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1.(2025·广东)广东省统计局的相关数据显示,近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元,7月产值增至9 100万元.设该公司6,7两个月产值的月均增长率为$x$,可列出的方程为(
A.$2\ 500(1+x)^2=9\ 100$
B.$2\ 500(1-x)^2=9\ 100$
C.$2\ 500(1-2x)^2=9\ 100$
D.$2\ 500(1+2x)^2=9\ 100$
A
).A.$2\ 500(1+x)^2=9\ 100$
B.$2\ 500(1-x)^2=9\ 100$
C.$2\ 500(1-2x)^2=9\ 100$
D.$2\ 500(1+2x)^2=9\ 100$
答案
1. A
解析
【分析】
本题为平均增长率类的列方程问题，解题思路如下：首先确定三个核心量：初始值为5月的产值2500万元，月均增长率为x，最终值为7月的产值9100万元；再确定增长次数：从5月到7月共经历2次增长。根据平均增长率的计算规律，每增长1次，数值变为原来的(1+x)倍，增长2次就需要乘2次(1+x)，也就是(1+x)²，据此即可列出对应方程，匹配选项得到答案。
【解析】
已知5月产值为2500万元，月均增长率为x：
第一步：计算6月产值，6月是在5月基础上增长x，因此6月产值 = $2500(1+x)$ 万元；
第二步：计算7月产值，7月是在6月基础上再增长x，因此7月产值 = $2500(1+x) × (1+x) = 2500(1+x)^2$ 万元；
第三步：结合题干给出的7月产值为9100万元，可列方程：$2500(1+x)^2 = 9100$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率问题、列一元二次方程
【点评】
本题是平均增长率问题的基础考查题型，解题关键是找准初始量、最终量和增长次数，牢记平均增长率的通用公式：$初始量×(1+增长率)^n = 最终量$（n为增长次数），注意不要混淆增长次数，也不要误将增长率写成下降率的形式。
【难度系数】
0.8
本题为平均增长率类的列方程问题，解题思路如下：首先确定三个核心量：初始值为5月的产值2500万元，月均增长率为x，最终值为7月的产值9100万元；再确定增长次数：从5月到7月共经历2次增长。根据平均增长率的计算规律，每增长1次，数值变为原来的(1+x)倍，增长2次就需要乘2次(1+x)，也就是(1+x)²，据此即可列出对应方程，匹配选项得到答案。
【解析】
已知5月产值为2500万元，月均增长率为x：
第一步：计算6月产值，6月是在5月基础上增长x，因此6月产值 = $2500(1+x)$ 万元；
第二步：计算7月产值，7月是在6月基础上再增长x，因此7月产值 = $2500(1+x) × (1+x) = 2500(1+x)^2$ 万元；
第三步：结合题干给出的7月产值为9100万元，可列方程：$2500(1+x)^2 = 9100$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均增长率问题、列一元二次方程
【点评】
本题是平均增长率问题的基础考查题型，解题关键是找准初始量、最终量和增长次数，牢记平均增长率的通用公式：$初始量×(1+增长率)^n = 最终量$（n为增长次数），注意不要混淆增长次数，也不要误将增长率写成下降率的形式。
【难度系数】
0.8
2.某超市第一季度中，1月的营业额为200万元，2月和3月的总营业额为1 000万元，如果平均每月增长率为x，由题意可列出的方程为(
A.$200(1+x)^2=1\ 000$
B.$200+200×2x=1\ 000$
C.$200(1+x)+200(1+x)^2=1\ 000$
D.$200+200(1+x)+200(1+x)^2=1\ 000$
C
).A.$200(1+x)^2=1\ 000$
B.$200+200×2x=1\ 000$
C.$200(1+x)+200(1+x)^2=1\ 000$
D.$200+200(1+x)+200(1+x)^2=1\ 000$
答案
2. C
解析
【分析】
这是平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步明确平均增长率的数量关系：若初始量为a，每期增长率为x，则第1次增长后量为a(1+x)，第2次增长后量为a(1+x)²；第二步根据题干条件分别表示出2月、3月的营业额；第三步根据“2月和3月总营业额为1000万元”的等量关系列方程，再匹配选项即可。解题时要注意审题，明确统计的是哪几个月的营业额之和，避免误加1月营业额。
