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一般地，形如
$y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)$
的函数，叫作二次函数。其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数
、一次项系数
和常数项
。答案
$y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)$，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项
解析
【分析】
这道题考查二次函数的基础概念，解题时需结合二次函数的定义思考：首先二次函数的自变量最高次数为2，因此要保证二次项系数不为0，否则函数最高次数不足2，不属于二次函数；再对应a、b、c分别对应的项，即可确定三者的名称。
【解析】
根据二次函数的标准定义：
1. 二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$，需满足a、b、c为常数，且$a≠0$，若$a=0$，二次项消失，函数就不是二次函数；
2. 式中$ax^2$是二次项，因此a为二次项系数；$bx$是一次项，因此b为一次项系数；c是不含自变量的固定项，因此为常数项。
【答案】
$y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)$；二次项系数；一次项系数；常数项
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 二次函数的项与系数
【点评】
本题是基础概念题，主要考察对二次函数核心定义和各项名称的识记，要注意$a≠0$是二次函数成立的必要条件，这类概念是后续学习二次函数图像、性质的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
这道题考查二次函数的基础概念，解题时需结合二次函数的定义思考：首先二次函数的自变量最高次数为2，因此要保证二次项系数不为0，否则函数最高次数不足2，不属于二次函数；再对应a、b、c分别对应的项，即可确定三者的名称。
【解析】
根据二次函数的标准定义：
1. 二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$，需满足a、b、c为常数，且$a≠0$，若$a=0$，二次项消失，函数就不是二次函数；
2. 式中$ax^2$是二次项，因此a为二次项系数；$bx$是一次项，因此b为一次项系数；c是不含自变量的固定项，因此为常数项。
【答案】
$y=ax^2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)$；二次项系数；一次项系数；常数项
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 二次函数的项与系数
【点评】
本题是基础概念题，主要考察对二次函数核心定义和各项名称的识记，要注意$a≠0$是二次函数成立的必要条件，这类概念是后续学习二次函数图像、性质的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
•练习1 下列函数中，一定是二次函数的是(
A. $y=\frac{2}{x}-x^2$
B. $y=3x^2-(3x^2+2x-1)$
C. $y=-x^2+2x$
D. $y=ax^2+bx+c$
方法点拨 判断一个函数是不是二次函数的方法：
(1)把函数化成最简形式，函数解析式必须是整式；
(2)自变量的最高次数必须是2；
(3)二次项系数不为0.
C
).A. $y=\frac{2}{x}-x^2$
B. $y=3x^2-(3x^2+2x-1)$
C. $y=-x^2+2x$
D. $y=ax^2+bx+c$
方法点拨 判断一个函数是不是二次函数的方法：
(1)把函数化成最简形式，函数解析式必须是整式；
(2)自变量的最高次数必须是2；
(3)二次项系数不为0.
答案
练习1 C
解析
【分析】
要判断一个函数是否为二次函数，需严格按照三个判定条件逐一排查：①函数解析式化简后必须是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时先对每个选项的解析式进行化简，再对应三个条件逐一验证，全部满足的即为正确选项。
【解析】
首先明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。我们逐个分析选项：
选项A：$y=\frac{2}{x}-x^2$中$\frac{2}{x}$是分式，解析式不是整式，不符合二次函数的要求，排除；
选项B：先化简解析式：$y=3x^2-(3x^2+2x-1)=3x^2-3x^2-2x+1=-2x+1$，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合要求，排除；
选项C：$y=-x^2+2x$是整式，自变量最高次数为2，且二次项系数为$-1≠0$，符合二次函数的定义，正确；
选项D：$y=ax^2+bx+c$未说明$a≠0$，若$a=0$则不是二次函数，因此不一定是二次函数，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的定义；2. 整式的化简；3. 整式的概念
