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14.已知一元二次方程$x^2 -2x +m=0$.
(1)若方程有两个实数根,求$m$的取值范围;
(2)若方程的两个实数根是$x_1,x_2$,且$x_1 +3x_2=3$,求$m$的值.
(1)若方程有两个实数根,求$m$的取值范围;
(2)若方程的两个实数根是$x_1,x_2$,且$x_1 +3x_2=3$,求$m$的值.
答案
(1)$m≤ 1$
(2)$\dfrac{3}{4}$
(2)$\dfrac{3}{4}$
解析
【分析】
(1) 对于一元二次方程，当判别式Δ≥0时，方程有两个实数根，因此我们只需要写出该方程的判别式，令其大于等于0，解不等式即可得到m的取值范围。
(2) 已知方程两根的数量关系，可先根据根与系数的关系得到x₁+x₂的取值，再与题干给出的x₁+3x₂=3联立，求出其中一个根的数值，将根代入原方程即可求出m的值。
【解析】
(1) 一元二次方程$x^2 -2x +m=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=m$。
因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，
代入得：$\Delta = (-2)^2 - 4×1× m = 4 - 4m ≥ 0$，
解不等式：$4 ≥ 4m$，即$m ≤ 1$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2$，
已知$x_1 + 3x_2 = 3$，将两个等式联立：
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2 \\x_1 + 3x_2 = 3\end{cases}$
用第二个式子减去第一个式子得：$2x_2 = 1$，解得$x_2 = \frac{1}{2}$。
将$x_2 = \frac{1}{2}$代入原方程$x^2 -2x +m=0$得：
$(\frac{1}{2})^2 - 2×\frac{1}{2} + m = 0$，
计算得：$\frac{1}{4} - 1 + m = 0$，解得$m = \frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $m≤ 1$
(2) $\dfrac{3}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的常规基础题型，重点考查用判别式判断根的情况、韦达定理的应用，解题时牢记相关公式，计算时细心即可，能够有效考查学生对基础知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.8
(1) 对于一元二次方程，当判别式Δ≥0时，方程有两个实数根，因此我们只需要写出该方程的判别式，令其大于等于0，解不等式即可得到m的取值范围。
(2) 已知方程两根的数量关系，可先根据根与系数的关系得到x₁+x₂的取值，再与题干给出的x₁+3x₂=3联立，求出其中一个根的数值，将根代入原方程即可求出m的值。
【解析】
(1) 一元二次方程$x^2 -2x +m=0$中，二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=m$。
因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta = b^2-4ac ≥ 0$，
代入得：$\Delta = (-2)^2 - 4×1× m = 4 - 4m ≥ 0$，
解不等式：$4 ≥ 4m$，即$m ≤ 1$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2$，
已知$x_1 + 3x_2 = 3$，将两个等式联立：
$\begin{cases}x_1 + x_2 = 2 \\x_1 + 3x_2 = 3\end{cases}$
用第二个式子减去第一个式子得：$2x_2 = 1$，解得$x_2 = \frac{1}{2}$。
将$x_2 = \frac{1}{2}$代入原方程$x^2 -2x +m=0$得：
$(\frac{1}{2})^2 - 2×\frac{1}{2} + m = 0$，
计算得：$\frac{1}{4} - 1 + m = 0$，解得$m = \frac{3}{4}$。
【答案】
(1) $m≤ 1$
(2) $\dfrac{3}{4}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的常规基础题型，重点考查用判别式判断根的情况、韦达定理的应用，解题时牢记相关公式，计算时细心即可，能够有效考查学生对基础知识点的掌握情况。
【难度系数】
0.8
15.如图,某养殖户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12 m的住房墙,另外三边用25 m长的建筑材料围成,为了方便进出,在垂直于住房墙的一边留一扇1 m宽的门.
(1)如图,设猪舍与墙垂直的一边AD的长为x m,用含x的式子表示另一边AB的长.
(2)当x为多少时,猪舍面积为80 m²?
(1)如图,设猪舍与墙垂直的一边AD的长为x m,用含x的式子表示另一边AB的长.
(2)当x为多少时,猪舍面积为80 m²?