【解析】
解：已知1月营业额为200万元，平均每月增长率为x：
1. 计算2月营业额：2月是1月增长x后的金额，即$\boldsymbol{200(1+x)}$万元；
2. 计算3月营业额：3月是在2月营业额基础上再增长x，即$200(1+x) × (1+x) = \boldsymbol{200(1+x)^2}$万元；
3. 根据题意，2月和3月的总营业额为1000万元，因此列方程：
$200(1+x) + 200(1+x)^2 = 1000$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均变化率的基础应用题，解题核心是掌握增长率的数量公式，同时要仔细审题，明确求和的月份范围，避免因粗心误将1月营业额加入总和选错答案。
【难度系数】
0.8
这是平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步明确平均增长率的数量关系：若初始量为a，每期增长率为x，则第1次增长后量为a(1+x)，第2次增长后量为a(1+x)²；第二步根据题干条件分别表示出2月、3月的营业额；第三步根据“2月和3月总营业额为1000万元”的等量关系列方程，再匹配选项即可。解题时要注意审题，明确统计的是哪几个月的营业额之和，避免误加1月营业额。
【解析】
解：已知1月营业额为200万元，平均每月增长率为x：
1. 计算2月营业额：2月是1月增长x后的金额，即$\boldsymbol{200(1+x)}$万元；
2. 计算3月营业额：3月是在2月营业额基础上再增长x，即$200(1+x) × (1+x) = \boldsymbol{200(1+x)^2}$万元；
3. 根据题意，2月和3月的总营业额为1000万元，因此列方程：
$200(1+x) + 200(1+x)^2 = 1000$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平均增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均变化率的基础应用题，解题核心是掌握增长率的数量公式，同时要仔细审题，明确求和的月份范围，避免因粗心误将1月营业额加入总和选错答案。
【难度系数】
0.8
3.某超市以每袋10元的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元，每天可售出200袋；若售价每降低1元，则可多售出80袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1 440元？若设每袋粽子售价降低x元，则可列方程为（
A.$(16-x-10)(200+80x)=1\ 440$
B.$(16-x)(200+80x)=1\ 440$
C.$(16-x-10)(200-80x)=1\ 440$
D.$(16-x)(200-80x)=1\ 440$
A
）.A.$(16-x-10)(200+80x)=1\ 440$
B.$(16-x)(200+80x)=1\ 440$
C.$(16-x-10)(200-80x)=1\ 440$
D.$(16-x)(200-80x)=1\ 440$
答案
3. A
解析
【分析】
首先明确销售利润问题的核心等量关系：总利润=单件商品的利润×销售总数量。解题时需要分别找到降价后单件粽子的利润、降价后的总销售量两个量，再结合总利润为1440元列方程即可。第一步算单件利润：已知进价10元，原售价16元，降价x元后实际售价为(16-x)元，因此单件利润=实际售价-进价，即(16-x-10)元；第二步算销售量：原销量200袋，每降1元多售80袋，降价x元后多售出80x袋，因此总销量为(200+80x)袋；最后将两个量相乘等于总利润1440元，即可得到对应方程。
【解析】
根据销售利润的计算公式：$\mathrm{总利润} = \mathrm{单件利润} × \mathrm{总销售量}$
1. 计算降价后单件粽子的利润：
进价为10元，降价x元后售价为$(16-x)$元，因此单件利润为：$(16 - x - 10)$元
2. 计算降价后的总销售量：
原销量为200袋，每降价1元多售出80袋，降价x元后多售出80x袋，因此总销售量为：$(200 + 80x)$袋
3. 结合总利润为1440元，列方程得：
