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1. 二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象是一条 .
2. (1)一般地，抛物线 $ y = ax^2 $ 的对称轴是，顶点是.当 $ a＞0 $ 时，抛物线的开口，顶点是抛物线的最点；当 $ a＜0 $ 时，抛物线的开口，顶点是抛物线的最点.$|a|$越大，抛物线的开口越.
(2)从二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象可以看出：如果 $ a＞0 $，那么当 $ x＜0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而，当 $ x＞0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而；如果 $ a＜0 $，那么当 $ x＜0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而，当 $ x＞0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而.
2. (1)一般地，抛物线 $ y = ax^2 $ 的对称轴是，顶点是.当 $ a＞0 $ 时，抛物线的开口，顶点是抛物线的最点；当 $ a＜0 $ 时，抛物线的开口，顶点是抛物线的最点.$|a|$越大，抛物线的开口越.
(2)从二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象可以看出：如果 $ a＞0 $，那么当 $ x＜0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而，当 $ x＞0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而；如果 $ a＜0 $，那么当 $ x＜0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而，当 $ x＞0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而.
答案
1. 抛物线
2. (1) y轴 原点 向上 低 向下 高 小
(2) 减小 增大 增大 减小
2. (1) y轴 原点 向上 低 向下 高 小
(2) 减小 增大 增大 减小
解析
【分析】
这组题目考查二次函数$y=ax^2$的图象与基础性质，全部为教材核心基础概念，解题时只需回忆$y=ax^2$的图象形状、对称轴、顶点、开口方向、增减性以及$a$对图象的影响这些知识点，逐一对应填空即可。
【解析】
1. 所有二次函数的图象都是抛物线，$y=ax^2$是最简单的二次函数，图象为抛物线。
2. (1) 抛物线$y=ax^2$的表达式中不含一次项和常数项，图象关于y轴对称，因此对称轴是y轴；当$x=0$时$y=0$，所以顶点是原点。$a$的符号决定开口方向：$a＞0$时，抛物线开口向上，图象从顶点向上延伸，因此顶点是抛物线的最低点；$a＜0$时，抛物线开口向下，图象从顶点向下延伸，因此顶点是抛物线的最高点。$|a|$的大小决定开口宽窄，$|a|$越大，抛物线的开口越小。
(2) 结合抛物线的增减性分析：当$a＞0$开口向上时，在对称轴左侧（$x＜0$），$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧（$x＞0$），$y$随$x$的增大而增大；当$a＜0$开口向下时，在对称轴左侧（$x＜0$），$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧（$x＞0$），$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
1. 抛物线
2. (1) y轴 原点 向上 低 向下 高 小
(2) 减小 增大 增大 减小
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象；二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础概念考查题，所涉及的内容是二次函数最核心的基础性质，熟练掌握这些内容是学习后续复杂二次函数的前提，需要准确记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.9
这组题目考查二次函数$y=ax^2$的图象与基础性质，全部为教材核心基础概念，解题时只需回忆$y=ax^2$的图象形状、对称轴、顶点、开口方向、增减性以及$a$对图象的影响这些知识点，逐一对应填空即可。
【解析】
1. 所有二次函数的图象都是抛物线，$y=ax^2$是最简单的二次函数，图象为抛物线。
