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12.已知某产品的进货价为70元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件。为吸引客流量，该商家承诺自家商品价格永远不会超过99元/件。
（1）当销售量为30件时，产品售价为多少？
（2）求出日销售量y（单位：件）关于售价x（单位：元/件）的函数解析式，并写出x的取值范围。
（3）该产品的售价每件定为多少元时，商家每天可盈利1200元？
（1）当销售量为30件时，产品售价为多少？
（2）求出日销售量y（单位：件）关于售价x（单位：元/件）的函数解析式，并写出x的取值范围。
（3）该产品的售价每件定为多少元时，商家每天可盈利1200元？
答案
(1) 105 元/件
(2) $y=-2x+240(70≤ x≤99)$
(3) 每件定为 90 元.
(2) $y=-2x+240(70≤ x≤99)$
(3) 每件定为 90 元.
解析
【分析】
（1）首先明确销量和售价的变化规律：售价每降1元，日销量增加2件。已知基础销量为20件，先算出销量增长的数量，对应求出降价的总金额，再用原售价110元减去降价金额就能得到当前售价。
（2）求一次函数解析式时，先表示出售价为x元时相比110元的降价幅度，对应算出增加的销量，再加上基础销量20件，整理即可得到y与x的函数关系；再结合“售价不低于进货价、最高不超过99元”的限制，确定x的取值范围。
（3）销售盈利的核心等量关系为“总盈利=单件利润×日销售量”，单件利润为(x-70)元，日销售量代入第二问得到的函数表达式，令总盈利等于1200元列一元二次方程，求解后结合x的取值范围舍去不符合题意的根即可。
【解析】
（1）当销售量为30件时，相比基础销量增加的数量为：$30-20=10$（件）
已知售价每降低1元日销量增加2件，因此总降价金额为：$10÷2=5$（元）
此时产品售价为：$110-5=105$（元/件）
（2）当售价为x元/件时，相比110元降低了$(110-x)$元，因此日销量增加$2(110-x)$件，可得：
$y=20+2(110-x)$
整理得：$y=-2x+240$
结合题意，售价不能低于进货价70元，且不能超过99元，因此x的取值范围为$70≤x≤99$
即日销售量的函数解析式为$y=-2x+240(70≤ x≤99)$
（3）设售价为x元时每天可盈利1200元，根据总盈利的等量关系列方程：
$(x-70)(-2x+240)=1200$
展开整理得：
$-2x^2+380x-16800=1200$
$x^2-190x+9000=0$
因式分解得：$(x-90)(x-100)=0$
解得：$x_1=90$，$x_2=100$
∵售价不得超过99元，
∴$x=100$不符合题意，舍去
因此售价定为90元/件时，商家每天可盈利1200元
【答案】
(1) 105 元/件
(2) $y=-2x+240(70≤ x≤99)$
(3) 每件定为 90 元
【知识点】
一次函数的应用；一元二次方程的应用；销售利润问题
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题的核心是理清售价、销量、利润三者之间的数量关系，列函数或方程求解时要注意题干的限制条件，求出结果后需检验是否符合实际意义，避免出现不合题意的解。
【难度系数】
0.65
（1）首先明确销量和售价的变化规律：售价每降1元，日销量增加2件。已知基础销量为20件，先算出销量增长的数量，对应求出降价的总金额，再用原售价110元减去降价金额就能得到当前售价。
（2）求一次函数解析式时，先表示出售价为x元时相比110元的降价幅度，对应算出增加的销量，再加上基础销量20件，整理即可得到y与x的函数关系；再结合“售价不低于进货价、最高不超过99元”的限制，确定x的取值范围。
（3）销售盈利的核心等量关系为“总盈利=单件利润×日销售量”，单件利润为(x-70)元，日销售量代入第二问得到的函数表达式，令总盈利等于1200元列一元二次方程，求解后结合x的取值范围舍去不符合题意的根即可。
【解析】
（1）当销售量为30件时，相比基础销量增加的数量为：$30-20=10$（件）
已知售价每降低1元日销量增加2件，因此总降价金额为：$10÷2=5$（元）
此时产品售价为：$110-5=105$（元/件）
（2）当售价为x元/件时，相比110元降低了$(110-x)$元，因此日销量增加$2(110-x)$件，可得：
$y=20+2(110-x)$
整理得：$y=-2x+240$
结合题意，售价不能低于进货价70元，且不能超过99元，因此x的取值范围为$70≤x≤99$
即日销售量的函数解析式为$y=-2x+240(70≤ x≤99)$
（3）设售价为x元时每天可盈利1200元，根据总盈利的等量关系列方程：
$(x-70)(-2x+240)=1200$
展开整理得：
$-2x^2+380x-16800=1200$
$x^2-190x+9000=0$
因式分解得：$(x-90)(x-100)=0$
解得：$x_1=90$，$x_2=100$
∵售价不得超过99元，
∴$x=100$不符合题意，舍去
因此售价定为90元/件时，商家每天可盈利1200元
【答案】
(1) 105 元/件
(2) $y=-2x+240(70≤ x≤99)$
(3) 每件定为 90 元
【知识点】
一次函数的应用；一元二次方程的应用；销售利润问题
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题的核心是理清售价、销量、利润三者之间的数量关系，列函数或方程求解时要注意题干的限制条件，求出结果后需检验是否符合实际意义，避免出现不合题意的解。
【难度系数】
0.65
13.根据以下素材,完成任务.
