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一、选择题
1.下列方程中，一定是关于$x$的一元二次方程的是(
A.$ax^2 + bx + c = 0$
B.$x^2 -5 =0$
C.$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} =6$
D.$x^2 =x(x-2)+1$
1.下列方程中，一定是关于$x$的一元二次方程的是(
B
).A.$ax^2 + bx + c = 0$
B.$x^2 -5 =0$
C.$\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} =6$
D.$x^2 =x(x-2)+1$
答案
1. B
解析
【分析】
解这道题的核心依据是一元二次方程的定义，首先要明确一元二次方程必须同时满足四个条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。解题时我们将每个选项逐一对照上述条件排查，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的判定标准：只含一个未知数、未知数最高次数为2、属于整式方程、二次项系数不为0，四个条件需同时满足。
对各选项逐一分析：
A. $ax^2 + bx + c = 0$ 未明确说明$a≠0$，若$a=0$时方程变为一元一次方程，因此不一定是一元二次方程，不符合要求；
B. $x^2 -5 =0$ 仅含未知数$x$，未知数最高次数为2，是整式方程，且二次项系数为1不为0，完全符合一元二次方程的定义，符合要求；
C. $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} =6$ 的分母中含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
D. 先化简方程右边：$x(x-2)+1=x^2-2x+1$，原方程整理得$x^2=x^2-2x+1$，移项合并同类项后为$2x-1=0$，属于一元一次方程，不符合要求。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程判定；方程化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点有三处：一是忽略A选项中二次项系数不能为0的限制条件，二是判断D选项时未先化简方程就直接按表面形式判定次数，三是误将分式方程当作整式方程。
【难度系数】
0.8
解这道题的核心依据是一元二次方程的定义，首先要明确一元二次方程必须同时满足四个条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。解题时我们将每个选项逐一对照上述条件排查，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的判定标准：只含一个未知数、未知数最高次数为2、属于整式方程、二次项系数不为0，四个条件需同时满足。
对各选项逐一分析：
A. $ax^2 + bx + c = 0$ 未明确说明$a≠0$，若$a=0$时方程变为一元一次方程，因此不一定是一元二次方程，不符合要求；
B. $x^2 -5 =0$ 仅含未知数$x$，未知数最高次数为2，是整式方程，且二次项系数为1不为0，完全符合一元二次方程的定义，符合要求；
C. $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x} =6$ 的分母中含有未知数，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
D. 先化简方程右边：$x(x-2)+1=x^2-2x+1$，原方程整理得$x^2=x^2-2x+1$，移项合并同类项后为$2x-1=0$，属于一元一次方程，不符合要求。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程判定；方程化简
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点有三处：一是忽略A选项中二次项系数不能为0的限制条件，二是判断D选项时未先化简方程就直接按表面形式判定次数，三是误将分式方程当作整式方程。
【难度系数】
0.8
2.用配方法解方程$x^2 +10x +9=0$，配方后可得(
A.$(x+5)^2=16$
B.$(x+5)^2=1$
C.$(x+10)^2=91$
D.$(x+10)^2=109$
A
).A.$(x+5)^2=16$
B.$(x+5)^2=1$
C.$(x+10)^2=91$
D.$(x+10)^2=109$
答案
2. A
解析
【分析】
要使用配方法解该一元二次方程，首先回忆配方法的核心步骤：①先移项，将常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在左侧；②配方，给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，化简右侧后即可得到配方后的结果，再对应选项判断即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 +10x +9=0$进行移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 + 10x = -9$
一次项系数为10，它的一半是5，平方为$5^2=25$，给等号两边同时加25，得：
$x^2 + 10x + 25 = -9 + 25$
左侧根据完全平方公式可整理为$(x+5)^2$，右侧计算得16，因此配方后为：
$(x+5)^2=16$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时要注意移项需变号，配方时等号两边要同时加同一个数，避免只给左侧加而漏加右侧的常见错误，熟练掌握步骤即可快速得分。
【难度系数】
0.8