2. (1) 抛物线$y=ax^2$的表达式中不含一次项和常数项，图象关于y轴对称，因此对称轴是y轴；当$x=0$时$y=0$，所以顶点是原点。$a$的符号决定开口方向：$a＞0$时，抛物线开口向上，图象从顶点向上延伸，因此顶点是抛物线的最低点；$a＜0$时，抛物线开口向下，图象从顶点向下延伸，因此顶点是抛物线的最高点。$|a|$的大小决定开口宽窄，$|a|$越大，抛物线的开口越小。
(2) 结合抛物线的增减性分析：当$a＞0$开口向上时，在对称轴左侧（$x＜0$），$y$随$x$的增大而减小，在对称轴右侧（$x＞0$），$y$随$x$的增大而增大；当$a＜0$开口向下时，在对称轴左侧（$x＜0$），$y$随$x$的增大而增大，在对称轴右侧（$x＞0$），$y$随$x$的增大而减小。
【答案】
1. 抛物线
2. (1) y轴 原点 向上 低 向下 高 小
(2) 减小 增大 增大 减小
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象；二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的增减性
【点评】
本题属于基础概念考查题，所涉及的内容是二次函数最核心的基础性质，熟练掌握这些内容是学习后续复杂二次函数的前提，需要准确记忆、灵活运用。
【难度系数】
0.9
•练习1 关于函数$y=3x^2$的性质表述正确的是(
A.无论x为任何实数，y的值总是正数
B.当x值增大时，y的值也增大
C.它的图象关于$x=0$对称
D.它的图象在第一、第三象限
C
).A.无论x为任何实数，y的值总是正数
B.当x值增大时，y的值也增大
C.它的图象关于$x=0$对称
D.它的图象在第一、第三象限
答案
练习1 C
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题时先明确函数$y=3x^2$中$a=3＞0$，回忆该类二次函数的开口方向、对称轴、增减性、函数值取值范围、图象分布等核心性质，再逐一验证每个选项的正确性，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：当$x=0$时，$y=3×0^2=0$，0不属于正数，因此A表述错误；
B选项：二次函数$y=3x^2$开口向上，对称轴为$x=0$（y轴），仅在$x＞0$时，x增大y的值增大，在$x＜0$时，x增大y的值减小，选项未限定x的取值范围，因此B表述错误；
C选项：二次函数$y=3x^2$的对称轴为直线$x=0$，因此它的图象关于$x=0$对称，C表述正确；
D选项：因为$x^2≥0$，$3＞0$，所以$y=3x^2≥0$，函数图象仅分布在第一、二象限及原点，不会出现在第三象限，因此D表述错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的对称性；二次函数图象特征
【点评】
本题属于基础性质考查题，命题围绕二次函数$y=ax^2$的核心知识点设置，解题时需注意特殊值（如$x=0$）对选项的影响，同时增减性的判断要结合对称轴的左右区间，不能笼统表述，牢记基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.75
本题考查二次函数$y=ax^2$的基本性质，解题时先明确函数$y=3x^2$中$a=3＞0$，回忆该类二次函数的开口方向、对称轴、增减性、函数值取值范围、图象分布等核心性质，再逐一验证每个选项的正确性，排除错误选项即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：当$x=0$时，$y=3×0^2=0$，0不属于正数，因此A表述错误；
B选项：二次函数$y=3x^2$开口向上，对称轴为$x=0$（y轴），仅在$x＞0$时，x增大y的值增大，在$x＜0$时，x增大y的值减小，选项未限定x的取值范围，因此B表述错误；
C选项：二次函数$y=3x^2$的对称轴为直线$x=0$，因此它的图象关于$x=0$对称，C表述正确；
D选项：因为$x^2≥0$，$3＞0$，所以$y=3x^2≥0$，函数图象仅分布在第一、二象限及原点，不会出现在第三象限，因此D表述错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数的对称性；二次函数图象特征
【点评】
本题属于基础性质考查题，命题围绕二次函数$y=ax^2$的核心知识点设置，解题时需注意特殊值（如$x=0$）对选项的影响，同时增减性的判断要结合对称轴的左右区间，不能笼统表述，牢记基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.75
·练习2 已知抛物线 $y=ax^2$ 经过点(2,－8). 
(1)求a的值；
(2)当 $x=-\sqrt{2}$ 时，求y的值；
(3)画出此抛物线，并写出三条性质。
(1)求a的值；
(2)当 $x=-\sqrt{2}$ 时，求y的值；
(3)画出此抛物线，并写出三条性质。
答案
(1) -2
(2) -4
(3) 图略.
抛物线的性质:①图象开口向下;②对称轴为y轴;③顶点坐标为(0,0).(答案不唯一)
(2) -4
(3) 图略.
