登录
1.(素材来源:教材P18阅读与思考)综合与实践.
【主题】黄金分割数.
【材料探索】(1)如图
,我们知道,如果点P是线段AB上的一点,将线段分割成AP, BP两条线段(AP＞BP),且满足$BP:AP=AP:AB$,那么这种分割就叫作黄金分割.其中线段AP与AB的比值或线段BP与AP的比值叫作黄金分割数.
若设线段$AB=1$,AP的长为x,则BP可表示为$1-x$,因为$BP:AP=AP:AB$,所以$(1-x):x=x:1,···$,根据此方法可计算出黄金分割数为
【主题】黄金分割数.
【材料探索】(1)如图
,我们知道,如果点P是线段AB上的一点,将线段分割成AP, BP两条线段(AP＞BP),且满足$BP:AP=AP:AB$,那么这种分割就叫作黄金分割.其中线段AP与AB的比值或线段BP与AP的比值叫作黄金分割数.若设线段$AB=1$,AP的长为x,则BP可表示为$1-x$,因为$BP:AP=AP:AB$,所以$(1-x):x=x:1,···$,根据此方法可计算出黄金分割数为
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
(结果保留根号).答案
1.(1) $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
解析
【分析】
要推导黄金分割数，首先结合题目给出的黄金分割的比例关系，利用比例的基本性质（内项之积等于外项之积）将比例式转化为一元二次方程，再求解一元二次方程，最后结合线段长度为正的实际要求舍去负根，即可得到黄金分割数。
【解析】
解：由题意得$(1-x):x = x:1$，
根据比例的基本性质交叉相乘，得：$x^2 = 1×(1-x)$，
整理为一元二次方程的标准形式：$x^2 + x - 1 = 0$，
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（其中$a=1,b=1,c=-1$），得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2 -4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，
∵线段AP的长度$x＞0$，
∴舍去不符合实际意义的负根$x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，得$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
即所求黄金分割数为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
比例的基本性质，一元二次方程求解，黄金分割定义
【点评】
本题属于基础概念推导题，核心是结合黄金分割的定义建立方程求解，解题时需要注意结合实际意义对根进行取舍，掌握这类推导能帮助我们更深刻地理解黄金分割的本质。
【难度系数】
0.7
要推导黄金分割数，首先结合题目给出的黄金分割的比例关系，利用比例的基本性质（内项之积等于外项之积）将比例式转化为一元二次方程，再求解一元二次方程，最后结合线段长度为正的实际要求舍去负根，即可得到黄金分割数。
【解析】
解：由题意得$(1-x):x = x:1$，
根据比例的基本性质交叉相乘，得：$x^2 = 1×(1-x)$，
整理为一元二次方程的标准形式：$x^2 + x - 1 = 0$，
代入一元二次方程求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（其中$a=1,b=1,c=-1$），得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{1^2 -4×1×(-1)}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，
∵线段AP的长度$x＞0$，
∴舍去不符合实际意义的负根$x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$，得$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
即所求黄金分割数为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
比例的基本性质，一元二次方程求解，黄金分割定义
【点评】
本题属于基础概念推导题，核心是结合黄金分割的定义建立方程求解，解题时需要注意结合实际意义对根进行取舍，掌握这类推导能帮助我们更深刻地理解黄金分割的本质。
【难度系数】
0.7
【实践应用】(2)二胡是我国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”固定在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳. 如图2，一把二胡的琴弦长为80 cm，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）.
答案
1.(2) $(40\sqrt{5}-40)\mathrm{cm}$
解析
【分析】
首先回忆黄金分割的定义：把一条线段分割为两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，这个固定比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。再结合题目条件“‘千斤’上面一截琴弦比下面一截琴弦短”，可判断“千斤”下面的琴弦是较长的那段，因此下面琴弦的长度等于琴弦总长乘以黄金分割比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
已知黄金分割中，较长线段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
由题意可知，“千斤”下面一截琴弦是较长的线段，琴弦总长为80 cm，因此“千斤”下面一截琴弦的长为：
$80×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=40(\sqrt{5}-1)=40\sqrt{5}-40$（cm）
【答案】
$(40\sqrt{5}-40)\mathrm{cm}$
【知识点】
黄金分割；二次根式运算
【点评】
本题结合传统民族乐器的实际场景考查黄金分割的应用，解题的核心是准确判断较长线段对应的黄金比例，注重对基础概念的理解和实际运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
首先回忆黄金分割的定义：把一条线段分割为两部分，使较长部分与全长的比值等于较短部分与较长部分的比值，这个固定比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。再结合题目条件“‘千斤’上面一截琴弦比下面一截琴弦短”，可判断“千斤”下面的琴弦是较长的那段，因此下面琴弦的长度等于琴弦总长乘以黄金分割比$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
已知黄金分割中，较长线段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
由题意可知，“千斤”下面一截琴弦是较长的线段，琴弦总长为80 cm，因此“千斤”下面一截琴弦的长为：
$80×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=40(\sqrt{5}-1)=40\sqrt{5}-40$（cm）
【答案】
$(40\sqrt{5}-40)\mathrm{cm}$
【知识点】
黄金分割；二次根式运算
【点评】
本题结合传统民族乐器的实际场景考查黄金分割的应用，解题的核心是准确判断较长线段对应的黄金比例，注重对基础概念的理解和实际运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
2.(素材来源:教材P28复习题T13)综合与实践.