要使用配方法解该一元二次方程，首先回忆配方法的核心步骤：①先移项，将常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的项在左侧；②配方，给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，化简右侧后即可得到配方后的结果，再对应选项判断即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 +10x +9=0$进行移项，将常数项移到等号右侧，得：
$x^2 + 10x = -9$
一次项系数为10，它的一半是5，平方为$5^2=25$，给等号两边同时加25，得：
$x^2 + 10x + 25 = -9 + 25$
左侧根据完全平方公式可整理为$(x+5)^2$，右侧计算得16，因此配方后为：
$(x+5)^2=16$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础应用题型，核心考查配方法的操作步骤，解题时要注意移项需变号，配方时等号两边要同时加同一个数，避免只给左侧加而漏加右侧的常见错误，熟练掌握步骤即可快速得分。
【难度系数】
0.8
3.一元二次方程$(x-2)^2 = x-2$的根是(
A.$x=2$
B.$x_1=1,x_2=3$
C.$x=3$
D.$x_1=2,x_2=3$
D
).A.$x=2$
B.$x_1=1,x_2=3$
C.$x=3$
D.$x_1=2,x_2=3$
答案
3. D
解析
【分析】
观察方程的结构，左右两边均含有公因式$(x-2)$，适合用因式分解法求解。注意不能直接在方程两边同时除以$(x-2)$，否则会漏掉$x=2$这个根。解题时先移项，将右边的项移到左边使方程右边为0，再提取公因式将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后分别令两个因式为0，即可求出方程的根。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$(x-2)^2 - (x-2) = 0$
提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(x-2 - 1) = 0$
化简得：
$(x-2)(x-3) = 0$
令每个因式为0，得：
$x-2=0$ 或 $x-3=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=3$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求解、因式分解法解方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题关键是选择合适的求解方法，切记不可随意约去含未知数的整式，避免出现漏根的情况。
【难度系数】
0.8
观察方程的结构，左右两边均含有公因式$(x-2)$，适合用因式分解法求解。注意不能直接在方程两边同时除以$(x-2)$，否则会漏掉$x=2$这个根。解题时先移项，将右边的项移到左边使方程右边为0，再提取公因式将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后分别令两个因式为0，即可求出方程的根。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$(x-2)^2 - (x-2) = 0$
提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(x-2 - 1) = 0$
化简得：
$(x-2)(x-3) = 0$
令每个因式为0，得：
$x-2=0$ 或 $x-3=0$
解得：$x_1=2$，$x_2=3$
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求解、因式分解法解方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题关键是选择合适的求解方法，切记不可随意约去含未知数的整式，避免出现漏根的情况。
【难度系数】
0.8
4.关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 + x + a^2 -1=0$的一个根是0，则$a$的值为(
A.1
B.$-1$
C.1或$-1$
D.0
B
).A.1
B.$-1$
C.1或$-1$
D.0
答案
4. B
解析
【分析】
解题需结合方程根的性质和一元二次方程的定义两步思考：①根据方程根的定义，将根x=0代入原方程，可得到关于a的方程，求解得到a的初步取值；②题目明确原方程是一元二次方程，隐含条件为二次项系数不能为0，据此对初步得到的a值进行筛选，最终得到符合要求的a值。
【解析】
1. 把x=0代入一元二次方程$(a-1)x^2 + x + a^2 -1=0$，可得：
$(a-1) × 0^2 + 0 + a^2 - 1 = 0$
化简得$a^2 - 1 = 0$，解得$a=1$或$a=-1$。
2. 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，即$a-1 ≠ 0$，解得$a ≠ 1$。
3. 综上，排除$a=1$，可得$a=-1$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 方程的根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程的基础易考题，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，误选C选项，解题时要注意全面考虑题目中的所有限制条件。
【难度系数】
0.6
解题需结合方程根的性质和一元二次方程的定义两步思考：①根据方程根的定义，将根x=0代入原方程，可得到关于a的方程，求解得到a的初步取值；②题目明确原方程是一元二次方程，隐含条件为二次项系数不能为0，据此对初步得到的a值进行筛选，最终得到符合要求的a值。