抛物线的性质:①图象开口向下;②对称轴为y轴;③顶点坐标为(0,0).(答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 若点在抛物线上，则点的坐标满足抛物线的解析式，因此将点(2,-8)代入$y=ax^2$，即可得到关于a的一元一次方程，解方程就能求出a的值。
(2) 求出a后可确定完整的抛物线解析式，将$x=-\sqrt{2}$代入解析式，计算即可得到对应的y值。
(3) 画抛物线使用描点法即可：先列表取合适的x值、计算对应y值，再描点，最后用平滑曲线连接；分析性质可从开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等角度入手，结合a的取值判断即可。
【解析】
(1) 将点$(2,-8)$代入$y=ax^2$，得：
$-8=a×2^2$
化简得$4a=-8$，解得$a=-2$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=-2x^2$，将$x=-\sqrt{2}$代入解析式：
$y=-2×(-\sqrt{2})^2=-2×2=-4$
(3) 画图步骤：①列表：取x为-2、-1、0、1、2，对应y值为-8、-2、0、-2、-8；②在坐标系中描出对应点；③用平滑曲线顺次连接各点，即得抛物线图象（图略）。
可从多个角度总结抛物线性质，任选三条即可。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$
(2) $\boldsymbol{-4}$
(3) 图略；抛物线的性质:①图象开口向下;②对称轴为y轴;③顶点坐标为(0,0)（答案不唯一）
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数$y=ax^2$的性质；描点法画函数图象
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查二次函数$y=ax^2$的基础知识点，代入求值、描点画图都是函数模块的基础技能，熟练掌握二次函数基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
(1) 若点在抛物线上，则点的坐标满足抛物线的解析式，因此将点(2,-8)代入$y=ax^2$，即可得到关于a的一元一次方程，解方程就能求出a的值。
(2) 求出a后可确定完整的抛物线解析式，将$x=-\sqrt{2}$代入解析式，计算即可得到对应的y值。
(3) 画抛物线使用描点法即可：先列表取合适的x值、计算对应y值，再描点，最后用平滑曲线连接；分析性质可从开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性等角度入手，结合a的取值判断即可。
【解析】
(1) 将点$(2,-8)$代入$y=ax^2$，得：
$-8=a×2^2$
化简得$4a=-8$，解得$a=-2$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=-2x^2$，将$x=-\sqrt{2}$代入解析式：
$y=-2×(-\sqrt{2})^2=-2×2=-4$
(3) 画图步骤：①列表：取x为-2、-1、0、1、2，对应y值为-8、-2、0、-2、-8；②在坐标系中描出对应点；③用平滑曲线顺次连接各点，即得抛物线图象（图略）。
可从多个角度总结抛物线性质，任选三条即可。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-2}$
(2) $\boldsymbol{-4}$
(3) 图略；抛物线的性质:①图象开口向下;②对称轴为y轴;③顶点坐标为(0,0)（答案不唯一）
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数$y=ax^2$的性质；描点法画函数图象
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查二次函数$y=ax^2$的基础知识点，代入求值、描点画图都是函数模块的基础技能，熟练掌握二次函数基本性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
1. 下列抛物线中，开口最小的是（
A.$y=-x^2$
B.$y=-2x^2$
C.$y=3x^2$
D.$y=5x^2$
D
）.A.$y=-x^2$
B.$y=-2x^2$
C.$y=3x^2$
D.$y=5x^2$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断抛物线开口大小，首先回忆二次函数$y=ax^2$的相关性质：抛物线的开口大小仅由二次项系数$a$的绝对值决定，与$a$的正负无关，$\vert a\vert$越大，抛物线开口越小。因此解题步骤为：先提取每个选项中二次项系数$a$的值，计算其绝对值，再比较绝对值的大小，绝对值最大的选项对应的抛物线开口最小。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$：
