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8.象棋作为我国的传统棋类项目,具有悠久的历史和深厚的文化底蕴.九年级(1)班利用课余时间开展象棋比赛,班主任要求每名选手都与其他选手比赛一局,信息如下:
(1)若该班级共有n名参赛选手,则每名选手都要与
(2)这次比赛共有多少名选手参加?
(1)若该班级共有n名参赛选手,则每名选手都要与
$(n-1)$
名选手比赛一局,比赛总共有$\frac{1}{2}n(n-1)$
局.(2)这次比赛共有多少名选手参加?
答案
(1) $(n-1)$ $\frac{1}{2}n(n-1)$ (2) 45名
解析
【分析】
(1) 第一问中，参赛选手不能和自己比赛，因此每名选手的比赛对手数是总人数减1；计算总比赛局数时，每局比赛涉及2名选手，直接用总人数乘每人比赛局数会把每局重复计算1次，因此要除以2得到总局数。
(2) 第二问的解题关键是分析得分规则：无论比赛结果是输赢还是平局，每局比赛两名选手的得分之和恒为2分，因此总得分=总局数×2，结合第一问得到的总局数公式即可列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，就能得到参赛人数。
【解析】
(1) 班级共有n名参赛选手，每名选手需排除自己，因此要和$\boldsymbol{(n-1)}$名选手比赛一局；
总比赛局数：每局比赛被2名选手各计算1次，因此总场次为$\frac{n(n-1)}{2}$，即$\boldsymbol{\frac{1}{2}n(n-1)}$局。
(2) 首先分析得分规则：①分出胜负时，单局总得分=2+0=2分；②平局时，单局总得分=1+1=2分，因此每局比赛总得分恒为2分。
设共有n名选手参加，根据总得分=总局数×2，列方程：
$2× \frac{1}{2}n(n-1)=1980$
化简得：$n^2 -n -1980=0$
因式分解得：$(n-45)(n+44)=0$
解得：$n_1=45$，$n_2=-44$（人数不能为负数，不符合实际，舍去）
因此参赛人数为45名。
【答案】
(1) $(n-1)$；$\frac{1}{2}n(n-1)$
(2) 45名
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；单循环比赛计数
【点评】
本题结合生活中的比赛场景命题，解题的核心是找到每局比赛总得分固定为2分的隐含规律，再结合单循环赛的场数计算公式建立方程，求解时注意要根据实际意义取舍方程的根。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问中，参赛选手不能和自己比赛，因此每名选手的比赛对手数是总人数减1；计算总比赛局数时，每局比赛涉及2名选手，直接用总人数乘每人比赛局数会把每局重复计算1次，因此要除以2得到总局数。
(2) 第二问的解题关键是分析得分规则：无论比赛结果是输赢还是平局，每局比赛两名选手的得分之和恒为2分，因此总得分=总局数×2，结合第一问得到的总局数公式即可列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，就能得到参赛人数。
【解析】
(1) 班级共有n名参赛选手，每名选手需排除自己，因此要和$\boldsymbol{(n-1)}$名选手比赛一局；
总比赛局数：每局比赛被2名选手各计算1次，因此总场次为$\frac{n(n-1)}{2}$，即$\boldsymbol{\frac{1}{2}n(n-1)}$局。
(2) 首先分析得分规则：①分出胜负时，单局总得分=2+0=2分；②平局时，单局总得分=1+1=2分，因此每局比赛总得分恒为2分。
设共有n名选手参加，根据总得分=总局数×2，列方程：
$2× \frac{1}{2}n(n-1)=1980$
化简得：$n^2 -n -1980=0$
因式分解得：$(n-45)(n+44)=0$
解得：$n_1=45$，$n_2=-44$（人数不能为负数，不符合实际，舍去）
因此参赛人数为45名。
【答案】
(1) $(n-1)$；$\frac{1}{2}n(n-1)$
(2) 45名
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；单循环比赛计数
【点评】
本题结合生活中的比赛场景命题，解题的核心是找到每局比赛总得分固定为2分的隐含规律，再结合单循环赛的场数计算公式建立方程，求解时注意要根据实际意义取舍方程的根。
【难度系数】
0.7
9.为助力实现“双碳”目标，某企业大力发展光伏发电装置零件制造.已知该企业生产某种零件的成本为10元/个，且规定该零件的售价不能超过35元/个.经市场调研发现，该零件每星期的销售量$ y $（单位：个）与销售单价$ x $（单位：元/个）之间满足一次函数$ y=-20x+1000 $，若要使该企业每星期销售这种零件可获利6000元，则每个零件的售价应定为（
A.25元
B.20元或40元
C.40元
D.20元
D
）.A.25元
B.20元或40元
C.40元
D.20元
答案
9. D
解析
【分析】
要解决这个销售利润问题，首先明确利润的核心等量关系：总利润=单个零件的利润×销售量。单个零件的利润为销售单价减去成本价，销售量已给出和销售单价的一次函数关系，据此列出一元二次方程，解出方程的根后，结合题目中“售价不能超过35元/个”的限制条件对根进行取舍，即可得到正确售价。
【解析】
根据题意，单个零件的利润为$(x-10)$元，每星期的销售量为$(-20x+1000)$个，总利润为6000元，可列方程：
$(x-10)(-20x+1000)=6000$
展开并整理方程：
$-20x^2 + 1200x - 10000 = 6000$
$x^2 - 60x + 800 = 0$
因式分解得：
$(x-20)(x-40)=0$
解得$x_1=20$，$x_2=40$。
