再根据等可能事件的概率公式计算即可。首先回忆酚酞的变色规律：酚酞遇碱性溶液变红，遇酸性、中性溶液不变色，先判断三种溶液的酸碱性，筛选出能变红的情况，再代入公式计算。
【解析】
解：随机将酚酞滴入三个试管中的任意一个，共有3种等可能的结果。
已知酚酞遇碱性溶液变红，三种溶液中$\ce{NaOH}$、$\ce{KOH}$属于碱性溶液，$\ce{HCl}$属于酸性溶液，因此能使溶液变红的结果有2种。
根据等可能事件的概率公式：$P(\mathrm{事件发生})=\dfrac{\mathrm{事件发生的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得溶液变红的概率为$\dfrac{2}{3}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 酚酞变色规律
【点评】
本题是结合化学知识的概率基础题，需要先运用酸碱指示剂的相关性质筛选出符合条件的情况，再用概率公式求解，侧重考查跨学科基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
要计算滴入酚酞后溶液变红的概率，需先明确两个核心信息：一是随机滴入试管的所有等可能结果总数，二是能使酚酞变红的情况数，再根据等可能事件的概率公式计算即可。首先回忆酚酞的变色规律：酚酞遇碱性溶液变红，遇酸性、中性溶液不变色，先判断三种溶液的酸碱性，筛选出能变红的情况，再代入公式计算。
【解析】
解：随机将酚酞滴入三个试管中的任意一个，共有3种等可能的结果。
已知酚酞遇碱性溶液变红，三种溶液中$\ce{NaOH}$、$\ce{KOH}$属于碱性溶液，$\ce{HCl}$属于酸性溶液，因此能使溶液变红的结果有2种。
根据等可能事件的概率公式：$P(\mathrm{事件发生})=\dfrac{\mathrm{事件发生的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，可得溶液变红的概率为$\dfrac{2}{3}$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1. 等可能事件概率计算
2. 酚酞变色规律
【点评】
本题是结合化学知识的概率基础题，需要先运用酸碱指示剂的相关性质筛选出符合条件的情况，再用概率公式求解，侧重考查跨学科基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.8
3. 掷一枚质地均匀的硬币10次,下列说法正确的是 ()
A.每2次必有1次正面向上
B.可能有8次正面向上
C.必有5次正面向上
D.不可能有10次正面向上
A.每2次必有1次正面向上
B.可能有8次正面向上
C.必有5次正面向上
D.不可能有10次正面向上
答案
B
解析
【分析】
本题考查随机事件与概率的意义，解题时首先要明确：掷质地均匀的硬币属于随机试验，每次正面向上的概率为$\frac{1}{2}$，但有限次试验的结果具有随机性，概率仅反映事件发生的可能性大小，不代表必然会发生。解题时需逐一判断每个选项描述的是必然事件、随机事件还是不可能事件，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
掷一枚质地均匀的硬币，每次投掷的结果相互独立，正面向上的概率为$\frac{1}{2}$，10次投掷的正面次数是0~10之间的任意整数，结果具有随机性：
选项A：“每2次必有1次正面向上”是必然事件的描述，但每次投掷结果随机，可能出现连续正面或连续反面的情况，该描述错误；
选项B：8次正面向上属于可能发生的随机事件，描述正确；
选项C：“必有5次正面向上”是必然事件的描述，10次投掷的正面次数是随机的，不一定恰好为5次，该描述错误；
选项D：10次全正面向上虽然发生概率极低，但仍属于可能发生的随机事件，不是不可能事件，该描述错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 随机事件的概念
2. 概率的意义
【点评】
本题是概率基础题，易错点是混淆概率的理论值和实际试验结果，要明确概率仅代表事件发生的可能性大小，有限次试验的结果是随机的，不能把概率值当成试验的必然结果。
【难度系数】
0.8
本题考查随机事件与概率的意义，解题时首先要明确：掷质地均匀的硬币属于随机试验，每次正面向上的概率为$\frac{1}{2}$，但有限次试验的结果具有随机性，概率仅反映事件发生的可能性大小，不代表必然会发生。解题时需逐一判断每个选项描述的是必然事件、随机事件还是不可能事件，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
