登录
4.将二次函数$y=-2(x-2)^2$化成一般形式，其中二次项系数为________，一次项系数为________，常数项为________。
答案
4. -2 8 -8
解析
【分析】
解题前先明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。因此我们需要先将给定的顶点式二次函数展开，通过整式运算整理成一般形式，再对应提取各部分的系数即可，计算时要注意负号的运算规则，避免符号出错。
【解析】
1. 回忆完全平方公式：$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，先展开函数中的平方项：
$(x-2)^2=x^2-4x+4$
2. 将展开结果代入原式，去括号整理：
$\begin{aligned}y&=-2(x^2-4x+4)\\&=-2× x^2 + (-2)×(-4x) + (-2)×4\\&=-2x^2+8x-8\end{aligned}$
3. 对照二次函数一般形式$y=ax^2+bx+c$，可得二次项系数为$-2$，一次项系数为$8$，常数项为$-8$。
【答案】
$-2$；$8$；$-8$
【知识点】
1. 二次函数的一般形式
2. 完全平方公式
3. 整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次函数顶点式向一般式的转化，解题的关键是熟练掌握整式运算规则，尤其要注意去括号时的符号变化，避免因计算粗心失分。
【难度系数】
0.8
解题前先明确二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。因此我们需要先将给定的顶点式二次函数展开，通过整式运算整理成一般形式，再对应提取各部分的系数即可，计算时要注意负号的运算规则，避免符号出错。
【解析】
1. 回忆完全平方公式：$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，先展开函数中的平方项：
$(x-2)^2=x^2-4x+4$
2. 将展开结果代入原式，去括号整理：
$\begin{aligned}y&=-2(x^2-4x+4)\\&=-2× x^2 + (-2)×(-4x) + (-2)×4\\&=-2x^2+8x-8\end{aligned}$
3. 对照二次函数一般形式$y=ax^2+bx+c$，可得二次项系数为$-2$，一次项系数为$8$，常数项为$-8$。
【答案】
$-2$；$8$；$-8$
【知识点】
1. 二次函数的一般形式
2. 完全平方公式
3. 整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考察二次函数顶点式向一般式的转化，解题的关键是熟练掌握整式运算规则，尤其要注意去括号时的符号变化，避免因计算粗心失分。
【难度系数】
0.8
5.已知$y$与$x^2$成正比例关系，且当$x=3$时，$y=18$，则$y$与$x$之间的函数解析式为
$y=2x^2$
。答案
5. $y=2x^2$
解析
【分析】
解题时先根据正比例关系的定义确定函数的基本形式：若两个量成正比例关系，则可表示为因变量等于比例系数乘以自变量的形式。本题中y与x²成正比例，因此可设解析式为y=kx²（k为常数，k≠0）；再将已知的x=3、y=18代入所设解析式，求出比例系数k；最后将k代回原式即可得到y与x的函数解析式。
【解析】
解：
∵ y与x²成正比例关系
∴ 设y与x的函数解析式为$ y = kx^2 $（k为常数，且$ k ≠ 0 $）
将$ x=3 $，$ y=18 $代入解析式，得：
$ 18 = k × 3^2 $
即$ 9k = 18 $，解得$ k=2 $
将$ k=2 $代入$ y = kx^2 $，得$ y=2x^2 $
【答案】
$ y=2x^2 $
【知识点】
1. 正比例关系
2. 待定系数法
3. 二次函数解析式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对正比例关系的理解以及待定系数法求函数解析式的应用，熟练掌握相关概念和解题步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时先根据正比例关系的定义确定函数的基本形式：若两个量成正比例关系，则可表示为因变量等于比例系数乘以自变量的形式。本题中y与x²成正比例，因此可设解析式为y=kx²（k为常数，k≠0）；再将已知的x=3、y=18代入所设解析式，求出比例系数k；最后将k代回原式即可得到y与x的函数解析式。
【解析】
解：
∵ y与x²成正比例关系
∴ 设y与x的函数解析式为$ y = kx^2 $（k为常数，且$ k ≠ 0 $）
将$ x=3 $，$ y=18 $代入解析式，得：
$ 18 = k × 3^2 $
即$ 9k = 18 $，解得$ k=2 $
将$ k=2 $代入$ y = kx^2 $，得$ y=2x^2 $
【答案】
$ y=2x^2 $
【知识点】
1. 正比例关系
2. 待定系数法
3. 二次函数解析式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对正比例关系的理解以及待定系数法求函数解析式的应用，熟练掌握相关概念和解题步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.9
6.已知两个变量$x,y$之间的关系式为$y=(a-2)x^2+(b+2)x-3$.