【点评】
本题是二次函数判定的基础题，核心是牢记二次函数的三个判定条件，解题时需注意：一是要先将解析式化简到最简形式再判断次数，二是含参数的二次项系数必须保证不为0，否则无法判定为二次函数。
【难度系数】
0.8
要判断一个函数是否为二次函数，需严格按照三个判定条件逐一排查：①函数解析式化简后必须是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时先对每个选项的解析式进行化简，再对应三个条件逐一验证，全部满足的即为正确选项。
【解析】
首先明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。我们逐个分析选项：
选项A：$y=\frac{2}{x}-x^2$中$\frac{2}{x}$是分式，解析式不是整式，不符合二次函数的要求，排除；
选项B：先化简解析式：$y=3x^2-(3x^2+2x-1)=3x^2-3x^2-2x+1=-2x+1$，自变量最高次数为1，是一次函数，不符合要求，排除；
选项C：$y=-x^2+2x$是整式，自变量最高次数为2，且二次项系数为$-1≠0$，符合二次函数的定义，正确；
选项D：$y=ax^2+bx+c$未说明$a≠0$，若$a=0$则不是二次函数，因此不一定是二次函数，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的定义；2. 整式的化简；3. 整式的概念
【点评】
本题是二次函数判定的基础题，核心是牢记二次函数的三个判定条件，解题时需注意：一是要先将解析式化简到最简形式再判断次数，二是含参数的二次项系数必须保证不为0，否则无法判定为二次函数。
【难度系数】
0.8
•练习2 下列问题中，y与x满足的函数关系是二次函数关系的是(
①面积为10 cm²的矩形中，矩形的长y(单位：cm)与宽x(单位：cm)的关系；②底面圆的半径为5 cm的圆柱中，侧面积y(单位：cm²)与圆柱的高x(单位：cm)的关系；③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出(100−2x)件，利润y(单位：元)与每件售价x(单位：元)的关系.
A.①
B.②
C.③
D.①③
C
).①面积为10 cm²的矩形中，矩形的长y(单位：cm)与宽x(单位：cm)的关系；②底面圆的半径为5 cm的圆柱中，侧面积y(单位：cm²)与圆柱的高x(单位：cm)的关系；③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出(100−2x)件，利润y(单位：元)与每件售价x(单位：元)的关系.
A.①
B.②
C.③
D.①③
答案
练习2 C
解析
【分析】
解题前首先明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。我们需要逐个分析三个情境，先根据对应场景的等量关系列出$y$与$x$的函数表达式，再对照二次函数的定义判断是否符合，最终选出正确选项。
【解析】
分别推导三个情境下的函数关系式：
①矩形面积=长×宽，已知面积为$10\mathrm{cm}^2$，因此$xy=10$，整理得$y=\frac{10}{x}$，属于反比例函数，不是二次函数；
②圆柱侧面积=底面周长×高，底面半径为$5\mathrm{cm}$，底面周长为$2π r=10π\mathrm{cm}$，因此$y=10π x$，属于正比例函数（一次函数），不是二次函数；
③销售总利润=单件利润×销售量，单件利润为$(x-80)$元，销售量为$(100-2x)$件，因此$y=(x-80)(100-2x)$，展开整理得$y=-2x^2+260x-8000$，符合二次函数的形式，是二次函数。
综上，只有③是二次函数，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；列函数关系式；销售利润计算
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查不同函数类型的识别，解题的关键是结合各场景的等量关系正确列出函数表达式，再对照对应函数的定义判断即可。
【难度系数】
0.8
解题前首先明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。我们需要逐个分析三个情境，先根据对应场景的等量关系列出$y$与$x$的函数表达式，再对照二次函数的定义判断是否符合，最终选出正确选项。
【解析】
分别推导三个情境下的函数关系式：
①矩形面积=长×宽，已知面积为$10\mathrm{cm}^2$，因此$xy=10$，整理得$y=\frac{10}{x}$，属于反比例函数，不是二次函数；
②圆柱侧面积=底面周长×高，底面半径为$5\mathrm{cm}$，底面周长为$2π r=10π\mathrm{cm}$，因此$y=10π x$，属于正比例函数（一次函数），不是二次函数；
③销售总利润=单件利润×销售量，单件利润为$(x-80)$元，销售量为$(100-2x)$件，因此$y=(x-80)(100-2x)$，展开整理得$y=-2x^2+260x-8000$，符合二次函数的形式，是二次函数。
综上，只有③是二次函数，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；列函数关系式；销售利润计算