素材1
泥塑,俗称“彩塑”,是我国一种历史悠久、流传广泛的传统民间艺术.某泥塑作坊制作泥塑进行销售,7月份制作泥塑1 000件,同年9月份制作泥塑1 440件.
素材2
泥塑的制作成本为30元/件,销售一段时间后发现,当泥塑售价为40元/件时,月销售量为400件.若在此基础上每件售价每上涨2元,则月销售量将减少20件.
问题解决
任务1
求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率.
任务2
为使月销售利润达到6 000元,而且尽可能让顾客得到实惠,则该泥塑的售价应定为多少元?
素材1
泥塑,俗称“彩塑”,是我国一种历史悠久、流传广泛的传统民间艺术.某泥塑作坊制作泥塑进行销售,7月份制作泥塑1 000件,同年9月份制作泥塑1 440件.
素材2
泥塑的制作成本为30元/件,销售一段时间后发现,当泥塑售价为40元/件时,月销售量为400件.若在此基础上每件售价每上涨2元,则月销售量将减少20件.
问题解决
任务1
求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率.
任务2
为使月销售利润达到6 000元,而且尽可能让顾客得到实惠,则该泥塑的售价应定为多少元?
答案
任务1: 20%
任务2: 50 元/件
任务2: 50 元/件
解析
【分析】
任务1属于平均增长率问题，解题思路为：①明确初始量（7月份制作量1000件）、增长次数（7月到9月共增长2次）、最终量（9月份制作量1440件）；②设月平均增长率为x，根据平均增长率公式“初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量”列一元二次方程；③求解方程，结合增长率为正数的实际意义舍去负根，得到结果。
任务2属于销售利润问题，解题思路为：①明确利润计算公式：总利润=单件利润×销售量；②设售价为y元，先表示出单件利润为(y-30)元，再根据售价和销售量的变化关系，表示出对应销售量；③根据总利润为6000元列方程求解；④结合“尽可能让顾客得到实惠”的要求，选择数值更小的售价根作为最终结果。
【解析】
任务1解答：
设该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率为$ x $。
根据题意列方程：
$ 1000(1+x)^2 = 1440 $
化简得：
$ (1+x)^2 = 1.44 $
开平方得：
$ 1+x = \pm1.2 $
解得：$ x_1 = 0.2 = 20\% $，$ x_2 = -2.2 $（增长率不能为负，舍去）。
任务2解答：
设该泥塑的售价应定为$ y $元/件。
单件利润为$ (y-30) $元，
因为售价每上涨2元，月销量减少20件，即每涨1元销量减少10件，因此售价为$ y $元时，月销售量为：
$ 400 - 10(y-40) = 800 - 10y $
根据总利润为6000元列方程：
$ (y-30)(800-10y) = 6000 $
整理得：
$ y^2 - 110y + 3000 = 0 $
因式分解得：
$ (y-50)(y-60) = 0 $
解得：$ y_1 = 50 $，$ y_2 = 60 $。
因为要尽可能让顾客得到实惠，所以选择更低的售价，即$ y=50 $。
【答案】
任务1：20%；任务2：50元/件
【知识点】
平均增长率问题，销售利润问题，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合传统民间艺术泥塑的实际生产销售场景出题，既考查了一元二次方程在实际问题中的应用能力，也能让学生了解传统文化。解题时需注意结合问题的实际要求对求出的根进行取舍，避免出现不符合题意的答案。
【难度系数】
0.7
任务1属于平均增长率问题，解题思路为：①明确初始量（7月份制作量1000件）、增长次数（7月到9月共增长2次）、最终量（9月份制作量1440件）；②设月平均增长率为x，根据平均增长率公式“初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量”列一元二次方程；③求解方程，结合增长率为正数的实际意义舍去负根，得到结果。
任务2属于销售利润问题，解题思路为：①明确利润计算公式：总利润=单件利润×销售量；②设售价为y元，先表示出单件利润为(y-30)元，再根据售价和销售量的变化关系，表示出对应销售量；③根据总利润为6000元列方程求解；④结合“尽可能让顾客得到实惠”的要求，选择数值更小的售价根作为最终结果。
【解析】
任务1解答：
设该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率为$ x $。
根据题意列方程：
$ 1000(1+x)^2 = 1440 $
化简得：
$ (1+x)^2 = 1.44 $
开平方得：
$ 1+x = \pm1.2 $
解得：$ x_1 = 0.2 = 20\% $，$ x_2 = -2.2 $（增长率不能为负，舍去）。
任务2解答：
设该泥塑的售价应定为$ y $元/件。
单件利润为$ (y-30) $元，
因为售价每上涨2元，月销量减少20件，即每涨1元销量减少10件，因此售价为$ y $元时，月销售量为：
$ 400 - 10(y-40) = 800 - 10y $
根据总利润为6000元列方程：
$ (y-30)(800-10y) = 6000 $
整理得：
$ y^2 - 110y + 3000 = 0 $
因式分解得：
$ (y-50)(y-60) = 0 $
解得：$ y_1 = 50 $，$ y_2 = 60 $。
因为要尽可能让顾客得到实惠，所以选择更低的售价，即$ y=50 $。
【答案】
任务1：20%；任务2：50元/件
【知识点】
平均增长率问题，销售利润问题，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合传统民间艺术泥塑的实际生产销售场景出题，既考查了一元二次方程在实际问题中的应用能力，也能让学生了解传统文化。解题时需注意结合问题的实际要求对求出的根进行取舍，避免出现不符合题意的答案。
【难度系数】
0.7