【解析】
1. 把x=0代入一元二次方程$(a-1)x^2 + x + a^2 -1=0$，可得：
$(a-1) × 0^2 + 0 + a^2 - 1 = 0$
化简得$a^2 - 1 = 0$，解得$a=1$或$a=-1$。
2. 根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，即$a-1 ≠ 0$，解得$a ≠ 1$。
3. 综上，排除$a=1$，可得$a=-1$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 方程的根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程的基础易考题，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，误选C选项，解题时要注意全面考虑题目中的所有限制条件。
【难度系数】
0.6
5.若关于$x$的一元二次方程$(k-2)x^2 + 2x + 3 = 0$有两个实数根，则$k$的取值范围是(
A.$k≤ \dfrac{7}{3}$
B.$k＞ \dfrac{7}{3}$
C.$k＜ \dfrac{7}{3}$且$k≠ 2$
D.$k≤ \dfrac{7}{3}$且$k≠ 2$
D
).A.$k≤ \dfrac{7}{3}$
B.$k＞ \dfrac{7}{3}$
C.$k＜ \dfrac{7}{3}$且$k≠ 2$
D.$k≤ \dfrac{7}{3}$且$k≠ 2$
答案
5. D
解析
【分析】
要确定k的取值范围，需结合两个核心条件推导：①题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有两个实数根，说明根的判别式Δ≥0。分别根据两个条件列出关于k的限制，再取公共部分即可得到正确的取值范围。
【解析】
解：
∵方程是关于x的一元二次方程
∴二次项系数$k-2≠0$，解得$k≠2$
又
∵方程有两个实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=k-2$，$b=2$，$c=3$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×(k-2)×3 ≥ 0$
计算化简：
$4 - 12(k-2) ≥ 0$
$4 -12k +24 ≥ 0$
$28 -12k ≥ 0$
$12k ≤ 28$
解得$k ≤ \dfrac{7}{3}$
综上，k的取值范围是$k ≤ \dfrac{7}{3}$且$k≠2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题属于易错题，解题时很容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，仅通过判别式求解得到错误结果，需要注意结合方程的类型，综合所有限制条件推导取值范围。
【难度系数】
0.7
要确定k的取值范围，需结合两个核心条件推导：①题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有两个实数根，说明根的判别式Δ≥0。分别根据两个条件列出关于k的限制，再取公共部分即可得到正确的取值范围。
【解析】
解：
∵方程是关于x的一元二次方程
∴二次项系数$k-2≠0$，解得$k≠2$
又
∵方程有两个实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=k-2$，$b=2$，$c=3$，代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×(k-2)×3 ≥ 0$
计算化简：
$4 - 12(k-2) ≥ 0$
$4 -12k +24 ≥ 0$
$28 -12k ≥ 0$
$12k ≤ 28$
解得$k ≤ \dfrac{7}{3}$
综上，k的取值范围是$k ≤ \dfrac{7}{3}$且$k≠2$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式的应用
【点评】
本题属于易错题，解题时很容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，仅通过判别式求解得到错误结果，需要注意结合方程的类型，综合所有限制条件推导取值范围。
【难度系数】
0.7
6.据统计，某专卖店一商品第三季度的总销量为9.93万件，其中7月份的销量为3万件，设8,9月份销量的月平均增长率为$x$，则可列方程为(
A.$3(1+x)^2=9.93$
B.$3+3(1+x)+3(1+x)^2=9.93$
C.$3+3x+3(1+x)^2=9.93$
D.$3+3(1+x)^2=9.93$
B
).A.$3(1+x)^2=9.93$
B.$3+3(1+x)+3(1+x)^2=9.93$
C.$3+3x+3(1+x)^2=9.93$
D.$3+3(1+x)^2=9.93$
答案
6. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确第三季度总销量是7、8、9三个月销量的总和，我们需要先分别表示出8月、9月的销量，再根据“三个月销量之和=9.93万件”的等量关系列方程。已知7月销量为3万件，月平均增长率为x，那么8月销量是7月销量乘以(1+x)，9月销量是8月销量乘以(1+x)，也就是7月销量乘以(1+x)的平方，最后把三个月的销量相加等于总销量即可。
【解析】
首先，第三季度包含7、8、9三个月，总销量为三个月销量之和：
1. 7月份销量：已知为3万件；
2. 8月份销量：在7月份基础上月均增长x，因此8月销量为$3(1+x)$万件；
3. 9月份销量：在8月份基础上月均增长x，因此9月销量为$3(1+x) × (1+x) = 3(1+x)^2$万件；
根据第三季度总销量为9.93万件，可列方程：