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查不同函数类型的识别，解题的关键是结合各场景的等量关系正确列出函数表达式，再对照对应函数的定义判断即可。
【难度系数】
0.8
1. 下列函数一定是二次函数的是(
A.$y=3x$
B.$y=ax^2+bx+c$
C.$y=\dfrac{1}{x^2}$
D.$y=3(x-1)^2$
D
).A.$y=3x$
B.$y=ax^2+bx+c$
C.$y=\dfrac{1}{x^2}$
D.$y=3(x-1)^2$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断一个函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的定义及判断要点：①函数表达式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时依次对四个选项对照这三个要点排查即可得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a\ne 0$）的函数叫做二次函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=3x$中自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
选项B：$y=ax^2+bx+c$未注明$a\ne 0$，若$a=0$，函数最高次数不足2，不是二次函数，因此不一定是二次函数，排除；
选项C：$y=\dfrac{1}{x^2}$的表达式是分式，不是整式，不符合二次函数是整式函数的要求，排除；
选项D：将$y=3(x-1)^2$展开得$y=3x^2-6x+3$，是整式，自变量$x$的最高次数为2，且二次项系数$3\ne 0$，完全符合二次函数的定义，当选。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是熟练掌握二次函数的三个判断条件，尤其要注意不能忽略二次项系数不为0、函数是整式这两个容易被遗漏的前提。
【难度系数】
0.9
要判断一个函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的定义及判断要点：①函数表达式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时依次对四个选项对照这三个要点排查即可得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a\ne 0$）的函数叫做二次函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=3x$中自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
选项B：$y=ax^2+bx+c$未注明$a\ne 0$，若$a=0$，函数最高次数不足2，不是二次函数，因此不一定是二次函数，排除；
选项C：$y=\dfrac{1}{x^2}$的表达式是分式，不是整式，不符合二次函数是整式函数的要求，排除；
选项D：将$y=3(x-1)^2$展开得$y=3x^2-6x+3$，是整式，自变量$x$的最高次数为2，且二次项系数$3\ne 0$，完全符合二次函数的定义，当选。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是熟练掌握二次函数的三个判断条件，尤其要注意不能忽略二次项系数不为0、函数是整式这两个容易被遗漏的前提。
【难度系数】
0.9
2.在半径为4 cm的圆中，挖去一个半径为$x(x＜4)\mathrm{cm}$的圆，剩下部分的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$，则$y$关于$x$的函数解析式为(
A.$y=π x^2 -4$
B.$y=π(2-x)^2$
C.$y=-(x^2 +4)π$
D.$y=-π x^2 +16π$
D
).A.$y=π x^2 -4$
B.$y=π(2-x)^2$
C.$y=-(x^2 +4)π$
D.$y=-π x^2 +16π$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先明确剩余部分的面积构成：剩下的面积等于原来大圆的面积减去挖去的小圆的面积。我们只需要先根据圆的面积公式分别求出大圆和小圆的面积，再代入上述等量关系整理表达式，最后和选项比对即可得到正确答案。
【解析】
圆的面积计算公式为$S=π r^2$（$r$为圆的半径），步骤如下：
1. 计算大圆面积：已知大圆半径为$4\mathrm{cm}$，则$S_{\mathrm{大圆}}=π×4^2=16π\ \mathrm{cm^2}$
2. 计算挖去的小圆面积：已知小圆半径为$x\mathrm{cm}$，则$S_{\mathrm{小圆}}=π x^2\ \mathrm{cm^2}$
3. 列函数关系式：剩余面积$y = S_{\mathrm{大圆}} - S_{\mathrm{小圆}}=16π-π x^2$，整理得$y=-π x^2+16π$（$0＜x＜4$），对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 实际问题列二次函数解析式
2. 圆的面积计算
【点评】