1. 性质说明：$a$的符号决定抛物线开口方向，$\vert a\vert$的大小决定抛物线开口宽窄（即开口大小），$\vert a\vert$越大，开口越小。
2. 分别计算各选项中$a$的绝对值：
选项A：$a=-1$，$\vert a\vert=1$
选项B：$a=-2$，$\vert a\vert=2$
选项C：$a=3$，$\vert a\vert=3$
选项D：$a=5$，$\vert a\vert=5$
3. 比较绝对值大小：$5＞3＞2＞1$，因此选项D的$\vert a\vert$最大，对应抛物线开口最小。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次项系数$a$对抛物线开口的影响，易错点是混淆$a$的符号和绝对值的作用，只要明确开口大小仅与$\vert a\vert$正相关，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
要判断抛物线开口大小，首先回忆二次函数$y=ax^2$的相关性质：抛物线的开口大小仅由二次项系数$a$的绝对值决定，与$a$的正负无关，$\vert a\vert$越大，抛物线开口越小。因此解题步骤为：先提取每个选项中二次项系数$a$的值，计算其绝对值，再比较绝对值的大小，绝对值最大的选项对应的抛物线开口最小。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$：
1. 性质说明：$a$的符号决定抛物线开口方向，$\vert a\vert$的大小决定抛物线开口宽窄（即开口大小），$\vert a\vert$越大，开口越小。
2. 分别计算各选项中$a$的绝对值：
选项A：$a=-1$，$\vert a\vert=1$
选项B：$a=-2$，$\vert a\vert=2$
选项C：$a=3$，$\vert a\vert=3$
选项D：$a=5$，$\vert a\vert=5$
3. 比较绝对值大小：$5＞3＞2＞1$，因此选项D的$\vert a\vert$最大，对应抛物线开口最小。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次项系数$a$对抛物线开口的影响，易错点是混淆$a$的符号和绝对值的作用，只要明确开口大小仅与$\vert a\vert$正相关，即可快速得出答案。
【难度系数】
0.8
2. 关于 $y=\frac{1}{2}x^2$，$y=x^2$，$y=2x^2$ 的图象，下列说法不正确的是(
A.顶点相同
B.对称轴相同
C.开口方向相同
D.形状相同
D
).A.顶点相同
B.对称轴相同
C.开口方向相同
D.形状相同
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，解题时可先回忆$y=ax^2$的顶点、对称轴、开口方向、形状分别和哪些因素有关，再结合三个函数的$a$值逐一验证四个选项的说法是否正确，最终选出不正确的选项即可。其中顶点、对称轴是$y=ax^2$类函数的固定特征，开口方向由$a$的符号决定，形状由$|a|$的大小决定。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2(a≠0)$，其基本性质如下：
1. 顶点坐标均为$(0,0)$，对称轴均为直线$x=0$（即$y$轴）；
2. 开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
3. 图象形状：由$|a|$的大小决定，$|a|$相等的二次函数图象形状相同，$|a|$越大开口越窄。
题目中三个函数$y=\frac{1}{2}x^2$、$y=x^2$、$y=2x^2$的$a$值分别为$\frac{1}{2}$、$1$、$2$，均为正数：
A选项：三个函数顶点都是$(0,0)$，顶点相同，说法正确；
B选项：三个函数对称轴都是直线$x=0$，对称轴相同，说法正确；
C选项：三个函数的$a$都大于0，开口都向上，开口方向相同，说法正确；
D选项：三个函数的$|a|$互不相等，因此图象形状不同，说法错误。
题目要求选择不正确的说法，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数图象特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二次函数$y=ax^2$基本性质的掌握程度，解题时需明确参数$a$对二次函数图象的影响，同时注意审题，看清题目要求选择“不正确”的选项，避免因粗心丢分。
【难度系数】
0.85
本题考查二次函数$y=ax^2$的图象与性质，解题时可先回忆$y=ax^2$的顶点、对称轴、开口方向、形状分别和哪些因素有关，再结合三个函数的$a$值逐一验证四个选项的说法是否正确，最终选出不正确的选项即可。其中顶点、对称轴是$y=ax^2$类函数的固定特征，开口方向由$a$的符号决定，形状由$|a|$的大小决定。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2(a≠0)$，其基本性质如下：