$3 + 3(1+x) + 3(1+x)^2 = 9.93$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率问题，列一元二次方程
【点评】
本题是平均增长率类的典型应用题，解题核心是准确掌握增长率下各阶段量的表示方法，易错点是容易遗漏某个月的销量，误将第三个月的销量当成总销量错选其他选项。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先明确第三季度总销量是7、8、9三个月销量的总和，我们需要先分别表示出8月、9月的销量，再根据“三个月销量之和=9.93万件”的等量关系列方程。已知7月销量为3万件，月平均增长率为x，那么8月销量是7月销量乘以(1+x)，9月销量是8月销量乘以(1+x)，也就是7月销量乘以(1+x)的平方，最后把三个月的销量相加等于总销量即可。
【解析】
首先，第三季度包含7、8、9三个月，总销量为三个月销量之和：
1. 7月份销量：已知为3万件；
2. 8月份销量：在7月份基础上月均增长x，因此8月销量为$3(1+x)$万件；
3. 9月份销量：在8月份基础上月均增长x，因此9月销量为$3(1+x) × (1+x) = 3(1+x)^2$万件；
根据第三季度总销量为9.93万件，可列方程：
$3 + 3(1+x) + 3(1+x)^2 = 9.93$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平均增长率问题，列一元二次方程
【点评】
本题是平均增长率类的典型应用题，解题核心是准确掌握增长率下各阶段量的表示方法，易错点是容易遗漏某个月的销量，误将第三个月的销量当成总销量错选其他选项。
【难度系数】
0.7
7.甲、乙两同学解方程$x^2+px+q=0$，甲看错了一次项，得到两个根为2和7，乙看错了常数项，得到两个根为1和－10，则原方程为(
A.$x^2-9x+14=0$
B.$x^2+9x-14=0$
C.$x^2-9x+10=0$
D.$x^2+9x+14=0$
D
).A.$x^2-9x+14=0$
B.$x^2+9x-14=0$
C.$x^2-9x+10=0$
D.$x^2+9x+14=0$
答案
7. D
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：
1. 明确韦达定理：对于一元二次方程$x^2+px+q=0$，若两根为$x_1$、$x_2$，则有$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$。
2. 甲看错了一次项，说明他求解时用的常数项$q$是正确的，因此可以用甲得到的两根计算正确的$q$值。
3. 乙看错了常数项，说明他求解时用的一次项系数$p$是正确的，因此可以用乙得到的两根计算正确的$p$值。
4. 把求得的$p$、$q$代入原方程即可得到结果。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系：
对于方程$x^2+px+q=0$，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$。
1. 甲看错一次项，常数项$q$正确，他得到的两根为2和7，因此：
$q = 2×7 = 14$
2. 乙看错常数项，一次项系数$p$正确，他得到的两根为1和-10，因此：
$1 + (-10) = -p$
即$-9 = -p$，解得$p=9$
3. 将$p=9$，$q=14$代入原方程，得原方程为$x^2+9x+14=0$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题解题的核心是抓住“看错某一项时，另一项对应的根的关系是正确的”这一关键点，灵活运用韦达定理求解，不需要重新代入解方程，大幅降低了计算量。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：
1. 明确韦达定理：对于一元二次方程$x^2+px+q=0$，若两根为$x_1$、$x_2$，则有$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$。
2. 甲看错了一次项，说明他求解时用的常数项$q$是正确的，因此可以用甲得到的两根计算正确的$q$值。
3. 乙看错了常数项，说明他求解时用的一次项系数$p$是正确的，因此可以用乙得到的两根计算正确的$p$值。
4. 把求得的$p$、$q$代入原方程即可得到结果。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系：
对于方程$x^2+px+q=0$，两根$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$。
1. 甲看错一次项，常数项$q$正确，他得到的两根为2和7，因此：
$q = 2×7 = 14$
2. 乙看错常数项，一次项系数$p$正确，他得到的两根为1和-10，因此：
$1 + (-10) = -p$
即$-9 = -p$，解得$p=9$
3. 将$p=9$，$q=14$代入原方程，得原方程为$x^2+9x+14=0$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题解题的核心是抓住“看错某一项时，另一项对应的根的关系是正确的”这一关键点，灵活运用韦达定理求解，不需要重新代入解方程，大幅降低了计算量。
【难度系数】
0.8
8.已知α,β是方程$x^2 - 2x - 2026 = 0$的两个实数根，则$α^2 - 4α - 2β + αβ$的值是（
A.－4
B.4
C.－2
D.2
A
）.A.－4
B.4
C.－2
D.2
答案
8. A
解析
【分析】
解题思路如下：首先，已知α是方程的实数根，根据一元二次方程根的定义，可得到α满足的等式，从而推出α²-2α的数值；其次，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），可直接得到两根之和α+β、两根之积αβ的数值；最后，将所求代数式进行拆分变形，凑出上述已知的表达式，整体代入计算即可得到结果，无需直接求解α、β的具体值，可简化计算。