由于售价不能超过35元/个，$40＞35$，因此舍去$x_2=40$，即每个零件的售价应定为20元。
【答案】
D
【知识点】
销售利润问题、一元二次方程求解、实际问题验根
【点评】
本题属于典型的销售类应用题，解题关键是找准总利润的等量关系列方程，同时要注意结合题干的实际限制条件对解得的根进行验证取舍，避免忽略限制条件导致错选。
【难度系数】
0.7
要解决这个销售利润问题，首先明确利润的核心等量关系：总利润=单个零件的利润×销售量。单个零件的利润为销售单价减去成本价，销售量已给出和销售单价的一次函数关系，据此列出一元二次方程，解出方程的根后，结合题目中“售价不能超过35元/个”的限制条件对根进行取舍，即可得到正确售价。
【解析】
根据题意，单个零件的利润为$(x-10)$元，每星期的销售量为$(-20x+1000)$个，总利润为6000元，可列方程：
$(x-10)(-20x+1000)=6000$
展开并整理方程：
$-20x^2 + 1200x - 10000 = 6000$
$x^2 - 60x + 800 = 0$
因式分解得：
$(x-20)(x-40)=0$
解得$x_1=20$，$x_2=40$。
由于售价不能超过35元/个，$40＞35$，因此舍去$x_2=40$，即每个零件的售价应定为20元。
【答案】
D
【知识点】
销售利润问题、一元二次方程求解、实际问题验根
【点评】
本题属于典型的销售类应用题，解题关键是找准总利润的等量关系列方程，同时要注意结合题干的实际限制条件对解得的根进行验证取舍，避免忽略限制条件导致错选。
【难度系数】
0.7
10.某商店统计某品牌头盔的销售量，4月份售出350个，6月份售出504个，假设从4月份到6月份头盔销售量的月增长率相同.
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌的头盔每个应涨价多少元？
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌的头盔每个应涨价多少元？
答案
(1) 20% (2) 5元
解析
【分析】
(1) 本题属于平均增长率问题，核心公式为：初始量×(1+月增长率)ⁿ=第n期后的量。本题中4月销售量为初始量350个，间隔2个月到6月销售量为504个，设月增长率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需对解进行取舍。
(2) 本题属于销售利润问题，核心等量关系为：月销售总利润=单个头盔的利润×月销售量。设每个涨价y元，可得单个利润为(10+y)元，月销售量随涨价减少20y个，即(500-20y)个，代入等量关系列方程求解，结合“尽可能让顾客得到实惠”的要求，选取较小的正根即可。
【解析】
(1) 设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意得：
$350(1+x)^2=504$
两边同时除以350得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，舍去）
(2) 设该品牌的头盔每个应涨价y元，根据题意得：
$(10+y)(500-20y)=6000$
展开整理得：$y^2-15y+50=0$
因式分解得：$(y-5)(y-10)=0$
解得：$y_1=5$，$y_2=10$
∵要尽可能让顾客得到实惠，涨价越少越优惠
∴应取$y=5$
【答案】
(1) 20%；(2) 5元
【知识点】
一元二次方程的应用、平均增长率问题、销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，解题的关键是找准不同场景下的等量关系列方程，特别注意求解后要结合题目的实际限制条件对根进行取舍，避免出现多解错选的情况。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于平均增长率问题，核心公式为：初始量×(1+月增长率)ⁿ=第n期后的量。本题中4月销售量为初始量350个，间隔2个月到6月销售量为504个，设月增长率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需对解进行取舍。
(2) 本题属于销售利润问题，核心等量关系为：月销售总利润=单个头盔的利润×月销售量。设每个涨价y元，可得单个利润为(10+y)元，月销售量随涨价减少20y个，即(500-20y)个，代入等量关系列方程求解，结合“尽可能让顾客得到实惠”的要求，选取较小的正根即可。
【解析】
(1) 设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意得：
$350(1+x)^2=504$
两边同时除以350得：$(1+x)^2=1.44$
开平方得：$1+x=\pm1.2$
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，舍去）
(2) 设该品牌的头盔每个应涨价y元，根据题意得：
$(10+y)(500-20y)=6000$
展开整理得：$y^2-15y+50=0$
因式分解得：$(y-5)(y-10)=0$
解得：$y_1=5$，$y_2=10$
∵要尽可能让顾客得到实惠，涨价越少越优惠
∴应取$y=5$
【答案】
(1) 20%；(2) 5元
【知识点】
一元二次方程的应用、平均增长率问题、销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题型，解题的关键是找准不同场景下的等量关系列方程，特别注意求解后要结合题目的实际限制条件对根进行取舍，避免出现多解错选的情况。
【难度系数】
0.7
11.某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（单位：件）与每件售价x（单位：元）满足一次函数关系，部分数据如下表所示.