(1)当
(2)当
(1)当
$a≠2$
时，$x,y$之间是二次函数关系；(2)当
$a=2且b≠-2$
时，$x,y$之间是一次函数关系.答案
6.(1) $a≠2$ (2) $a=2$ 且 $b≠-2$
解析
【分析】
解决本题需紧扣二次函数、一次函数的定义，根据函数特征对应推导系数满足的条件：
1. 二次函数要求自变量最高次数为2，因此只需保证二次项系数不为0即可；
2. 一次函数要求自变量最高次数为1，因此既要保证二次项系数为0（消去二次项），又要保证一次项系数不为0（避免变为常函数）。
【解析】
(1) 当x,y之间是二次函数关系时，根据二次函数定义，二次项系数不能为0：
$a-2≠0$，解得$a≠2$。
(2) 当x,y之间是一次函数关系时，根据一次函数定义，需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0，列不等式组：
$\begin{cases}a-2=0 \\b+2≠0\end{cases}$
解得$a=2$且$b≠-2$。
【答案】
(1) $a≠2$；(2) $a=2$ 且 $b≠-2$
【知识点】
二次函数的定义、一次函数的定义
【点评】
本题是函数定义的基础考查题，解题的核心是抓住不同次数函数对对应项系数的要求，注意求解一次函数条件时不要遗漏一次项系数不为0的限制。
【难度系数】
0.8
解决本题需紧扣二次函数、一次函数的定义，根据函数特征对应推导系数满足的条件：
1. 二次函数要求自变量最高次数为2，因此只需保证二次项系数不为0即可；
2. 一次函数要求自变量最高次数为1，因此既要保证二次项系数为0（消去二次项），又要保证一次项系数不为0（避免变为常函数）。
【解析】
(1) 当x,y之间是二次函数关系时，根据二次函数定义，二次项系数不能为0：
$a-2≠0$，解得$a≠2$。
(2) 当x,y之间是一次函数关系时，根据一次函数定义，需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0，列不等式组：
$\begin{cases}a-2=0 \\b+2≠0\end{cases}$
解得$a=2$且$b≠-2$。
【答案】
(1) $a≠2$；(2) $a=2$ 且 $b≠-2$
【知识点】
二次函数的定义、一次函数的定义
【点评】
本题是函数定义的基础考查题，解题的核心是抓住不同次数函数对对应项系数的要求，注意求解一次函数条件时不要遗漏一次项系数不为0的限制。
【难度系数】
0.8
7.某农户想要用栅栏围成一个长方形菜地，如图所示，菜地的一边靠墙，另外三边用栅栏围成，若栅栏的总长为10 m，设长方形菜地靠墙的一边长为x m，面积为y m²，则y关于x的函数解析式是(
A.$y=10x$
B.$y=10-2x$
C.$y=\dfrac{10}{x}$
D.$y=-2x^2+10x$
D
)。A.$y=10x$
B.$y=10-2x$
C.$y=\dfrac{10}{x}$
D.$y=-2x^2+10x$
答案
7. D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确长方形各边和栅栏总长的关系，再结合面积公式推导函数解析式。第一步先确定长方形两条边的长度：图中x是垂直于墙的边长，栅栏仅围不靠墙的三边，总长为10m，因此两条垂直于墙的边总长度为2x，剩下的平行于墙的边长就等于栅栏总长减去2x；第二步根据长方形面积=长×宽，将两条边的长度代入公式，整理后就能得到y关于x的函数解析式。
【解析】
由图可知，垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，因为栅栏总长为10m，围的是不靠墙的三边，所以平行于墙的边长为$ (10 - 2x) \, \mathrm{m} $。
根据长方形面积公式$ \mathrm{面积} = \mathrm{长} × \mathrm{宽} $，可得：
$ y = x · (10 - 2x) $
展开整理得：$ y = -2x^2 + 10x $
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数实际应用，列函数解析式，长方形面积计算
【点评】
本题是函数在实际生活中的基础应用题型，解题的核心是理清栅栏所围三边的长度关系，正确表示出长方形的另一边长，再结合面积公式列式即可，解题时要注意结合实际意义判断自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要明确长方形各边和栅栏总长的关系，再结合面积公式推导函数解析式。第一步先确定长方形两条边的长度：图中x是垂直于墙的边长，栅栏仅围不靠墙的三边，总长为10m，因此两条垂直于墙的边总长度为2x，剩下的平行于墙的边长就等于栅栏总长减去2x；第二步根据长方形面积=长×宽，将两条边的长度代入公式，整理后就能得到y关于x的函数解析式。
【解析】
由图可知，垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，因为栅栏总长为10m，围的是不靠墙的三边，所以平行于墙的边长为$ (10 - 2x) \, \mathrm{m} $。