【解析】
∵α是方程$x^2 - 2x - 2026 = 0$的实数根，
∴将x=α代入方程得：$α^2 - 2α - 2026 = 0$，即$α^2 - 2α = 2026$。
∵α,β是方程$x^2 - 2x - 2026 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系：
两根之和$α+β = -\frac{b}{a} = 2$，两根之积$αβ = \frac{c}{a} = -2026$。
对所求代数式变形：
$α^2 - 4α - 2β + αβ$
$= (α^2 - 2α) - 2α - 2β + αβ$
$= (α^2 - 2α) - 2(α+β) + αβ$
将已知值代入得：
原式$= 2026 - 2×2 + (-2026) = 2026 - 4 - 2026 = -4$。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.根与系数的关系 3.代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关的典型计算题，解题核心是运用整体代入的思想，通过对所求代数式合理变形，结合根的定义和根与系数的关系求解，避免了直接求根的繁琐运算，熟练掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先，已知α是方程的实数根，根据一元二次方程根的定义，可得到α满足的等式，从而推出α²-2α的数值；其次，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），可直接得到两根之和α+β、两根之积αβ的数值；最后，将所求代数式进行拆分变形，凑出上述已知的表达式，整体代入计算即可得到结果，无需直接求解α、β的具体值，可简化计算。
【解析】
∵α是方程$x^2 - 2x - 2026 = 0$的实数根，
∴将x=α代入方程得：$α^2 - 2α - 2026 = 0$，即$α^2 - 2α = 2026$。
∵α,β是方程$x^2 - 2x - 2026 = 0$的两个实数根，根据根与系数的关系：
两根之和$α+β = -\frac{b}{a} = 2$，两根之积$αβ = \frac{c}{a} = -2026$。
对所求代数式变形：
$α^2 - 4α - 2β + αβ$
$= (α^2 - 2α) - 2α - 2β + αβ$
$= (α^2 - 2α) - 2(α+β) + αβ$
将已知值代入得：
原式$= 2026 - 2×2 + (-2026) = 2026 - 4 - 2026 = -4$。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程根的定义 2.根与系数的关系 3.代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程相关的典型计算题，解题核心是运用整体代入的思想，通过对所求代数式合理变形，结合根的定义和根与系数的关系求解，避免了直接求根的繁琐运算，熟练掌握相关基础性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
9.若关于x的方程$(m-1)x^{m^2 +1} +4x -2=0$是一元二次方程，则m的值为
-1
。答案
9. -1
解析
【分析】
要确定m的取值，需结合一元二次方程的定义分析解题思路：一元二次方程需要满足两个核心要求，一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们可以根据这两个条件分别列方程和不等式，联立求解后就能得到正确的m值。
【解析】
根据一元二次方程的定义，列条件如下：
1. 未知数的最高次数为2：$\begin{aligned}m^2 +1 &= 2 \\m^2 &=1 \end{aligned}$
解得：$m=1$或$m=-1$
2. 二次项系数不为0：$\begin{aligned}m-1 &≠ 0 \\m &≠1 \end{aligned}$
结合两个条件，排除$m=1$，最终得$m=-1$
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程的定义、直接开平方法解方程、不等式求解
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记一元二次方程中二次项系数不为0的隐含条件，避免因忽略该条件出现多解错误。
【难度系数】
0.8
要确定m的取值，需结合一元二次方程的定义分析解题思路：一元二次方程需要满足两个核心要求，一是未知数的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们可以根据这两个条件分别列方程和不等式，联立求解后就能得到正确的m值。
【解析】
根据一元二次方程的定义，列条件如下：
1. 未知数的最高次数为2：$\begin{aligned}m^2 +1 &= 2 \\m^2 &=1 \end{aligned}$
解得：$m=1$或$m=-1$
2. 二次项系数不为0：$\begin{aligned}m-1 &≠ 0 \\m &≠1 \end{aligned}$
结合两个条件，排除$m=1$，最终得$m=-1$
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程的定义、直接开平方法解方程、不等式求解
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记一元二次方程中二次项系数不为0的隐含条件，避免因忽略该条件出现多解错误。
【难度系数】
0.8
10.若关于$x$的方程$x^2 -kx -12=0$的一个根为3，则$k$的值为
-1
。答案
10. -1
解析
【分析】
