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4.若点$(0,y_1),(1,y_2),(2,y_3)$都在二次函数$y=x^2$的图象上，则(
A.$y_3＞y_2＞y_1$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_1＞y_3＞y_2$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
A
).A.$y_3＞y_2＞y_1$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_1＞y_3＞y_2$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
答案
4. A
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路一：代入求值法，函数图象上的点的坐标满足函数表达式，将三个点的横坐标分别代入$y=x^2$，算出对应的$y_1、y_2、y_3$的值，再比较大小即可；思路二：利用二次函数的增减性判断，先明确$y=x^2$的开口方向与对称轴，再根据三个点横坐标的位置结合增减性比较函数值大小。
【解析】
方法1（代入法）：
将点的横坐标分别代入二次函数$y=x^2$：
当$x=0$时，$y_1=0^2=0$；
当$x=1$时，$y_2=1^2=1$；
当$x=2$时，$y_3=2^2=4$；
因为$4＞1＞0$，所以$y_3＞y_2＞y_1$。
方法2（性质法）：
二次函数$y=x^2$中$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），在$x≥0$的区间内，$y$随$x$的增大而增大。
已知三个点的横坐标满足$0＜1＜2$，因此对应的函数值满足$y_3＞y_2＞y_1$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题型，两种解题方法都比较直观，既可以通过直接计算得到结果，也可以利用函数增减性快速判断，核心是对二次函数$y=ax^2$基本性质的掌握。
【难度系数】
0.9
本题可通过两种思路求解：思路一：代入求值法，函数图象上的点的坐标满足函数表达式，将三个点的横坐标分别代入$y=x^2$，算出对应的$y_1、y_2、y_3$的值，再比较大小即可；思路二：利用二次函数的增减性判断，先明确$y=x^2$的开口方向与对称轴，再根据三个点横坐标的位置结合增减性比较函数值大小。
【解析】
方法1（代入法）：
将点的横坐标分别代入二次函数$y=x^2$：
当$x=0$时，$y_1=0^2=0$；
当$x=1$时，$y_2=1^2=1$；
当$x=2$时，$y_3=2^2=4$；
因为$4＞1＞0$，所以$y_3＞y_2＞y_1$。
方法2（性质法）：
二次函数$y=x^2$中$a=1＞0$，因此抛物线开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$），在$x≥0$的区间内，$y$随$x$的增大而增大。
已知三个点的横坐标满足$0＜1＜2$，因此对应的函数值满足$y_3＞y_2＞y_1$。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数基础题型，两种解题方法都比较直观，既可以通过直接计算得到结果，也可以利用函数增减性快速判断，核心是对二次函数$y=ax^2$基本性质的掌握。
【难度系数】
0.9
5.若抛物线$y=ax^2$经过点$(2,-3)$，则$a$的值为
$-\frac{3}{4}$
。答案
5. $-\frac{3}{4}$
解析
【分析】
解题思路：若一个点在函数的图象上，则该点的横、纵坐标满足函数的解析式。本题已知抛物线$y=ax^2$经过点$(2,-3)$，因此只需将点的坐标代入函数解析式，即可得到关于参数$a$的一元一次方程，解方程就能求出$a$的值。
【解析】
解：$\because$ 抛物线$y=ax^2$经过点$(2,-3)$
$\therefore$ 将$x=2$，$y=-3$代入解析式得：
$-3 = a × 2^2$
即 $4a = -3$
解得 $a = -\frac{3}{4}$
【答案】
$-\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数图象上的点的坐标与函数解析式的对应关系，解题的关键是准确代入点的坐标求解参数，是二次函数部分的入门必掌握题型。
【难度系数】
0.9