根据长方形面积公式$ \mathrm{面积} = \mathrm{长} × \mathrm{宽} $，可得：
$ y = x · (10 - 2x) $
展开整理得：$ y = -2x^2 + 10x $
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数实际应用，列函数解析式，长方形面积计算
【点评】
本题是函数在实际生活中的基础应用题型，解题的核心是理清栅栏所围三边的长度关系，正确表示出长方形的另一边长，再结合面积公式列式即可，解题时要注意结合实际意义判断自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
8.某商店销售一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为30元/个.经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量$y$(单位:个)与销售单价$x$(单位:元/个)有如下关系:$y=-x+60(30≤ x≤ 60$，且$x$为整数$)$.设这种双肩包每天的销售利润为$w$(单位:元)，则$w$关于$x$的函数解析式为
$w=-x^2+90x-1800$
.答案
8. $w=-x^2+90x-1800$
解析
【分析】
解题时首先明确销售利润的基本等量关系：每日销售利润=单个商品的利润×每日销售量。第一步先计算单个双肩包的利润，即销售单价减去成本价为(x-30)元；第二步结合题目给出的销售量y与销售单价x的关系y=-x+60，将单个利润和销售量代入利润公式，最后展开化简即可得到w关于x的函数解析式，注意需标注题目给定的x的取值范围。
【解析】
根据销售利润的计算公式推导：
单个双肩包的利润为：$x - 30$（元）
已知销售量$y=-x+60$，由总利润$w = 单个利润 × 销售量$，代入对应量得：
$\begin{aligned}w&=(x-30)(-x+60)\\&=-x^2 + 60x + 30x - 1800\\&=-x^2 +90x -1800\end{aligned}$
结合题目给定的自变量取值范围，最终得到函数解析式。
【答案】
$w=-x^2+90x-1800$（$30≤ x≤ 60$，且$x$为整数）
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，核心考查销售类问题的数量关系，只要掌握“总利润=单个利润×销售量”的基本公式，代入化简即可求解，属于二次函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确销售利润的基本等量关系：每日销售利润=单个商品的利润×每日销售量。第一步先计算单个双肩包的利润，即销售单价减去成本价为(x-30)元；第二步结合题目给出的销售量y与销售单价x的关系y=-x+60，将单个利润和销售量代入利润公式，最后展开化简即可得到w关于x的函数解析式，注意需标注题目给定的x的取值范围。
【解析】
根据销售利润的计算公式推导：
单个双肩包的利润为：$x - 30$（元）
已知销售量$y=-x+60$，由总利润$w = 单个利润 × 销售量$，代入对应量得：
$\begin{aligned}w&=(x-30)(-x+60)\\&=-x^2 + 60x + 30x - 1800\\&=-x^2 +90x -1800\end{aligned}$
结合题目给定的自变量取值范围，最终得到函数解析式。
【答案】
$w=-x^2+90x-1800$（$30≤ x≤ 60$，且$x$为整数）
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，核心考查销售类问题的数量关系，只要掌握“总利润=单个利润×销售量”的基本公式，代入化简即可求解，属于二次函数章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
9.若函数$y=mx^{|m-2|}-(m+1)x+2$是二次函数，则$m$的值是
4
。答案
9. 4
解析
【分析】
要确定m的取值，需紧扣二次函数的定义分析：二次函数需满足两个核心条件，一是含自变量的最高次项的次数为2，二是最高次项的系数不为0。我们先根据次数要求列绝对值方程求出m的可能取值，再结合系数不为0的限制排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，可列约束条件：
1. 最高次项次数为2：$|m-2|=2$
2. 二次项系数不为0：$m≠0$
先解绝对值方程$|m-2|=2$：
当$m-2≥0$时，$m-2=2$，解得$m=4$；
当$m-2＜0$时，$m-2=-2$，解得$m=0$。
再验证系数要求：当$m=0$时，二次项系数为0，函数退化为一次函数$y=-x+2$，不符合二次函数要求，舍去；当$m=4$时，二次项系数为$4≠0$，此时函数为$y=4x^2-5x+2$，符合二次函数定义。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的定义，绝对值方程的解法