(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由.
(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围).
(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由.
答案
(1) $y=-x+100$
(2) 该商品日销售额不能达到 2 600 元.理由略.
(2) 该商品日销售额不能达到 2 600 元.理由略.
解析
【分析】
(1) 已知日销售量y是售价x的一次函数，因此可设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，从表格中选取两组x、y的对应值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值，进而得到函数解析式。
(2) 日销售额=每件售价×日销售量，若日销售额为2600元，可列方程$xy=2600$，将第(1)问得到的y关于x的解析式代入，得到一元二次方程，通过计算方程根的判别式判断方程是否有实数根，即可判断日销售额能否达到2600元。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$\begin{cases}x=45\\y=55\end{cases}$和$\begin{cases}x=55\\y=45\end{cases}$代入解析式，得：
$\begin{cases}45k + b = 55 \\55k + b = 45\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$10k=-10$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$45k + b = 55$，得$-45 + b =55$，解得$b=100$，
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=-x+100$。
(2) 假设该商品日销售额能达到2600元，根据题意列方程：
$x· y=2600$
将$y=-x+100$代入上式，得：
$x(-x+100)=2600$
整理得$x^2 -100x +2600=0$，
计算根的判别式：$\Delta=(-100)^2 -4×1×2600=10000-10400=-400＜0$，
因此该一元二次方程没有实数根，即不存在满足条件的售价$x$，
所以该商品日销售额不能达到2600元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-x+100}$
(2) 该商品日销售额不能达到2600元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程销售应用；根的判别式应用
【点评】
本题是一次函数与一元二次方程结合的实际应用题型，核心是先通过已知数据求出函数关系，再将实际销售问题转化为方程问题求解，解题时注意利用判别式判断方程解的情况来解答实际问题，是销售类应用题的典型考法。
【难度系数】
0.7
(1) 已知日销售量y是售价x的一次函数，因此可设一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，从表格中选取两组x、y的对应值代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值，进而得到函数解析式。
(2) 日销售额=每件售价×日销售量，若日销售额为2600元，可列方程$xy=2600$，将第(1)问得到的y关于x的解析式代入，得到一元二次方程，通过计算方程根的判别式判断方程是否有实数根，即可判断日销售额能否达到2600元。
【解析】
(1) 设$y$关于$x$的一次函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$\begin{cases}x=45\\y=55\end{cases}$和$\begin{cases}x=55\\y=45\end{cases}$代入解析式，得：
$\begin{cases}45k + b = 55 \\55k + b = 45\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$10k=-10$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$45k + b = 55$，得$-45 + b =55$，解得$b=100$，
因此$y$关于$x$的函数解析式为$y=-x+100$。
(2) 假设该商品日销售额能达到2600元，根据题意列方程：
$x· y=2600$
将$y=-x+100$代入上式，得：
$x(-x+100)=2600$
整理得$x^2 -100x +2600=0$，
计算根的判别式：$\Delta=(-100)^2 -4×1×2600=10000-10400=-400＜0$，
因此该一元二次方程没有实数根，即不存在满足条件的售价$x$，
所以该商品日销售额不能达到2600元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-x+100}$
(2) 该商品日销售额不能达到2600元。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程销售应用；根的判别式应用
【点评】
本题是一次函数与一元二次方程结合的实际应用题型，核心是先通过已知数据求出函数关系，再将实际销售问题转化为方程问题求解，解题时注意利用判别式判断方程解的情况来解答实际问题，是销售类应用题的典型考法。
【难度系数】
0.7