解题思路：若一个点在函数的图象上，则该点的横、纵坐标满足函数的解析式。本题已知抛物线$y=ax^2$经过点$(2,-3)$，因此只需将点的坐标代入函数解析式，即可得到关于参数$a$的一元一次方程，解方程就能求出$a$的值。
【解析】
解：$\because$ 抛物线$y=ax^2$经过点$(2,-3)$
$\therefore$ 将$x=2$，$y=-3$代入解析式得：
$-3 = a × 2^2$
即 $4a = -3$
解得 $a = -\frac{3}{4}$
【答案】
$-\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查函数图象上的点的坐标与函数解析式的对应关系，解题的关键是准确代入点的坐标求解参数，是二次函数部分的入门必掌握题型。
【难度系数】
0.9
6. 如图，正方形ABCD的边长为4，以正方形的中心O为原点建立平面直角坐标系，作出函数$y=2x^2$与$y=-2x^2$的图象，则阴影部分的面积是
8
。答案
6. 8
解析
【分析】
解题时先观察函数图象和正方形的对称性：二次函数$y=2x^2$与$y=-2x^2$的图象关于x轴对称，正方形ABCD也关于x轴对称。我们可以利用对称性对阴影部分进行割补转化，无需复杂计算，即可将阴影面积转化为规则图形的面积求解，具体思路是：将x轴下方的阴影部分沿x轴翻折，刚好可以填补上半部分正方形内抛物线$y=2x^2$两侧的空白，最终阴影部分总面积等于正方形面积的一半。
【解析】
首先计算正方形ABCD的面积：
已知正方形边长为4，因此$S_{正方形}=4×4=16$。
根据二次函数图象的对称性，$y=2x^2$与$y=-2x^2$关于x轴对称，结合正方形的轴对称性，将x轴下方的阴影部分翻折到x轴上方后，所有阴影部分恰好拼成正方形面积的一半，因此：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{正方形}=\frac{1}{2}×16=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象性质；利用对称性求面积；割补法求面积
【点评】
本题巧妙结合了二次函数图象的对称性和正方形的对称性，考查转化思想在面积计算中的应用，避免了复杂的不规则图形面积计算，能很好地锻炼学生的观察能力和数形结合思维。
【难度系数】
0.7
解题时先观察函数图象和正方形的对称性：二次函数$y=2x^2$与$y=-2x^2$的图象关于x轴对称，正方形ABCD也关于x轴对称。我们可以利用对称性对阴影部分进行割补转化，无需复杂计算，即可将阴影面积转化为规则图形的面积求解，具体思路是：将x轴下方的阴影部分沿x轴翻折，刚好可以填补上半部分正方形内抛物线$y=2x^2$两侧的空白，最终阴影部分总面积等于正方形面积的一半。
【解析】
首先计算正方形ABCD的面积：
已知正方形边长为4，因此$S_{正方形}=4×4=16$。
根据二次函数图象的对称性，$y=2x^2$与$y=-2x^2$关于x轴对称，结合正方形的轴对称性，将x轴下方的阴影部分翻折到x轴上方后，所有阴影部分恰好拼成正方形面积的一半，因此：
$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{正方形}=\frac{1}{2}×16=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的图象性质；利用对称性求面积；割补法求面积
【点评】
本题巧妙结合了二次函数图象的对称性和正方形的对称性，考查转化思想在面积计算中的应用，避免了复杂的不规则图形面积计算，能很好地锻炼学生的观察能力和数形结合思维。
【难度系数】
0.7
7.若二次函数$y=(m-1)x^{m^2 -1}$有最小值，则$m$的值为
$\sqrt{3}$
。答案
7. $\sqrt{3}$
解析
【分析】
要解这道题需结合二次函数的定义和最值性质分步推导：第一步先根据二次函数的定义确定参数m的初步取值，二次函数需满足两个核心条件：自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0；第二步结合“函数有最小值”的条件，二次函数有最小值说明抛物线开口向上，即二次项系数大于0，最后筛选符合所有条件的m值即可。
【解析】
解：
∵ 函数$y=(m-1)x^{m^2 -1}$是二次函数，
∴ 自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0，可列方程和不等式：
$\begin{cases}m^2 - 1 = 2 ① \\m - 1 ≠ 0 ②\end{cases}$