答案
15. (1)$(26-2x)\mathrm{m}$
(2)8
(2)8
解析
【分析】
(1) 首先明确三边建筑材料总长25m，垂直于墙的边共2条，长度均为x m，其中1条边上有1m宽的门无需使用建筑材料，先计算垂直边消耗的材料长度，再用总材料长度减去垂直边消耗的材料，即可得到平行于墙的AB的长度。
(2) 第二问根据矩形面积=长×宽列一元二次方程，求解方程后，需要结合“住房墙长12m”的实际限制，舍去不符合题意的根，得到正确的x值。
【解析】
(1) 已知垂直于住房墙的边AD长为x m，两条垂直于墙的边共需材料$(2x-1)$m（减去1m宽的门无需材料的部分），总建筑材料长25m，因此AB的长为：
$25-(2x-1)=(26-2x)\mathrm{m}$
(2) 由矩形面积公式可列方程：
$x(26-2x)=80$
整理得：$x^2-13x+40=0$
因式分解得：$(x-5)(x-8)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=8$
检验：当$x=5$时，$AB=26-2×5=16\mathrm{m}$，$16\mathrm{m}＞12\mathrm{m}$，超过住房墙长度，不符合实际，舍去；
当$x=8$时，$AB=26-2×8=10\mathrm{m}$，$10\mathrm{m}＜12\mathrm{m}$，符合题意。
【答案】
(1) $(26-2x)\mathrm{m}$
(2) $8$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；矩形面积计算
【点评】
本题属于实际应用类题型，解题时需注意题目隐含的实际限制条件，对计算结果要检验是否符合现实场景，同时不要忽略门的宽度对边长表达式的影响。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确三边建筑材料总长25m，垂直于墙的边共2条，长度均为x m，其中1条边上有1m宽的门无需使用建筑材料，先计算垂直边消耗的材料长度，再用总材料长度减去垂直边消耗的材料，即可得到平行于墙的AB的长度。
(2) 第二问根据矩形面积=长×宽列一元二次方程，求解方程后，需要结合“住房墙长12m”的实际限制，舍去不符合题意的根，得到正确的x值。
【解析】
(1) 已知垂直于住房墙的边AD长为x m，两条垂直于墙的边共需材料$(2x-1)$m（减去1m宽的门无需材料的部分），总建筑材料长25m，因此AB的长为：
$25-(2x-1)=(26-2x)\mathrm{m}$
(2) 由矩形面积公式可列方程：
$x(26-2x)=80$
整理得：$x^2-13x+40=0$
因式分解得：$(x-5)(x-8)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=8$
检验：当$x=5$时，$AB=26-2×5=16\mathrm{m}$，$16\mathrm{m}＞12\mathrm{m}$，超过住房墙长度，不符合实际，舍去；
当$x=8$时，$AB=26-2×8=10\mathrm{m}$，$10\mathrm{m}＜12\mathrm{m}$，符合题意。
【答案】
(1) $(26-2x)\mathrm{m}$
(2) $8$
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；矩形面积计算
【点评】
本题属于实际应用类题型，解题时需注意题目隐含的实际限制条件，对计算结果要检验是否符合现实场景，同时不要忽略门的宽度对边长表达式的影响。
【难度系数】
0.7
16.【发现】在解一元二次方程的时候，发现有一类形如$x^2+(m+n)x+mn=0$的方程，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它转化成$x^2+(m+n)x+mn=(m+x)(n+x)=0$。
【探索】解方程：$x^2+5x+6=0$。
$x^2+5x+6=x^2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3)$，原方程可化为$(x+2)(x+3)=0$，即$x+2=0$，或$x+3=0$，进而可求解。
【归纳】若$x^2+px+q=(x+m)(x+n)$，则$p=$
【应用】(1)运用上述方法解方程$x^2+6x+8=0$；
(2)结合上述材料，并根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，求出一元二次不等式$x^2-2x-3＞0$的解集。
【探索】解方程：$x^2+5x+6=0$。
$x^2+5x+6=x^2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3)$，原方程可化为$(x+2)(x+3)=0$，即$x+2=0$，或$x+3=0$，进而可求解。
【归纳】若$x^2+px+q=(x+m)(x+n)$，则$p=$
$m+n$
，$q=$$mn$
（均用含$m,n$的代数式表示）。【应用】(1)运用上述方法解方程$x^2+6x+8=0$；