本题为基础题型，主要考查通过面积差建立函数关系的能力，只要掌握圆的面积公式，理清图形面积的数量关系就能快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确剩余部分的面积构成：剩下的面积等于原来大圆的面积减去挖去的小圆的面积。我们只需要先根据圆的面积公式分别求出大圆和小圆的面积，再代入上述等量关系整理表达式，最后和选项比对即可得到正确答案。
【解析】
圆的面积计算公式为$S=π r^2$（$r$为圆的半径），步骤如下：
1. 计算大圆面积：已知大圆半径为$4\mathrm{cm}$，则$S_{\mathrm{大圆}}=π×4^2=16π\ \mathrm{cm^2}$
2. 计算挖去的小圆面积：已知小圆半径为$x\mathrm{cm}$，则$S_{\mathrm{小圆}}=π x^2\ \mathrm{cm^2}$
3. 列函数关系式：剩余面积$y = S_{\mathrm{大圆}} - S_{\mathrm{小圆}}=16π-π x^2$，整理得$y=-π x^2+16π$（$0＜x＜4$），对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 实际问题列二次函数解析式
2. 圆的面积计算
【点评】
本题为基础题型，主要考查通过面积差建立函数关系的能力，只要掌握圆的面积公式，理清图形面积的数量关系就能快速解题。
【难度系数】
0.9
3.如图,正方形ABCD和⊙O的周长之和为20 cm,设圆的半径为x cm,正方形的边长为y cm,阴影部分的面积为S cm².当x在一定范围内变化时,y和S都随x的变化而变化,则y与x,S与x满足的函数关系分别是(
A.一次函数关系,一次函数关系
B.一次函数关系,二次函数关系
C.二次函数关系,二次函数关系
D.二次函数关系,一次函数关系
B
).A.一次函数关系,一次函数关系
B.一次函数关系,二次函数关系
C.二次函数关系,二次函数关系
D.二次函数关系,一次函数关系
答案
3. B
解析
【分析】
解题思路如下：首先，根据正方形和圆的周长之和为20cm的条件，分别写出圆的周长、正方形的周长表达式，列等式整理即可得到y与x的函数关系式，判断其函数类型；其次，阴影部分面积等于正方形面积减去圆的面积，将已得的y关于x的表达式代入面积公式，整理后得到S与x的函数关系式，判断类型后即可选出正确选项。
【解析】
首先根据周长之和列等式：
圆的周长为$2π x$，正方形的周长为$4y$，由题意得：
$2π x + 4y = 20$
整理得：$y = -\frac{π}{2}x + 5$，符合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的形式，故y与x是一次函数关系。
接下来求阴影部分面积S的表达式：
阴影面积=正方形面积-圆的面积，即$S = y^2 - π x^2$
将$y = -\frac{π}{2}x +5$代入上式：
$S = (-\frac{π}{2}x +5)^2 - π x^2$
展开整理得：$S = (\frac{π^2}{4} - π)x^2 -5π x +25$，符合二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的形式，故S与x是二次函数关系。
综上，y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的概念，二次函数的概念，图形周长与面积计算
【点评】
本题是结合几何图形的函数类型判断题，解题关键是熟练掌握常见几何图形的周长、面积公式，以及一次函数、二次函数的定义，难度不大，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先，根据正方形和圆的周长之和为20cm的条件，分别写出圆的周长、正方形的周长表达式，列等式整理即可得到y与x的函数关系式，判断其函数类型；其次，阴影部分面积等于正方形面积减去圆的面积，将已得的y关于x的表达式代入面积公式，整理后得到S与x的函数关系式，判断类型后即可选出正确选项。
【解析】
首先根据周长之和列等式：
圆的周长为$2π x$，正方形的周长为$4y$，由题意得：
$2π x + 4y = 20$
整理得：$y = -\frac{π}{2}x + 5$，符合一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的形式，故y与x是一次函数关系。
接下来求阴影部分面积S的表达式：
阴影面积=正方形面积-圆的面积，即$S = y^2 - π x^2$
将$y = -\frac{π}{2}x +5$代入上式：
$S = (-\frac{π}{2}x +5)^2 - π x^2$
展开整理得：$S = (\frac{π^2}{4} - π)x^2 -5π x +25$，符合二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的形式，故S与x是二次函数关系。
综上，y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的概念，二次函数的概念，图形周长与面积计算
【点评】
本题是结合几何图形的函数类型判断题，解题关键是熟练掌握常见几何图形的周长、面积公式，以及一次函数、二次函数的定义，难度不大，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