解①得：$m^2=3$，即$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$；
解②得：$m ≠ 1$，上述两个解均满足该条件。
又
∵ 二次函数有最小值，说明抛物线开口向上，
∴ 二次项系数$m-1＞0$，解得$m＞1$。
对比候选值：$\sqrt{3}\approx1.732＞1$，符合要求；$-\sqrt{3}\approx-1.732＜1$，不符合要求，舍去。
故$m$的值为$\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的最值性质
【点评】
本题考查二次函数定义与性质的结合应用，解题时需注意联立多个约束条件筛选参数值，避免遗漏二次项系数的符号要求导致出现多解错误。
【难度系数】
0.7
要解这道题需结合二次函数的定义和最值性质分步推导：第一步先根据二次函数的定义确定参数m的初步取值，二次函数需满足两个核心条件：自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0；第二步结合“函数有最小值”的条件，二次函数有最小值说明抛物线开口向上，即二次项系数大于0，最后筛选符合所有条件的m值即可。
【解析】
解：
∵ 函数$y=(m-1)x^{m^2 -1}$是二次函数，
∴ 自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0，可列方程和不等式：
$\begin{cases}m^2 - 1 = 2 ① \\m - 1 ≠ 0 ②\end{cases}$
解①得：$m^2=3$，即$m=\sqrt{3}$或$m=-\sqrt{3}$；
解②得：$m ≠ 1$，上述两个解均满足该条件。
又
∵ 二次函数有最小值，说明抛物线开口向上，
∴ 二次项系数$m-1＞0$，解得$m＞1$。
对比候选值：$\sqrt{3}\approx1.732＞1$，符合要求；$-\sqrt{3}\approx-1.732＜1$，不符合要求，舍去。
故$m$的值为$\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的最值性质
【点评】
本题考查二次函数定义与性质的结合应用，解题时需注意联立多个约束条件筛选参数值，避免遗漏二次项系数的符号要求导致出现多解错误。
【难度系数】
0.7
8.若二次函数$y=(2 - m)x^{|m| - 3}$的图象开口向下，则$m$的值为
5
。答案
8. 5
解析
【分析】
要解决这道题，需同时满足三个约束条件：①首先函数为二次函数，根据二次函数的定义，自变量的最高次数为2，且二次项系数不能为0；②题目给出图象开口向下，根据二次函数的性质，开口向下时二次项系数小于0。我们先根据次数要求求出m的可能取值，再结合系数的限制条件筛选出符合所有要求的m值即可。
【解析】
第一步：根据二次函数的定义，自变量x的最高次数为2，可得：
$|m| - 3 = 2$
解绝对值方程得$|m|=5$，即$m=5$或$m=-5$
第二步：验证二次项系数不为0的要求：$2 - m ≠ 0$，即$m ≠ 2$，上述两个初步解均满足该条件。
第三步：根据图象开口向下的性质，二次项系数小于0，可得：
$2 - m ＜ 0$
解得$m ＞ 2$
第四步：对初步解进行筛选，$m=5$满足$m＞2$，$m=-5$不满足该要求，因此$m=5$。
【答案】
5
【知识点】
二次函数的定义；二次函数图象与系数的关系；绝对值方程求解
【点评】
本题属于二次函数基础概念考察题，解题核心是牢记二次函数的定义要求和图象性质，多个限制条件联立求解时，要对初步解逐一验证筛选，避免遗漏条件导致错解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需同时满足三个约束条件：①首先函数为二次函数，根据二次函数的定义，自变量的最高次数为2，且二次项系数不能为0；②题目给出图象开口向下，根据二次函数的性质，开口向下时二次项系数小于0。我们先根据次数要求求出m的可能取值，再结合系数的限制条件筛选出符合所有要求的m值即可。
【解析】
第一步：根据二次函数的定义，自变量x的最高次数为2，可得：
$|m| - 3 = 2$
解绝对值方程得$|m|=5$，即$m=5$或$m=-5$
第二步：验证二次项系数不为0的要求：$2 - m ≠ 0$，即$m ≠ 2$，上述两个初步解均满足该条件。
第三步：根据图象开口向下的性质，二次项系数小于0，可得：
$2 - m ＜ 0$
解得$m ＞ 2$
第四步：对初步解进行筛选，$m=5$满足$m＞2$，$m=-5$不满足该要求，因此$m=5$。
【答案】
5
【知识点】
二次函数的定义；二次函数图象与系数的关系；绝对值方程求解