【点评】
本题是二次函数概念的基础应用题型，解题的易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，仅通过求解绝对值方程得到错误结果，做题时需注意定义的完整要求，求出结果后要验证是否符合所有限制条件。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值，需紧扣二次函数的定义分析：二次函数需满足两个核心条件，一是含自变量的最高次项的次数为2，二是最高次项的系数不为0。我们先根据次数要求列绝对值方程求出m的可能取值，再结合系数不为0的限制排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据二次函数的定义，可列约束条件：
1. 最高次项次数为2：$|m-2|=2$
2. 二次项系数不为0：$m≠0$
先解绝对值方程$|m-2|=2$：
当$m-2≥0$时，$m-2=2$，解得$m=4$；
当$m-2＜0$时，$m-2=-2$，解得$m=0$。
再验证系数要求：当$m=0$时，二次项系数为0，函数退化为一次函数$y=-x+2$，不符合二次函数要求，舍去；当$m=4$时，二次项系数为$4≠0$，此时函数为$y=4x^2-5x+2$，符合二次函数定义。
【答案】
4
【知识点】
二次函数的定义，绝对值方程的解法
【点评】
本题是二次函数概念的基础应用题型，解题的易错点是容易忽略二次项系数不为0的限制条件，仅通过求解绝对值方程得到错误结果，做题时需注意定义的完整要求，求出结果后要验证是否符合所有限制条件。
【难度系数】
0.7
10.已知函数 $y=(m+1)x^{m^2 -2m -1} -4x+1$（$m$为常数）.当 $m$ 为何值时，$y$ 是 $x$ 的二次函数？
答案
10. 3
解析
【分析】
要判断给定函数是二次函数，需紧扣二次函数的定义核心：首先自变量x的最高次数为2，其次二次项的系数不能为0。解题时先根据最高次数为2列方程求出m的所有可能解，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合要求的解，即可得到正确的m值。
【解析】
解：根据二次函数的定义，需同时满足两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2，即：
$m^2 - 2m - 1 = 2$
移项整理得：$m^2 - 2m - 3 = 0$
因式分解得：$(m-3)(m+1)=0$
解得：$m_1=3$，$m_2=-1$
2. 二次项系数不为0，即：
$m+1≠0$
解得$m≠-1$
综合两个条件，舍去$m=-1$，因此$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题时要注意不能遗漏二次项系数不为0的隐含条件，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
要判断给定函数是二次函数，需紧扣二次函数的定义核心：首先自变量x的最高次数为2，其次二次项的系数不能为0。解题时先根据最高次数为2列方程求出m的所有可能解，再结合二次项系数不为0的限制排除不符合要求的解，即可得到正确的m值。
【解析】
解：根据二次函数的定义，需同时满足两个条件：
1. 自变量x的最高次数为2，即：
$m^2 - 2m - 1 = 2$
移项整理得：$m^2 - 2m - 3 = 0$
因式分解得：$(m-3)(m+1)=0$
解得：$m_1=3$，$m_2=-1$
2. 二次项系数不为0，即：
$m+1≠0$
解得$m≠-1$
综合两个条件，舍去$m=-1$，因此$m=3$。
【答案】
3
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程求解
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题时要注意不能遗漏二次项系数不为0的隐含条件，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.7
11.如图,用同样规格的灰、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面,请观察图形并解答下列问题.
（1）在第n个图形中,每一横行共有
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y关于n的函数解析式;
（3）按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了106块灰色瓷砖,白色瓷砖共用了多少块?
（1）在第n个图形中,每一横行共有
$(n+3)$
块瓷砖,每一竖列共有$(n+2)$
块瓷砖;(均用含n的代数式表示)（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y关于n的函数解析式;
（3）按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了106块灰色瓷砖,白色瓷砖共用了多少块?
