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1. 有四根长度分别为2 cm,3 cm,4 cm,5 cm 的木棒,从中任取三根,并将它们首尾相连,能组成三角形的概率为 ()
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
C
解析
【分析】
要计算能组成三角形的概率，需按三步思路解题：①先用列举法列出从4根木棒中任取3根的所有等可能情况；②再根据三角形三边关系（可简化为较短两边之和大于最长边）筛选出能构成三角形的情况；③最后用符合条件的情况数除以总情况数，即可得到所求概率。
【解析】
第一步：列举所有取法，从4根木棒中任取3根，共有4种等可能的组合：
①2cm，3cm，4cm；②2cm，3cm，5cm；③2cm，4cm，5cm；④3cm，4cm，5cm。
第二步：根据三角形三边关系逐一判断：
①2+3＞4，满足三边关系，可构成三角形；
②2+3=5，不满足三边关系，不可构成三角形；
③2+4＞5，满足三边关系，可构成三角形；
④3+4＞5，满足三边关系，可构成三角形。
能构成三角形的组合共3种，总组合数为4种，因此概率为$\frac{3}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系、列举法求概率
【点评】
本题是三角形性质与概率计算的基础综合题，解题时需注意不重不漏地列举所有组合，判断三边关系时直接验证较短两边之和是否大于最长边即可提高效率，同时要注意“两边之和等于第三边”无法构成三角形，避免判断失误。
【难度系数】
0.75
要计算能组成三角形的概率，需按三步思路解题：①先用列举法列出从4根木棒中任取3根的所有等可能情况；②再根据三角形三边关系（可简化为较短两边之和大于最长边）筛选出能构成三角形的情况；③最后用符合条件的情况数除以总情况数，即可得到所求概率。
【解析】
第一步：列举所有取法，从4根木棒中任取3根，共有4种等可能的组合：
①2cm，3cm，4cm；②2cm，3cm，5cm；③2cm，4cm，5cm；④3cm，4cm，5cm。
第二步：根据三角形三边关系逐一判断：
①2+3＞4，满足三边关系，可构成三角形；
②2+3=5，不满足三边关系，不可构成三角形；
③2+4＞5，满足三边关系，可构成三角形；
④3+4＞5，满足三边关系，可构成三角形。
能构成三角形的组合共3种，总组合数为4种，因此概率为$\frac{3}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系、列举法求概率
【点评】
本题是三角形性质与概率计算的基础综合题，解题时需注意不重不漏地列举所有组合，判断三边关系时直接验证较短两边之和是否大于最长边即可提高效率，同时要注意“两边之和等于第三边”无法构成三角形，避免判断失误。
【难度系数】
0.75
2. 妙妙上学经过两个路口,如果每个路口可直接通过和需等待的可能性相等,那么妙妙上学时在这两个路口都直接通过的概率是 ()
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
A
解析
【分析】
本题要求两个路口都直接通过的概率，首先明确每个路口有“直接通过”“需等待”两种等可能的结果，两个路口的通行情况互不影响，属于两步的等可能随机事件，我们可以通过列举法找出所有等可能的结果总数，再找出满足“两个路口都直接通过”的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
我们可以通过列举所有可能的通行情况求解：
设第一个路口的两种情况为：通（直接通过）、等（需等待），第二个路口同理也有通、等两种情况，所有等可能的结果如下：
（通，通）、（通，等）、（等，通）、（等，等），共4种等可能的结果。
其中两个路口都直接通过的结果只有1种，
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，
可得两个路口都直接通过的概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率，概率公式
【点评】
本题是概率的基础常考题，解题的核心是准确罗列出两步事件的所有等可能结果，避免出现漏算、重算的情况，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
本题要求两个路口都直接通过的概率，首先明确每个路口有“直接通过”“需等待”两种等可能的结果，两个路口的通行情况互不影响，属于两步的等可能随机事件，我们可以通过列举法找出所有等可能的结果总数，再找出满足“两个路口都直接通过”的结果数，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
我们可以通过列举所有可能的通行情况求解：
设第一个路口的两种情况为：通（直接通过）、等（需等待），第二个路口同理也有通、等两种情况，所有等可能的结果如下：
（通，通）、（通，等）、（等，通）、（等，等），共4种等可能的结果。
其中两个路口都直接通过的结果只有1种，
根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}$，
可得两个路口都直接通过的概率为$\frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率，概率公式
【点评】
本题是概率的基础常考题，解题的核心是准确罗列出两步事件的所有等可能结果，避免出现漏算、重算的情况，再代入公式计算即可。
【难度系数】
0.8
3. (2025·绵阳)水是生命之源.水分子的化学式为$\ce{H_{2}O}$,即1个水分子$\ce{H_{2}O}$由2个氢原子H和1个氧原子O组成.现有形状大小完全相同的4张卡片,分别有H,H,O,O图案,小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张,则这3张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是.