【点评】
本题属于二次函数基础概念考察题，解题核心是牢记二次函数的定义要求和图象性质，多个限制条件联立求解时，要对初步解逐一验证筛选，避免遗漏条件导致错解。
【难度系数】
0.7
9.如图,在同一平面直角坐标系中,作出①$y=-3x^2$；②$y=-\frac{1}{3}x^2$；③$y=-x^2$的图象,则图象$L_1,L_2,L_3$对应的函数解析式依次是
（第9题图）（第10题图）
①③②
（填序号）。（第9题图）（第10题图）
答案
9. ①③②
解析
【分析】
要判断三个抛物线对应的解析式，需回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：首先三个函数的二次项系数均为负数，开口都向下，符合题图特征；其次抛物线的开口大小由$|a|$决定，$|a|$越大，开口越窄，$|a|$越小，开口越宽。我们只需要比较三个函数二次项系数的绝对值大小，再结合图象中$L_1$、$L_2$、$L_3$的宽窄程度对应即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，有如下性质：
1. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，本题中①$y=-3x^2$、②$y=-\frac{1}{3}x^2$、③$y=-x^2$的二次项系数均为负，开口均向下，与题图一致；
2. 抛物线开口大小由$|a|$决定：$|a|$越大，开口越窄；$|a|$越小，开口越宽。
计算三个函数二次项系数的绝对值：$|-3|=3$，$|-1|=1$，$|-\frac{1}{3}|=\frac{1}{3}$，可得$3＞1＞\frac{1}{3}$。
因此$y=-3x^2$开口最窄，对应最靠近$y$轴的$L_1$；$y=-x^2$开口宽度次之，对应$L_2$；$y=-\frac{1}{3}x^2$开口最宽，对应最外侧的$L_3$。
故图象$L_1,L_2,L_3$对应的函数解析式依次是①③②。
【答案】
①③②
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次项系数对开口的影响
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，核心是掌握二次项系数$a$的绝对值与抛物线开口宽窄的关系，牢记“|a|越大开口越窄”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断三个抛物线对应的解析式，需回忆二次函数$y=ax^2$的图象性质：首先三个函数的二次项系数均为负数，开口都向下，符合题图特征；其次抛物线的开口大小由$|a|$决定，$|a|$越大，开口越窄，$|a|$越小，开口越宽。我们只需要比较三个函数二次项系数的绝对值大小，再结合图象中$L_1$、$L_2$、$L_3$的宽窄程度对应即可。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$，有如下性质：
1. 当$a＜0$时，抛物线开口向下，本题中①$y=-3x^2$、②$y=-\frac{1}{3}x^2$、③$y=-x^2$的二次项系数均为负，开口均向下，与题图一致；
2. 抛物线开口大小由$|a|$决定：$|a|$越大，开口越窄；$|a|$越小，开口越宽。
计算三个函数二次项系数的绝对值：$|-3|=3$，$|-1|=1$，$|-\frac{1}{3}|=\frac{1}{3}$，可得$3＞1＞\frac{1}{3}$。
因此$y=-3x^2$开口最窄，对应最靠近$y$轴的$L_1$；$y=-x^2$开口宽度次之，对应$L_2$；$y=-\frac{1}{3}x^2$开口最宽，对应最外侧的$L_3$。
故图象$L_1,L_2,L_3$对应的函数解析式依次是①③②。
【答案】
①③②
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的性质
2. 二次项系数对开口的影响
【点评】
本题是二次函数图象性质的基础应用题，核心是掌握二次项系数$a$的绝对值与抛物线开口宽窄的关系，牢记“|a|越大开口越窄”的规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
10.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A,B,C的坐标分别为(2,2),(2,5),(5,5).若抛物线$y=ax^2$的图象与正方形ABCD有公共点,则a的取值范围为
$\frac{2}{25}≤ a≤ \frac{5}{4}$
.答案