答案
11.(1) $(n+3)$ $(n+2)$
(2) $y=n^2+5n+6$
(3) 650 块
(2) $y=n^2+5n+6$
(3) 650 块
解析
【分析】
解题时先观察已知的3个图形，找横行、竖列瓷砖数和n的对应关系：
1. 第一问：对比n=1、2、3时横行、竖列的瓷砖数量，归纳出通用的含n的表达式；
2. 第二问：矩形总瓷砖数等于横行数量乘竖列数量，展开乘积即可得到y关于n的函数解析式；
3. 第三问：先推导白色瓷砖、灰色瓷砖数量和n的关系，将灰色瓷砖数量106代入对应表达式求出n的值，再代入白色瓷砖的表达式计算即可得到结果。
【解析】
（1）观察图形：
当n=1时，横行有$4=1+3$块瓷砖，竖列有$3=1+2$块瓷砖；
当n=2时，横行有$5=2+3$块瓷砖，竖列有$4=2+2$块瓷砖；
当n=3时，横行有$6=3+3$块瓷砖，竖列有$5=3+2$块瓷砖；
由此可得，第n个图形中，每一横行共有$(n+3)$块瓷砖，每一竖列共有$(n+2)$块瓷砖。
（2）总瓷砖数为横行数量乘竖列数量，因此：
$y=(n+3)(n+2)=n^2+5n+6$（n为正整数）。
（3）观察白色瓷砖的数量：
n=1时，白色瓷砖有$1×2=2$块；
n=2时，白色瓷砖有$2×3=6$块；
n=3时，白色瓷砖有$3×4=12$块；
可得第n个图形中白色瓷砖数为$n(n+1)$块。
则灰色瓷砖数为总块数减白色块数：
$n^2+5n+6 - n(n+1)=4n+6$。
已知灰色瓷砖共106块，列方程：
$4n+6=106$
解得$n=25$。
将n=25代入白色瓷砖的表达式，得白色瓷砖数量为：
$25×(25+1)=25×26=650$（块）。
【答案】
(1) $n+3$；$n+2$
(2) $y=n^2+5n+6$
(3) 650块
【知识点】
图形规律探究，二次函数的应用，一元一次方程求解
【点评】
本题结合图形规律考查代数式、函数与方程的综合应用，解题核心是准确观察归纳出各量随n变化的规律，再结合已知条件运算求解，侧重考查学生的观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.65
解题时先观察已知的3个图形，找横行、竖列瓷砖数和n的对应关系：
1. 第一问：对比n=1、2、3时横行、竖列的瓷砖数量，归纳出通用的含n的表达式；
2. 第二问：矩形总瓷砖数等于横行数量乘竖列数量，展开乘积即可得到y关于n的函数解析式；
3. 第三问：先推导白色瓷砖、灰色瓷砖数量和n的关系，将灰色瓷砖数量106代入对应表达式求出n的值，再代入白色瓷砖的表达式计算即可得到结果。
【解析】
（1）观察图形：
当n=1时，横行有$4=1+3$块瓷砖，竖列有$3=1+2$块瓷砖；
当n=2时，横行有$5=2+3$块瓷砖，竖列有$4=2+2$块瓷砖；
当n=3时，横行有$6=3+3$块瓷砖，竖列有$5=3+2$块瓷砖；
由此可得，第n个图形中，每一横行共有$(n+3)$块瓷砖，每一竖列共有$(n+2)$块瓷砖。
（2）总瓷砖数为横行数量乘竖列数量，因此：
$y=(n+3)(n+2)=n^2+5n+6$（n为正整数）。
（3）观察白色瓷砖的数量：
n=1时，白色瓷砖有$1×2=2$块；
n=2时，白色瓷砖有$2×3=6$块；
n=3时，白色瓷砖有$3×4=12$块；
可得第n个图形中白色瓷砖数为$n(n+1)$块。
则灰色瓷砖数为总块数减白色块数：
$n^2+5n+6 - n(n+1)=4n+6$。
已知灰色瓷砖共106块，列方程：
$4n+6=106$
解得$n=25$。
将n=25代入白色瓷砖的表达式，得白色瓷砖数量为：
$25×(25+1)=25×26=650$（块）。
【答案】
(1) $n+3$；$n+2$
(2) $y=n^2+5n+6$
(3) 650块
【知识点】
图形规律探究，二次函数的应用，一元一次方程求解
【点评】
本题结合图形规律考查代数式、函数与方程的综合应用，解题核心是准确观察归纳出各量随n变化的规律，再结合已知条件运算求解，侧重考查学生的观察归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.65