掷一枚质地均匀的硬币，每次投掷的结果相互独立，正面向上的概率为$\frac{1}{2}$，10次投掷的正面次数是0~10之间的任意整数，结果具有随机性：
选项A：“每2次必有1次正面向上”是必然事件的描述，但每次投掷结果随机，可能出现连续正面或连续反面的情况，该描述错误；
选项B：8次正面向上属于可能发生的随机事件，描述正确；
选项C：“必有5次正面向上”是必然事件的描述，10次投掷的正面次数是随机的，不一定恰好为5次，该描述错误；
选项D：10次全正面向上虽然发生概率极低，但仍属于可能发生的随机事件，不是不可能事件，该描述错误。
【答案】
B
【知识点】
1. 随机事件的概念
2. 概率的意义
【点评】
本题是概率基础题，易错点是混淆概率的理论值和实际试验结果，要明确概率仅代表事件发生的可能性大小，有限次试验的结果是随机的，不能把概率值当成试验的必然结果。
【难度系数】
0.8
4. (2025·河北)抛掷一个质地均匀的正方体木块(6个面上分别标有1,2,3中的一个数字),若向上一面出现数字1的概率为$\frac{1}{2}$,出现数字2的概率为$\frac{1}{3}$,则该木块不可能是 ()
答案
A
解析
【分析】
解题时首先根据概率公式，结合正方体总面数为6，分别计算出木块上标有数字1、2、3的面的数量；再逐一观察每个选项正方体的可见面数字，判断是否和计算出的各数字面数冲突，存在冲突的即为不可能的木块。
【解析】
解：正方体总共有6个面，根据概率公式$P=\frac{\mathrm{所求情况数}}{\mathrm{总情况数}}$可得：
标有数字1的面数为：$6×\frac{1}{2}=3$（个）
标有数字2的面数为：$6×\frac{1}{3}=2$（个）
标有数字3的面数为：$6-3-2=1$（个），即该正方体上仅能有1个面标有数字3。
观察各选项：
A选项的正方体可见面中已经出现2个标有数字3的面，和“仅1个面标3”的结论矛盾，因此该木块不可能是A；
B、C、D选项的可见面数字均不与上述数量要求冲突，存在符合条件的可能。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
概率公式，正方体的特征
【点评】
本题将概率计算和立体图形认知结合考查，解题核心是先通过概率确定各数字的面数，再结合可见面判断是否符合要求，属于基础综合类题目。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据概率公式，结合正方体总面数为6，分别计算出木块上标有数字1、2、3的面的数量；再逐一观察每个选项正方体的可见面数字，判断是否和计算出的各数字面数冲突，存在冲突的即为不可能的木块。
【解析】
解：正方体总共有6个面，根据概率公式$P=\frac{\mathrm{所求情况数}}{\mathrm{总情况数}}$可得：
标有数字1的面数为：$6×\frac{1}{2}=3$（个）
标有数字2的面数为：$6×\frac{1}{3}=2$（个）
标有数字3的面数为：$6-3-2=1$（个），即该正方体上仅能有1个面标有数字3。
观察各选项：
A选项的正方体可见面中已经出现2个标有数字3的面，和“仅1个面标3”的结论矛盾，因此该木块不可能是A；
B、C、D选项的可见面数字均不与上述数量要求冲突，存在符合条件的可能。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
概率公式，正方体的特征
【点评】
本题将概率计算和立体图形认知结合考查，解题核心是先通过概率确定各数字的面数，再结合可见面判断是否符合要求，属于基础综合类题目。
【难度系数】
0.7
5. 一个口袋中装有4个白球和6个红球,它们除颜色外完全相同.
(1)事件“从口袋中随机摸出1个球是绿球”发生的概率是;
(2)事件“从口袋中随机摸出1个球是红球”发生的概率是;
(3)从口袋中取走若干个红球,并放入相同数量的白球,充分摇匀后,从口袋中随机摸出1个球是白球的概率是$\frac{4}{5}$,求取走了多少个红球.
(1)事件“从口袋中随机摸出1个球是绿球”发生的概率是;
(2)事件“从口袋中随机摸出1个球是红球”发生的概率是;
(3)从口袋中取走若干个红球,并放入相同数量的白球,充分摇匀后,从口袋中随机摸出1个球是白球的概率是$\frac{4}{5}$,求取走了多少个红球.