10. $\frac{2}{25}≤ a≤ \frac{5}{4}$
解析
【分析】
首先明确抛物线$y=ax^2$的性质：当$a＞0$时开口向上，且$a$越大开口越窄，$a$越小开口越宽。要使抛物线与正方形ABCD有公共点，需找到抛物线刚好经过正方形边界点时的$a$值作为临界值。先由已知顶点坐标推出正方形右下顶点D的坐标，当$a$最大时抛物线刚好经过正方形左上顶点B，当$a$最小时抛物线刚好经过正方形右下顶点D，分别代入两点坐标即可求出$a$的最值，进而得到取值范围。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的顶点A(2,2)、B(2,5)、C(5,5)，
∴正方形边长为$5-2=3$，可得D点坐标为$(5,2)$。
抛物线$y=ax^2$开口向上，$a＞0$：
①当抛物线经过点$B(2,5)$时，$a$取得最大值，
将$x=2,y=5$代入$y=ax^2$得：$5=a×2^2$，
解得$a=\frac{5}{4}$；
②当抛物线经过点$D(5,2)$时，$a$取得最小值，
将$x=5,y=2$代入$y=ax^2$得：$2=a×5^2$，
解得$a=\frac{2}{25}$。
结合抛物线开口变化规律，若抛物线与正方形有公共点，则$a$的取值范围是$\frac{2}{25}≤ a≤ \frac{5}{4}$。
【答案】
$\frac{2}{25}≤ a≤ \frac{5}{4}$
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2$的性质
2.正方形的坐标特征
3.函数图象交点问题
【点评】
本题属于二次函数与平面几何结合的基础题，解题核心是理解二次函数$y=ax^2$中$a$对开口宽窄的影响，准确找到抛物线与正方形相交的两个边界点代入计算即可，解题时注意结合图象分析临界情况，避免将取值范围弄反。
【难度系数】
0.7
首先明确抛物线$y=ax^2$的性质：当$a＞0$时开口向上，且$a$越大开口越窄，$a$越小开口越宽。要使抛物线与正方形ABCD有公共点，需找到抛物线刚好经过正方形边界点时的$a$值作为临界值。先由已知顶点坐标推出正方形右下顶点D的坐标，当$a$最大时抛物线刚好经过正方形左上顶点B，当$a$最小时抛物线刚好经过正方形右下顶点D，分别代入两点坐标即可求出$a$的最值，进而得到取值范围。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的顶点A(2,2)、B(2,5)、C(5,5)，
∴正方形边长为$5-2=3$，可得D点坐标为$(5,2)$。
抛物线$y=ax^2$开口向上，$a＞0$：
①当抛物线经过点$B(2,5)$时，$a$取得最大值，
将$x=2,y=5$代入$y=ax^2$得：$5=a×2^2$，
解得$a=\frac{5}{4}$；
②当抛物线经过点$D(5,2)$时，$a$取得最小值，
将$x=5,y=2$代入$y=ax^2$得：$2=a×5^2$，
解得$a=\frac{2}{25}$。
结合抛物线开口变化规律，若抛物线与正方形有公共点，则$a$的取值范围是$\frac{2}{25}≤ a≤ \frac{5}{4}$。
【答案】
$\frac{2}{25}≤ a≤ \frac{5}{4}$
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2$的性质
2.正方形的坐标特征
3.函数图象交点问题
【点评】
本题属于二次函数与平面几何结合的基础题，解题核心是理解二次函数$y=ax^2$中$a$对开口宽窄的影响，准确找到抛物线与正方形相交的两个边界点代入计算即可，解题时注意结合图象分析临界情况，避免将取值范围弄反。
【难度系数】
0.7
11.二次函数$y=ax^2$的图象与直线$y=2x-1$交于点$P(1,m)$.
(1)求$a,m$的值.
(2)写出二次函数的解析式,并指出$x$取何值时,该解析式的$y$随$x$的增大而增大?
(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴.
(1)求$a,m$的值.
(2)写出二次函数的解析式,并指出$x$取何值时,该解析式的$y$随$x$的增大而增大?
(3)指出抛物线的顶点坐标和对称轴.
答案
(1) $a=1,m=1$.
(2) 二次函数的解析式为$y=x^2$,当$x＞0$时,该解析式的$y$随$x$的增大而增大.
(3) 顶点坐标为$(0,0)$,对称轴为$y$轴.
(2) 二次函数的解析式为$y=x^2$,当$x＞0$时,该解析式的$y$随$x$的增大而增大.
(3) 顶点坐标为$(0,0)$,对称轴为$y$轴.