根据一元二次方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，已知3是方程的根，所以将x=3代入原方程，就可以得到一个只含有未知数k的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵x=3是方程$x^2 -kx -12=0$的一个根
∴将x=3代入原方程，得：
$3^2 - 3k - 12 = 0$
化简计算：$9 - 3k - 12 = 0$
整理得：$-3k = 3$
解得：$k = -1$
【答案】
-1
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考查一元二次方程根的定义的应用，解题核心是明确方程的根一定满足原方程，直接代入求值即可，计算难度低，容易掌握。
【难度系数】
0.9
根据一元二次方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，已知3是方程的根，所以将x=3代入原方程，就可以得到一个只含有未知数k的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出k的值。
【解析】
解：
∵x=3是方程$x^2 -kx -12=0$的一个根
∴将x=3代入原方程，得：
$3^2 - 3k - 12 = 0$
化简计算：$9 - 3k - 12 = 0$
整理得：$-3k = 3$
解得：$k = -1$
【答案】
-1
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是基础题型，主要考查一元二次方程根的定义的应用，解题核心是明确方程的根一定满足原方程，直接代入求值即可，计算难度低，容易掌握。
【难度系数】
0.9
11.若方程$x^2 -6x +8=0$的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长是
10
。答案
11. 10
解析
【分析】
首先先求解给定的一元二次方程，得到两个根，即等腰三角形底和腰的可能长度；再根据等腰三角形两腰相等的性质分情况讨论底和腰的取值，最后用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种情况是否能构成三角形，排除不符合的情况后计算符合条件的周长即可。
【解析】
第一步：解一元二次方程$x^2 -6x +8=0$
对左侧因式分解可得：$(x-2)(x-4)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=4$，即等腰三角形的底和腰长度为2和4。
第二步：分情况讨论并验证
情况1：若底边长为2，腰长为4，此时三边长为2、4、4
验证三边关系：$2+4＞4$，$4+4＞2$，满足三角形三边要求，可构成三角形
周长为$2+4+4=10$
情况2：若底边长为4，腰长为2，此时三边长为2、2、4
验证三边关系：$2+2=4$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去该情况。
综上，该等腰三角形的周长为10。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是方程与几何的综合题，解题时需注意对等腰三角形的底和腰分类讨论，切记不要忽略三角形三边关系的验证，直接代入计算导致错误。
【难度系数】
0.7
首先先求解给定的一元二次方程，得到两个根，即等腰三角形底和腰的可能长度；再根据等腰三角形两腰相等的性质分情况讨论底和腰的取值，最后用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证每种情况是否能构成三角形，排除不符合的情况后计算符合条件的周长即可。
【解析】
第一步：解一元二次方程$x^2 -6x +8=0$
对左侧因式分解可得：$(x-2)(x-4)=0$
解得$x_1=2$，$x_2=4$，即等腰三角形的底和腰长度为2和4。
第二步：分情况讨论并验证
情况1：若底边长为2，腰长为4，此时三边长为2、4、4
验证三边关系：$2+4＞4$，$4+4＞2$，满足三角形三边要求，可构成三角形
周长为$2+4+4=10$
情况2：若底边长为4，腰长为2，此时三边长为2、2、4
验证三边关系：$2+2=4$，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去该情况。
综上，该等腰三角形的周长为10。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的解法；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是方程与几何的综合题，解题时需注意对等腰三角形的底和腰分类讨论，切记不要忽略三角形三边关系的验证，直接代入计算导致错误。
【难度系数】
0.7
12.对于两个不相等的实数$a,b$,定义一种新的运算:$a*b=a(a+b)$,如$3*2=3×(3+2)=15$.若$x*4=12$,则$x$的值是
-6或2
.答案
12. -6或2
解析
【分析】
这是新定义运算类题目，解题思路分三步：第一步先准确理解给定的新运算规则：$a*b$等于第一个数乘这两个数的和；第二步将$x*4$按规则转化为普通代数表达式，结合$x*4=12$的条件列出一元二次方程；第三步解方程后，验证所得解是否满足“$a、b$为不相等实数”的前提，排除不符合要求的解即可。
【解析】
解：根据新运算规则$a*b=a(a+b)$，可得：
$x*4=x(x+4)$
结合已知$x*4=12$，列方程：
$x(x+4)=12$
展开整理为标准一元二次方程形式：
$x^2+4x-12=0$
对左侧因式分解得：
$(x+6)(x-2)=0$
解得$x_1=-6$，$x_2=2$
验证：定义要求$a、b$为不相等实数，即$x≠4$，$-6≠4$、$2≠4$，两个解均符合要求。
【答案】
-6或2
【知识点】
新定义运算、解一元二次方程、因式分解法