1. 顶点坐标均为$(0,0)$，对称轴均为直线$x=0$（即$y$轴）；
2. 开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；
3. 图象形状：由$|a|$的大小决定，$|a|$相等的二次函数图象形状相同，$|a|$越大开口越窄。
题目中三个函数$y=\frac{1}{2}x^2$、$y=x^2$、$y=2x^2$的$a$值分别为$\frac{1}{2}$、$1$、$2$，均为正数：
A选项：三个函数顶点都是$(0,0)$，顶点相同，说法正确；
B选项：三个函数对称轴都是直线$x=0$，对称轴相同，说法正确；
C选项：三个函数的$a$都大于0，开口都向上，开口方向相同，说法正确；
D选项：三个函数的$|a|$互不相等，因此图象形状不同，说法错误。
题目要求选择不正确的说法，故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质；二次函数图象特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查对二次函数$y=ax^2$基本性质的掌握程度，解题时需明确参数$a$对二次函数图象的影响，同时注意审题，看清题目要求选择“不正确”的选项，避免因粗心丢分。
【难度系数】
0.85
3.在同一平面直角坐标系中,函数$y=kx^2$和$y=kx+2(k≠0)$的图象大致为(
D
).答案
3. D
解析
【分析】
要判断两个函数的图象是否匹配，需结合两个函数的性质分两步分析：第一步先根据一次函数的常数项确定它与y轴的交点位置，排除不符合的选项；第二步根据两个函数解析式中系数k的一致性，判断二次函数开口方向和一次函数斜率是否匹配，最终选出正确选项。
首先，一次函数$y=kx+2(k≠0)$的常数项为2，当$x=0$时$y=2$，因此该直线一定与y轴交于正半轴的$(0,2)$点，可先排除直线与y轴交于负半轴的选项。
其次，两个函数的k是同一个不为0的常数：若$k＞0$，二次函数$y=kx^2$开口向上，一次函数$y=kx+2$的斜率为正，图象从左下向右上倾斜；若$k＜0$，二次函数$y=kx^2$开口向下，一次函数$y=kx+2$的斜率为负，图象从左上向右下倾斜，据此判断剩余选项中k的正负是否一致即可。
【解析】
1. 分析一次函数的y轴交点：
对于一次函数$y=kx+2(k≠0)$，令$x=0$，得$y=2$，因此该直线与y轴交于点$(0,2)$，在y轴正半轴。
观察选项：A、B中直线与y轴交于负半轴，不符合要求，排除A、B。
2. 分析系数k的一致性：
剩余选项C、D中，二次函数$y=kx^2$开口均向上，说明$k＞0$。
一次函数$y=kx+2$当$k＞0$时，斜率为正，图象应从左下向右上倾斜：
选项C中一次函数斜率为负（图象从左上向右下倾斜），说明$k＜0$，与二次函数的$k＞0$矛盾，排除C；
选项D中一次函数斜率为正，且与y轴交于正半轴，符合性质要求。
综上，正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数$y=ax^2$的图象与性质
【点评】
本题考查一次函数和二次函数图象的识别，解题关键是抓住两个函数中同号的系数k，以及一次函数的固定截距，逐步排除错误选项即可，属于函数图象判断的基础题型。
【难度系数】
0.7
要判断两个函数的图象是否匹配，需结合两个函数的性质分两步分析：第一步先根据一次函数的常数项确定它与y轴的交点位置，排除不符合的选项；第二步根据两个函数解析式中系数k的一致性，判断二次函数开口方向和一次函数斜率是否匹配，最终选出正确选项。
首先，一次函数$y=kx+2(k≠0)$的常数项为2，当$x=0$时$y=2$，因此该直线一定与y轴交于正半轴的$(0,2)$点，可先排除直线与y轴交于负半轴的选项。
其次，两个函数的k是同一个不为0的常数：若$k＞0$，二次函数$y=kx^2$开口向上，一次函数$y=kx+2$的斜率为正，图象从左下向右上倾斜；若$k＜0$，二次函数$y=kx^2$开口向下，一次函数$y=kx+2$的斜率为负，图象从左上向右下倾斜，据此判断剩余选项中k的正负是否一致即可。
【解析】
1. 分析一次函数的y轴交点：
对于一次函数$y=kx+2(k≠0)$，令$x=0$，得$y=2$，因此该直线与y轴交于点$(0,2)$，在y轴正半轴。
观察选项：A、B中直线与y轴交于负半轴，不符合要求，排除A、B。
2. 分析系数k的一致性：
剩余选项C、D中，二次函数$y=kx^2$开口均向上，说明$k＞0$。
一次函数$y=kx+2$当$k＞0$时，斜率为正，图象应从左下向右上倾斜：
选项C中一次函数斜率为负（图象从左上向右下倾斜），说明$k＜0$，与二次函数的$k＞0$矛盾，排除C；
选项D中一次函数斜率为正，且与y轴交于正半轴，符合性质要求。
综上，正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数$y=ax^2$的图象与性质
【点评】
本题考查一次函数和二次函数图象的识别，解题关键是抓住两个函数中同号的系数k，以及一次函数的固定截距，逐步排除错误选项即可，属于函数图象判断的基础题型。
【难度系数】
0.7