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
解析
【分析】
本题属于古典概型的概率计算问题，解题思路可分为三步：首先确定所有等可能的抽取结果总数，再筛选出满足“3张卡片可组成水分子$\ce{H_{2}O}$（即2个H卡片、1个O卡片）”的结果数，最后根据概率公式计算结果。为避免列举时重复或遗漏，可先对图案相同的卡片做不同标记，再逐一列举所有抽取情况。
【解析】
将4张卡片分别标记为$\ce{H_{1}}$、$\ce{H_{2}}$、$\ce{O_{1}}$、$\ce{O_{2}}$，从4张卡片中随机抽取3张，所有等可能的结果共4种：
1. $\ce{H_{1}}$、$\ce{H_{2}}$、$\ce{O_{1}}$；
2. $\ce{H_{1}}$、$\ce{H_{2}}$、$\ce{O_{2}}$；
3. $\ce{H_{1}}$、$\ce{O_{1}}$、$\ce{O_{2}}$；
4. $\ce{H_{2}}$、$\ce{O_{1}}$、$\ce{O_{2}}$。
要组成水分子化学式，需要2张H卡片和1张O卡片，符合条件的结果为上述第1、2种，共2种。
根据概率公式：
$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
列举法求概率，概率公式，古典概型
【点评】
本题结合化学分子组成的场景考查概率计算，难度适中，解题的核心是正确区分4张不同的卡片，准确列举所有等可能的抽取结果，避免因认为相同图案的卡片完全一致而错算总结果数。
【难度系数】
0.7
本题属于古典概型的概率计算问题，解题思路可分为三步：首先确定所有等可能的抽取结果总数，再筛选出满足“3张卡片可组成水分子$\ce{H_{2}O}$（即2个H卡片、1个O卡片）”的结果数，最后根据概率公式计算结果。为避免列举时重复或遗漏，可先对图案相同的卡片做不同标记，再逐一列举所有抽取情况。
【解析】
将4张卡片分别标记为$\ce{H_{1}}$、$\ce{H_{2}}$、$\ce{O_{1}}$、$\ce{O_{2}}$，从4张卡片中随机抽取3张，所有等可能的结果共4种：
1. $\ce{H_{1}}$、$\ce{H_{2}}$、$\ce{O_{1}}$；
2. $\ce{H_{1}}$、$\ce{H_{2}}$、$\ce{O_{2}}$；
3. $\ce{H_{1}}$、$\ce{O_{1}}$、$\ce{O_{2}}$；
4. $\ce{H_{2}}$、$\ce{O_{1}}$、$\ce{O_{2}}$。
要组成水分子化学式，需要2张H卡片和1张O卡片，符合条件的结果为上述第1、2种，共2种。
根据概率公式：
$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
列举法求概率，概率公式，古典概型
【点评】
本题结合化学分子组成的场景考查概率计算，难度适中，解题的核心是正确区分4张不同的卡片，准确列举所有等可能的抽取结果，避免因认为相同图案的卡片完全一致而错算总结果数。
【难度系数】
0.7
4. 如图1所示的电路图中，当随机闭合$S_1,S_2,S_3,S_4$中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为。
答案
解：
随机闭合$S_1,S_2,S_3,S_4$中的两个开关，所有等可能出现的结果为：$(S_1,S_2)$、$(S_1,S_3)$、$(S_1,S_4)$、$(S_2,S_3)$、$(S_2,S_4)$、$(S_3,S_4)$，共6种。
其中能够让灯泡发光的结果为：$(S_1,S_2)$、$(S_1,S_3)$、$(S_1,S_4)$，共3种。
因此能够让灯泡发光的概率为 $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$
随机闭合$S_1,S_2,S_3,S_4$中的两个开关，所有等可能出现的结果为：$(S_1,S_2)$、$(S_1,S_3)$、$(S_1,S_4)$、$(S_2,S_3)$、$(S_2,S_4)$、$(S_3,S_4)$，共6种。
其中能够让灯泡发光的结果为：$(S_1,S_2)$、$(S_1,S_3)$、$(S_1,S_4)$，共3种。
因此能够让灯泡发光的概率为 $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解决本题需分三步思考：第一步先明确随机闭合2个开关的所有等可能情况；第二步结合电路结构判断灯泡发光的条件：干路开关$S_1$必须闭合，且并联支路的$S_2、S_3、S_4$中至少有一个闭合，因此符合条件的开关组合必须包含$S_1$，另一个开关从$S_2、S_3、S_4$中选取；第三步根据概率公式，用符合条件的情况数除以总情况数即可得到结果。
【解析】
首先列出随机闭合$S_1、S_2、S_3、S_4$中两个开关的所有等可能结果：
$(S_1,S_2)$、$(S_1,S_3)$、$(S_1,S_4)$、$(S_2,S_3)$、$(S_2,S_4)$、$(S_3,S_4)$，共6种。
再判断能让灯泡发光的情况：需包含干路开关$S_1$，因此符合条件的结果为$(S_1,S_2)$、$(S_1,S_3)$、$(S_1,S_4)$，共3种。
根据概率公式计算：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
列举法求概率、电路通断判断
【点评】
本题是概率与简单电路知识的综合应用题，既要求学生掌握用列举法统计事件发生的所有等可能情况，又需要能结合电路结构判断通路条件，整体考察知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题需分三步思考：第一步先明确随机闭合2个开关的所有等可能情况；第二步结合电路结构判断灯泡发光的条件：干路开关$S_1$必须闭合，且并联支路的$S_2、S_3、S_4$中至少有一个闭合，因此符合条件的开关组合必须包含$S_1$，另一个开关从$S_2、S_3、S_4$中选取；第三步根据概率公式，用符合条件的情况数除以总情况数即可得到结果。
【解析】
首先列出随机闭合$S_1、S_2、S_3、S_4$中两个开关的所有等可能结果：
$(S_1,S_2)$、$(S_1,S_3)$、$(S_1,S_4)$、$(S_2,S_3)$、$(S_2,S_4)$、$(S_3,S_4)$，共6种。
再判断能让灯泡发光的情况：需包含干路开关$S_1$，因此符合条件的结果为$(S_1,S_2)$、$(S_1,S_3)$、$(S_1,S_4)$，共3种。
根据概率公式计算：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
列举法求概率、电路通断判断
【点评】
本题是概率与简单电路知识的综合应用题，既要求学生掌握用列举法统计事件发生的所有等可能情况，又需要能结合电路结构判断通路条件，整体考察知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
5. 现有4张正面分别写有数字1,2,3,4的卡片,将4张卡片的背面朝上,洗匀.