答案
解：
(1) $0$
(2) $\dfrac{3}{5}$
(3) 设取走了$x$个红球，则放入的白球数量也为$x$个，此时口袋中白球共有$(4+x)$个，球的总个数为$4+6=10$。
根据题意列方程：
$\frac{4+x}{10}=\frac{4}{5}$
解得 $x=4$。
答：取走了4个红球。
(1) $0$
(2) $\dfrac{3}{5}$
(3) 设取走了$x$个红球，则放入的白球数量也为$x$个，此时口袋中白球共有$(4+x)$个，球的总个数为$4+6=10$。
根据题意列方程：
$\frac{4+x}{10}=\frac{4}{5}$
解得 $x=4$。
答：取走了4个红球。
解析
【分析】
本题考查概率的相关计算，解题思路如下：
1. 第(1)问：明确口袋中仅装有白球和红球，没有绿球，因此摸出绿球属于不可能事件，不可能事件的发生概率为0；
2. 第(2)问：利用古典概型概率公式，随机事件概率=符合条件的情况数÷总情况数，先计算球的总个数，再用红球个数除以总球数即可得到摸出红球的概率；
3. 第(3)问：设取走红球的个数为x，由于放入白球的数量和取走红球的数量相同，因此球的总个数不变，此时白球数量为原有白球数加x，再结合摸出白球的概率为$\frac{4}{5}$，根据概率公式列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 口袋中只有白球和红球，没有绿球，因此“随机摸出1个球是绿球”是不可能事件，发生的概率为0；
(2) 口袋中球的总个数为$4+6=10$个，其中红球有6个，因此摸出红球的概率$P=\frac{红球个数}{总球数}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$；
(3) 设取走了$x$个红球，则放入的白球数量也为$x$个。
此时口袋中白球的数量为$(4+x)$个，球的总个数仍为10个。
根据摸出白球的概率为$\frac{4}{5}$，列方程得：
$\frac{4+x}{10}=\frac{4}{5}$
方程两边同乘10得：$4+x=8$
解得$x=4$
答：取走了4个红球。
【答案】
(1) $0$；(2) $\dfrac{3}{5}$；(3) $4$个
【知识点】
不可能事件的概率，古典概型计算，列方程解概率问题
【点评】
本题属于概率基础题型，重点考查概率的基本概念和计算公式的应用，第三问结合方程考查概率变化问题，解题的关键是抓住总球数不变的特点，准确找到等量关系列方程，整体难度较低。
【难度系数】
0.85
本题考查概率的相关计算，解题思路如下：
1. 第(1)问：明确口袋中仅装有白球和红球，没有绿球，因此摸出绿球属于不可能事件，不可能事件的发生概率为0；
2. 第(2)问：利用古典概型概率公式，随机事件概率=符合条件的情况数÷总情况数，先计算球的总个数，再用红球个数除以总球数即可得到摸出红球的概率；
3. 第(3)问：设取走红球的个数为x，由于放入白球的数量和取走红球的数量相同，因此球的总个数不变，此时白球数量为原有白球数加x，再结合摸出白球的概率为$\frac{4}{5}$，根据概率公式列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 口袋中只有白球和红球，没有绿球，因此“随机摸出1个球是绿球”是不可能事件，发生的概率为0；
(2) 口袋中球的总个数为$4+6=10$个，其中红球有6个，因此摸出红球的概率$P=\frac{红球个数}{总球数}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$；
(3) 设取走了$x$个红球，则放入的白球数量也为$x$个。
此时口袋中白球的数量为$(4+x)$个，球的总个数仍为10个。
根据摸出白球的概率为$\frac{4}{5}$，列方程得：
$\frac{4+x}{10}=\frac{4}{5}$
方程两边同乘10得：$4+x=8$
解得$x=4$
答：取走了4个红球。
【答案】
(1) $0$；(2) $\dfrac{3}{5}$；(3) $4$个
【知识点】
不可能事件的概率，古典概型计算，列方程解概率问题
【点评】
本题属于概率基础题型，重点考查概率的基本概念和计算公式的应用，第三问结合方程考查概率变化问题，解题的关键是抓住总球数不变的特点，准确找到等量关系列方程，整体难度较低。
【难度系数】
0.85