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查新运算规则的转化能力和一元二次方程的求解能力，解题关键是将陌生的新运算转化为熟悉的代数方程，做题时要注意题干的前提限制条件，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
这是新定义运算类题目，解题思路分三步：第一步先准确理解给定的新运算规则：$a*b$等于第一个数乘这两个数的和；第二步将$x*4$按规则转化为普通代数表达式，结合$x*4=12$的条件列出一元二次方程；第三步解方程后，验证所得解是否满足“$a、b$为不相等实数”的前提，排除不符合要求的解即可。
【解析】
解：根据新运算规则$a*b=a(a+b)$，可得：
$x*4=x(x+4)$
结合已知$x*4=12$，列方程：
$x(x+4)=12$
展开整理为标准一元二次方程形式：
$x^2+4x-12=0$
对左侧因式分解得：
$(x+6)(x-2)=0$
解得$x_1=-6$，$x_2=2$
验证：定义要求$a、b$为不相等实数，即$x≠4$，$-6≠4$、$2≠4$，两个解均符合要求。
【答案】
-6或2
【知识点】
新定义运算、解一元二次方程、因式分解法
【点评】
本题属于基础综合题，核心考查新运算规则的转化能力和一元二次方程的求解能力，解题关键是将陌生的新运算转化为熟悉的代数方程，做题时要注意题干的前提限制条件，避免产生增根。
【难度系数】
0.7
三、解答题
13.解方程：$2x^2 - 4x = 3 - 8x$。
13.解方程：$2x^2 - 4x = 3 - 8x$。
答案
13. $x_1=\dfrac{-2+\sqrt{10}}{2},x_2=\dfrac{-2-\sqrt{10}}{2}.$
解析
【分析】
解此一元二次方程，首先需要将方程整理为标准一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$：先通过移项把等号右侧的项全部移到左侧，合并同类项后确定$a、b、c$的值；再计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程根的情况；若判别式非负，代入一元二次方程求根公式即可求出方程的解。
【解析】
解：首先对原方程进行移项，将右侧项移到左侧，得：
$2x^2 - 4x + 8x - 3 = 0$
合并同类项，化为一元二次方程一般形式：
$2x^2 + 4x - 3 = 0$
其中$a=2$，$b=4$，$c=-3$。
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4×2×(-3) = 16 + 24 = 40 ＞ 0$，可知方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{-4\pm\sqrt{40}}{2×2}=\frac{-4\pm2\sqrt{10}}{4}$
约分后得到：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{10}}{2}$
即方程的两个解为$x_1=\frac{-2+\sqrt{10}}{2}$，$x_2=\frac{-2-\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
$x_1=\dfrac{-2+\sqrt{10}}{2},x_2=\dfrac{-2-\sqrt{10}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程判别式；一元二次方程一般形式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题核心是先将原方程整理为标准一般形式，再选择合适的方法求解，计算过程中要注意符号问题，最终结果需要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
解此一元二次方程，首先需要将方程整理为标准一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$：先通过移项把等号右侧的项全部移到左侧，合并同类项后确定$a、b、c$的值；再计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程根的情况；若判别式非负，代入一元二次方程求根公式即可求出方程的解。
【解析】
解：首先对原方程进行移项，将右侧项移到左侧，得：
$2x^2 - 4x + 8x - 3 = 0$
合并同类项，化为一元二次方程一般形式：
$2x^2 + 4x - 3 = 0$
其中$a=2$，$b=4$，$c=-3$。
计算判别式：
$\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4×2×(-3) = 16 + 24 = 40 ＞ 0$，可知方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x=\frac{-4\pm\sqrt{40}}{2×2}=\frac{-4\pm2\sqrt{10}}{4}$
约分后得到：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{10}}{2}$
即方程的两个解为$x_1=\frac{-2+\sqrt{10}}{2}$，$x_2=\frac{-2-\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
$x_1=\dfrac{-2+\sqrt{10}}{2},x_2=\dfrac{-2-\sqrt{10}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；一元二次方程判别式；一元二次方程一般形式
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题核心是先将原方程整理为标准一般形式，再选择合适的方法求解，计算过程中要注意符号问题，最终结果需要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