解析
【分析】
本题围绕二次函数$y=ax^2$与一次函数的交点展开，解题思路如下：
1. 第(1)问：交点$P(1,m)$同时在两个函数图象上，点的坐标满足两个函数解析式，先将$P$代入一次函数解析式求出$m$的值，再将得到的$P$点坐标代入二次函数即可求出$a$的值；
2. 第(2)问：将求得的$a$代入$y=ax^2$得到二次函数解析式，再根据$a＞0$时$y=ax^2$的增减性规律，判断$y$随$x$增大而增大的$x$取值范围；
3. 第(3)问：直接根据$y=ax^2$的图象性质，写出顶点坐标和对称轴即可。
【解析】
(1) 已知点$P(1,m)$在直线$y=2x-1$上，将$x=1$代入直线解析式：
$m=2×1 -1=1$，即点$P$坐标为$(1,1)$。
将$P(1,1)$代入二次函数$y=ax^2$得：
$1=a×1^2$，解得$a=1$。
(2) 由(1)得$a=1$，因此二次函数解析式为$y=x^2$。
该函数开口向上，对称轴为$y$轴，因此当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 对于二次函数$y=x^2$，其顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴。
【答案】
(1) $a=1,m=1$
(2) 二次函数的解析式为$y=x^2$,当$x＞0$时,该解析式的$y$随$x$的增大而增大。
(3) 顶点坐标为$(0,0)$,对称轴为$y$轴。
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$性质
2. 函数图象点的特征
3. 一次函数性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，侧重考察对$y=ax^2$基本性质的掌握，以及函数交点坐标的应用，解题关键是明确函数图象上的点满足对应函数解析式，熟练掌握基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
本题围绕二次函数$y=ax^2$与一次函数的交点展开，解题思路如下：
1. 第(1)问：交点$P(1,m)$同时在两个函数图象上，点的坐标满足两个函数解析式，先将$P$代入一次函数解析式求出$m$的值，再将得到的$P$点坐标代入二次函数即可求出$a$的值；
2. 第(2)问：将求得的$a$代入$y=ax^2$得到二次函数解析式，再根据$a＞0$时$y=ax^2$的增减性规律，判断$y$随$x$增大而增大的$x$取值范围；
3. 第(3)问：直接根据$y=ax^2$的图象性质，写出顶点坐标和对称轴即可。
【解析】
(1) 已知点$P(1,m)$在直线$y=2x-1$上，将$x=1$代入直线解析式：
$m=2×1 -1=1$，即点$P$坐标为$(1,1)$。
将$P(1,1)$代入二次函数$y=ax^2$得：
$1=a×1^2$，解得$a=1$。
(2) 由(1)得$a=1$，因此二次函数解析式为$y=x^2$。
该函数开口向上，对称轴为$y$轴，因此当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大。
(3) 对于二次函数$y=x^2$，其顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴。
【答案】
(1) $a=1,m=1$
(2) 二次函数的解析式为$y=x^2$,当$x＞0$时,该解析式的$y$随$x$的增大而增大。
(3) 顶点坐标为$(0,0)$,对称轴为$y$轴。
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$性质
2. 函数图象点的特征
3. 一次函数性质
【点评】
本题属于二次函数基础题型，侧重考察对$y=ax^2$基本性质的掌握，以及函数交点坐标的应用，解题关键是明确函数图象上的点满足对应函数解析式，熟练掌握基础性质即可快速解答。
【难度系数】
0.9
12.如图，P为抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$上一动点.若直线$l$经过$y$轴上一点$N$，且平行于$x$轴，点$N$的坐标为$(0,-1)$，过点$P$作$PM ⊥ l$，垂足为$M$.在对称轴上是否存在一定点$F$，使得$PM=PF$恒成立？若存在，求出点$F$的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
12. 存在,点F的坐标为$(0,1)$.