【主题】三角点阵中前$n$行的点数计算.
阅读材料:数学王子高斯曾用他独特的方法快速计算出$1+2+3+\dots+100$的值.我们从这个算法中受到启发,用下面的方法计算出$1+2+3+\dots+n$的值:
可知$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.
应用上述材料解决下面的问题:
如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点……第$n$行有$n$个点……
容易发现,三角点阵中前4行的点数之和为10.
【探索】(1)三角点阵中前8行的点数之和为
(2)①若该三角点阵中前$n$行的点数之和为325,则$n$的值为
②在该三角点阵中,前$n$行的点数之和能是900吗?如果能,求出$n$的值;如果不能,请说明理由.
【运用】(3)某广场要摆放若干种造型的盆
【主题】三角点阵中前$n$行的点数计算.
阅读材料:数学王子高斯曾用他独特的方法快速计算出$1+2+3+\dots+100$的值.我们从这个算法中受到启发,用下面的方法计算出$1+2+3+\dots+n$的值:
可知$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.
应用上述材料解决下面的问题:
如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点……第$n$行有$n$个点……
容易发现,三角点阵中前4行的点数之和为10.
【探索】(1)三角点阵中前8行的点数之和为
36
,前15行的点数之和为120
,那么前$n$行的点数之和为$\frac{n(n+1)}{2}$
.(2)①若该三角点阵中前$n$行的点数之和为325,则$n$的值为
25
.②在该三角点阵中,前$n$行的点数之和能是900吗?如果能,求出$n$的值;如果不能,请说明理由.
【运用】(3)某广场要摆放若干种造型的盆
答案
2.(1) 36 120 $\frac{n(n+1)}{2}$
2.(2)① 25
2.(2)② 不能.理由略.
2.(2)① 25
2.(2)② 不能.理由略.
解析
【分析】
本题依托高斯求和公式进行考察，解题思路如下：1. 第(1)问直接利用题目给出的前n个正整数求和公式$\frac{n(n+1)}{2}$，分别将n=8、n=15代入计算即可得到对应行数的点数和，直接写出通用公式即可；2. 第(2)问属于已知和求n的问题，只需令求和公式等于对应数值，列出一元二次方程求解，注意n代表行数，必须为正整数，不符合的根要舍去，第②小问求出方程根后判断是否为正整数即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意得前n行点数和为$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$：
当$n=8$时，前8行点数和为$\frac{8×(8+1)}{2}=36$；
当$n=15$时，前15行点数和为$\frac{15×(15+1)}{2}=120$；
故前n行点数和为$\frac{n(n+1)}{2}$。
(2) ① 由题意列方程：$\frac{n(n+1)}{2}=325$，
整理得$n^2+n-650=0$，
因式分解得$(n-25)(n+26)=0$，
解得$n_1=25$，$n_2=-26$，
∵n为正整数，
∴舍去$n=-26$，即$n=25$。
② 不能，理由如下：
假设前n行点数和能为900，列方程得$\frac{n(n+1)}{2}=900$，
整理得$n^2+n-1800=0$，
计算判别式$\Delta=1^2-4×1×(-1800)=7201$，
∵$\sqrt{7201}$不是整数，即该方程无正整数解，不符合行数n为正整数的要求，因此前n行的点数之和不能是900。
【答案】
(1) 36；120；$\frac{n(n+1)}{2}$
(2) ① 25；② 不能
【知识点】
高斯求和公式；一元二次方程求解；实际问题根的检验
【点评】
本题以经典的高斯求和为背景，将数列求和与一元二次方程的应用结合考察，难度不大，解题时需要注意行数n为正整数这个隐含条件，求解方程后必须检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
本题依托高斯求和公式进行考察，解题思路如下：1. 第(1)问直接利用题目给出的前n个正整数求和公式$\frac{n(n+1)}{2}$，分别将n=8、n=15代入计算即可得到对应行数的点数和，直接写出通用公式即可；2. 第(2)问属于已知和求n的问题，只需令求和公式等于对应数值，列出一元二次方程求解，注意n代表行数，必须为正整数，不符合的根要舍去，第②小问求出方程根后判断是否为正整数即可得出结论。