(1)若从中任意抽取1张,抽的卡片上的数字恰好为3的概率是.
(2)若先从中任意抽取1张(不放回),再从余下的3张中任意抽取1张,求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率.请用列表或画树状图的方法写出分析过程.
6. (2025·陕西)某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动,
(1)若从中任意抽取1张,抽的卡片上的数字恰好为3的概率是.
(2)若先从中任意抽取1张(不放回),再从余下的3张中任意抽取1张,求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率.请用列表或画树状图的方法写出分析过程.
6. (2025·陕西)某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动,
答案
解：
(1) 共有4张完全等可能的卡片，抽到数字恰好为3的情况只有1种，因此所求概率为$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$。
(2) 列表如下：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | - | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | - | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | - | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | - |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两张卡片数字之和为3的倍数的结果有(1,2)、(2,1)、(2,4)、(4,2)，共4种。
因此抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
(1) 共有4张完全等可能的卡片，抽到数字恰好为3的情况只有1种，因此所求概率为$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$。
(2) 列表如下：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | - | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | - | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | - | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | - |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两张卡片数字之和为3的倍数的结果有(1,2)、(2,1)、(2,4)、(4,2)，共4种。
因此抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
解析
【分析】
(1) 第一问是一步古典概型问题，解题时先统计所有等可能的抽取结果总数，再找到符合“抽到数字为3”的结果数，代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷总结果数”即可直接计算。
(2) 第二问是不放回的两步抽取试验，首先明确第一次抽走的卡片不会放回，两次抽取的数字不会重复。我们选择列表法列举所有可能的抽取结果，保证结果不重不漏，再从中筛选出两张卡片数字之和为3的倍数的结果，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 共有4张等可能的卡片，任意抽取1张时总共有4种等可能的结果，其中抽到数字恰好为3的结果只有1种，因此所求概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 列表列举所有不放回抽取的结果如下：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | - | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | - | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | - | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | - |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两张卡片数字之和为3的倍数的结果有(1,2)、(2,1)、(2,4)、(4,2)，共4种。
因此抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
1. 概率公式 2. 列表法求概率 3. 不放回抽样概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础常规题，重点考查列举法的运用，解题核心是列举所有试验结果时做到不重不漏，准确筛选符合要求的结果，熟练掌握古典概型计算方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问是一步古典概型问题，解题时先统计所有等可能的抽取结果总数，再找到符合“抽到数字为3”的结果数，代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷总结果数”即可直接计算。
(2) 第二问是不放回的两步抽取试验，首先明确第一次抽走的卡片不会放回，两次抽取的数字不会重复。我们选择列表法列举所有可能的抽取结果，保证结果不重不漏，再从中筛选出两张卡片数字之和为3的倍数的结果，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 共有4张等可能的卡片，任意抽取1张时总共有4种等可能的结果，其中抽到数字恰好为3的结果只有1种，因此所求概率为$\frac{1}{4}$。
(2) 列表列举所有不放回抽取的结果如下：
| 第一次\第二次 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 1 | - | (1,2) | (1,3) | (1,4) |
| 2 | (2,1) | - | (2,3) | (2,4) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | - | (3,4) |
| 4 | (4,1) | (4,2) | (4,3) | - |
由表可知，共有12种等可能的结果，其中两张卡片数字之和为3的倍数的结果有(1,2)、(2,1)、(2,4)、(4,2)，共4种。
因此抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率为$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
1. 概率公式 2. 列表法求概率 3. 不放回抽样概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础常规题，重点考查列举法的运用，解题核心是列举所有试验结果时做到不重不漏，准确筛选符合要求的结果，熟练掌握古典概型计算方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