解析
【分析】
要判断对称轴上是否存在定点F使得PM=PF恒成立，可按以下思路思考：①首先F在抛物线对称轴（y轴）上，故可设F的坐标为(0,t)，t为待求常数；②设抛物线上任意一点P的坐标为$(a, \frac{1}{4}a^2)$，分别用含a、t的式子表示出PM和PF的长度；③根据PM=PF列等式，利用等式对任意a都成立的性质，即可求出t的值，确定F的坐标。
【解析】
存在，求解过程如下：
设定点F的坐标为$(0,t)$，设抛物线上动点P的坐标为$(a, \frac{1}{4}a^2)$。
1. 求PM的长度：
直线$l$的解析式为$y=-1$，$PM ⊥ l$，故M点纵坐标为-1，横坐标与P相同，因此$PM = \frac{1}{4}a^2 - (-1) = \frac{1}{4}a^2 + 1$。
2. 求PF的长度：
根据两点间距离公式，$PF = \sqrt{(a-0)^2 + (\frac{1}{4}a^2 - t)^2}$。
3. 列等式求解t：
由$PM=PF$恒成立，两边平方得：
$(\frac{1}{4}a^2 + 1)^2 = a^2 + (\frac{1}{4}a^2 - t)^2$
展开两边：
左边：$\frac{1}{16}a^4 + \frac{1}{2}a^2 + 1$
右边：$a^2 + \frac{1}{16}a^4 - \frac{t}{2}a^2 + t^2$
消去两边相同项$\frac{1}{16}a^4$，整理得：
$\frac{1}{2}a^2 + 1 = (1 - \frac{t}{2})a^2 + t^2$
由于等式对任意实数a都成立，因此对应项系数相等：
$\begin{cases}\frac{1}{2} = 1 - \frac{t}{2} \\1 = t^2\end{cases}$
解得$t=1$，满足上述两个等式。
故定点F的坐标为$(0,1)$。
【答案】
存在，点F的坐标为$\boldsymbol{(0,1)}$。
【知识点】
二次函数的性质；两点间距离公式；恒成立问题求解
【点评】
本题是二次函数中的定点存在性问题，核心方法是坐标法，通过设参数表示动点和定点坐标，将线段相等关系转化为代数等式，利用恒等式的对应系数相等求解参数，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
要判断对称轴上是否存在定点F使得PM=PF恒成立，可按以下思路思考：①首先F在抛物线对称轴（y轴）上，故可设F的坐标为(0,t)，t为待求常数；②设抛物线上任意一点P的坐标为$(a, \frac{1}{4}a^2)$，分别用含a、t的式子表示出PM和PF的长度；③根据PM=PF列等式，利用等式对任意a都成立的性质，即可求出t的值，确定F的坐标。
【解析】
存在，求解过程如下：
设定点F的坐标为$(0,t)$，设抛物线上动点P的坐标为$(a, \frac{1}{4}a^2)$。
1. 求PM的长度：
直线$l$的解析式为$y=-1$，$PM ⊥ l$，故M点纵坐标为-1，横坐标与P相同，因此$PM = \frac{1}{4}a^2 - (-1) = \frac{1}{4}a^2 + 1$。
2. 求PF的长度：
根据两点间距离公式，$PF = \sqrt{(a-0)^2 + (\frac{1}{4}a^2 - t)^2}$。
3. 列等式求解t：
由$PM=PF$恒成立，两边平方得：
$(\frac{1}{4}a^2 + 1)^2 = a^2 + (\frac{1}{4}a^2 - t)^2$
展开两边：
左边：$\frac{1}{16}a^4 + \frac{1}{2}a^2 + 1$
右边：$a^2 + \frac{1}{16}a^4 - \frac{t}{2}a^2 + t^2$
消去两边相同项$\frac{1}{16}a^4$，整理得：
$\frac{1}{2}a^2 + 1 = (1 - \frac{t}{2})a^2 + t^2$
由于等式对任意实数a都成立，因此对应项系数相等：
$\begin{cases}\frac{1}{2} = 1 - \frac{t}{2} \\1 = t^2\end{cases}$
解得$t=1$，满足上述两个等式。
故定点F的坐标为$(0,1)$。
【答案】
存在，点F的坐标为$\boldsymbol{(0,1)}$。
【知识点】
二次函数的性质；两点间距离公式；恒成立问题求解
【点评】
本题是二次函数中的定点存在性问题，核心方法是坐标法，通过设参数表示动点和定点坐标，将线段相等关系转化为代数等式，利用恒等式的对应系数相等求解参数，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6