【解析】
(1) 由题意得前n行点数和为$1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$：
当$n=8$时，前8行点数和为$\frac{8×(8+1)}{2}=36$；
当$n=15$时，前15行点数和为$\frac{15×(15+1)}{2}=120$；
故前n行点数和为$\frac{n(n+1)}{2}$。
(2) ① 由题意列方程：$\frac{n(n+1)}{2}=325$，
整理得$n^2+n-650=0$，
因式分解得$(n-25)(n+26)=0$，
解得$n_1=25$，$n_2=-26$，
∵n为正整数，
∴舍去$n=-26$，即$n=25$。
② 不能，理由如下：
假设前n行点数和能为900，列方程得$\frac{n(n+1)}{2}=900$，
整理得$n^2+n-1800=0$，
计算判别式$\Delta=1^2-4×1×(-1800)=7201$，
∵$\sqrt{7201}$不是整数，即该方程无正整数解，不符合行数n为正整数的要求，因此前n行的点数之和不能是900。
【答案】
(1) 36；120；$\frac{n(n+1)}{2}$
(2) ① 25；② 不能
【知识点】
高斯求和公式；一元二次方程求解；实际问题根的检验
【点评】
本题以经典的高斯求和为背景，将数列求和与一元二次方程的应用结合考察，难度不大，解题时需要注意行数n为正整数这个隐含条件，求解方程后必须检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
【运用】(3)某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放
20
排.答案
2.(3) 20
解析
【分析】
这是一道结合规律探究与一元二次方程应用的题目，解题思路如下：首先根据每排花盆的摆放规律，推导得出前n排总花盆数的求和表达式；再结合总花盆数为420盆的已知条件列方程；最后求解方程，并结合排数为正整数的实际意义筛选出符合要求的根即可。
【解析】
解：设一共能摆放$n$排。
根据摆放规律，前$n$排总花盆数为各排花盆数之和，可得等式：
$2 + 4 + 6 + \dots + 2n = 420$
对左侧式子提取公因数2，化简得：
$2×(1+2+3+\dots+n) = 420$
即$1+2+3+\dots+n = 210$
根据连续正整数求和公式$1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，代入得：
$\frac{n(n+1)}{2} = 210$
整理为一元二次方程标准形式：
$n^2 + n - 420 = 0$
因式分解得：$(n+21)(n-20)=0$
解得：$n_1=20$，$n_2=-21$
因为排数不能为负数，所以舍去$n=-21$，即$n=20$。
【答案】
20
【知识点】
规律探究、一元二次方程的应用、数列求和
【点评】
本题将摆放规律探究和一元二次方程的实际应用结合，解题关键是先根据规律写出总花盆数的表达式，再结合已知条件列方程求解，注意要结合实际意义舍去不符合要求的方程根。
【难度系数】
0.7
这是一道结合规律探究与一元二次方程应用的题目，解题思路如下：首先根据每排花盆的摆放规律，推导得出前n排总花盆数的求和表达式；再结合总花盆数为420盆的已知条件列方程；最后求解方程，并结合排数为正整数的实际意义筛选出符合要求的根即可。
【解析】
解：设一共能摆放$n$排。
根据摆放规律，前$n$排总花盆数为各排花盆数之和，可得等式：
$2 + 4 + 6 + \dots + 2n = 420$
对左侧式子提取公因数2，化简得：
$2×(1+2+3+\dots+n) = 420$
即$1+2+3+\dots+n = 210$
根据连续正整数求和公式$1+2+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$，代入得：
$\frac{n(n+1)}{2} = 210$
整理为一元二次方程标准形式：
$n^2 + n - 420 = 0$
因式分解得：$(n+21)(n-20)=0$
解得：$n_1=20$，$n_2=-21$
因为排数不能为负数，所以舍去$n=-21$，即$n=20$。
【答案】
20
【知识点】
规律探究、一元二次方程的应用、数列求和
【点评】
本题将摆放规律探究和一元二次方程的实际应用结合，解题关键是先根据规律写出总花盆数的表达式，再结合已知条件列方程求解，注意要结合实际意义舍去不符合要求的方程根。
【难度系数】
0.7