(2)结合上述材料，并根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，求出一元二次不等式$x^2-2x-3＞0$的解集。
答案
16. 【归纳】$m+n$ $mn$
【应用】(1)$x_1=-2,x_2=-4.$
(2)$x＞3,$或$x＜-1.$
【应用】(1)$x_1=-2,x_2=-4.$
(2)$x＞3,$或$x＜-1.$
解析
【分析】
本题围绕十字相乘法因式分解的规律展开考查。首先归纳部分，可通过展开因式分解后的式子，对比左右两边同类项的系数即可得到p、q的表达式；应用(1)直接套用题干给出的十字相乘规律，将常数项拆为两个数的积，且两数之和等于一次项系数，再转化为两个一元一次方程求解；应用(2)先对二次三项式因式分解，再根据“同号得正”的乘法法则分两类讨论，分别解不等式组即可得到解集。
【解析】
归纳部分
将$(x+m)(x+n)$展开得：
$(x+m)(x+n)=x^2+mx+nx+mn=x^2+(m+n)x+mn$
与$x^2+px+q$对比同类项系数可得：$p=m+n$，$q=mn$。
应用(1) 解方程$x^2+6x+8=0$
对二次三项式因式分解：常数项8可拆为$2×4$，且$2+4=6$（等于一次项系数），因此：
$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$
原方程转化为$(x+2)(x+4)=0$
根据“若两个因式的积为0，则至少一个因式为0”，得：
$x+2=0$ 或 $x+4=0$
解得：$x_1=-2$，$x_2=-4$。
应用(2) 解不等式$x^2-2x-3＞0$
先对二次三项式因式分解：常数项-3可拆为$(-3)×1$，且$-3+1=-2$（等于一次项系数），因此：
$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$
原不等式转化为$(x-3)(x+1)＞0$
根据“两数相乘，同号得正”，分两种情况讨论：
① $\begin{cases}x-3＞0 \\ x+1＞0 \end{cases}$，解得$x＞3$；
② $\begin{cases}x-3＜0 \\ x+1＜0 \end{cases}$，解得$x＜-1$。
综上，不等式的解集为$x＞3$或$x＜-1$。
【答案】
【归纳】$m+n$；$mn$
【应用】(1)$x_1=-2,x_2=-4$
(2)$x＞3$，或$x＜-1$
【知识点】
十字相乘法因式分解，解一元二次方程，解一元二次不等式
【点评】
本题以规律探究的形式展开，从一元二次方程的因式分解解法延伸到一元二次不等式的求解，既考查了学生对十字相乘法的掌握程度，也考查了知识迁移能力和分类讨论的数学思想，规律清晰易懂，解题思路明确。
【难度系数】
0.7
本题围绕十字相乘法因式分解的规律展开考查。首先归纳部分，可通过展开因式分解后的式子，对比左右两边同类项的系数即可得到p、q的表达式；应用(1)直接套用题干给出的十字相乘规律，将常数项拆为两个数的积，且两数之和等于一次项系数，再转化为两个一元一次方程求解；应用(2)先对二次三项式因式分解，再根据“同号得正”的乘法法则分两类讨论，分别解不等式组即可得到解集。
【解析】
归纳部分
将$(x+m)(x+n)$展开得：
$(x+m)(x+n)=x^2+mx+nx+mn=x^2+(m+n)x+mn$
与$x^2+px+q$对比同类项系数可得：$p=m+n$，$q=mn$。
应用(1) 解方程$x^2+6x+8=0$
对二次三项式因式分解：常数项8可拆为$2×4$，且$2+4=6$（等于一次项系数），因此：
$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$
原方程转化为$(x+2)(x+4)=0$
根据“若两个因式的积为0，则至少一个因式为0”，得：
$x+2=0$ 或 $x+4=0$
解得：$x_1=-2$，$x_2=-4$。
应用(2) 解不等式$x^2-2x-3＞0$
先对二次三项式因式分解：常数项-3可拆为$(-3)×1$，且$-3+1=-2$（等于一次项系数），因此：
$x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$
原不等式转化为$(x-3)(x+1)＞0$
根据“两数相乘，同号得正”，分两种情况讨论：
① $\begin{cases}x-3＞0 \\ x+1＞0 \end{cases}$，解得$x＞3$；
② $\begin{cases}x-3＜0 \\ x+1＜0 \end{cases}$，解得$x＜-1$。
综上，不等式的解集为$x＞3$或$x＜-1$。
【答案】
【归纳】$m+n$；$mn$
【应用】(1)$x_1=-2,x_2=-4$
(2)$x＞3$，或$x＜-1$
【知识点】
十字相乘法因式分解，解一元二次方程，解一元二次不等式
【点评】
本题以规律探究的形式展开，从一元二次方程的因式分解解法延伸到一元二次不等式的求解，既考查了学生对十字相乘法的掌握程度，也考查了知识迁移能力和分类讨论的数学思想，规律清晰易懂，解题思路明确。
【难度系数】
0.7