$(16 - x - 10)(200 + 80x) = 1440$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是销售类方程应用的常规题型，解题关键是准确梳理降价前后单件利润、销售量的变化，正确写出两个对应量的表达式，再结合总利润的等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.8
首先明确销售利润问题的核心等量关系：总利润=单件商品的利润×销售总数量。解题时需要分别找到降价后单件粽子的利润、降价后的总销售量两个量，再结合总利润为1440元列方程即可。第一步算单件利润：已知进价10元，原售价16元，降价x元后实际售价为(16-x)元，因此单件利润=实际售价-进价，即(16-x-10)元；第二步算销售量：原销量200袋，每降1元多售80袋，降价x元后多售出80x袋，因此总销量为(200+80x)袋；最后将两个量相乘等于总利润1440元，即可得到对应方程。
【解析】
根据销售利润的计算公式：$\mathrm{总利润} = \mathrm{单件利润} × \mathrm{总销售量}$
1. 计算降价后单件粽子的利润：
进价为10元，降价x元后售价为$(16-x)$元，因此单件利润为：$(16 - x - 10)$元
2. 计算降价后的总销售量：
原销量为200袋，每降价1元多售出80袋，降价x元后多售出80x袋，因此总销售量为：$(200 + 80x)$袋
3. 结合总利润为1440元，列方程得：
$(16 - x - 10)(200 + 80x) = 1440$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 销售利润计算
2. 一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是销售类方程应用的常规题型，解题关键是准确梳理降价前后单件利润、销售量的变化，正确写出两个对应量的表达式，再结合总利润的等量关系列方程即可。
【难度系数】
0.8
4.某中学九年级(2)班学生毕业时，老师要求每位同学给班上其他同学写一条毕业祝福语，全班共写了2070条祝福语，问九年级(2)班共有多少名学生？设九年级(2)班共有x名学生，则可列方程为(
A.$x^2 = 2070$
B.$x(x+1) = 2070$
C.$\frac{1}{2}x(x-1) = 2070$
D.$x(x-1) = 2070$
D
)。A.$x^2 = 2070$
B.$x(x+1) = 2070$
C.$\frac{1}{2}x(x-1) = 2070$
D.$x(x-1) = 2070$
答案
4. D
解析
【分析】
解题时首先明确数量关系：①每名学生需要给班上除自己外的其他同学写祝福语，因此单人需写(x-1)条；②总祝福语数量=学生人数×单人写的祝福语数量，注意本题中“给其他同学写祝福语”是单向行为，甲给乙写和乙给甲写是两条独立的祝福语，不存在重复计数，因此不需要除以2，结合总条数为2070即可列出对应方程，匹配选项。
【解析】
解：设九年级(2)班共有x名学生。
每名学生需要给除自身外的(x-1)名同学各写1条祝福语，即每名学生写(x-1)条；
全班x名学生写的祝福语总条数为$x(x-1)$条；
已知全班共写了2070条，因此可列方程为$x(x-1) = 2070$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；计数问题
【点评】
本题属于方程实际应用的基础题型，解题的核心是区分单向传递（如送贺卡、写祝福语）和双向互动（如握手、击掌）的计数差异，前者无需除以2，后者需要除以2，避免混淆导致错选。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确数量关系：①每名学生需要给班上除自己外的其他同学写祝福语，因此单人需写(x-1)条；②总祝福语数量=学生人数×单人写的祝福语数量，注意本题中“给其他同学写祝福语”是单向行为，甲给乙写和乙给甲写是两条独立的祝福语，不存在重复计数，因此不需要除以2，结合总条数为2070即可列出对应方程，匹配选项。
【解析】
解：设九年级(2)班共有x名学生。
每名学生需要给除自身外的(x-1)名同学各写1条祝福语，即每名学生写(x-1)条；
全班x名学生写的祝福语总条数为$x(x-1)$条；
已知全班共写了2070条，因此可列方程为$x(x-1) = 2070$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；计数问题
【点评】
本题属于方程实际应用的基础题型，解题的核心是区分单向传递（如送贺卡、写祝福语）和双向互动（如握手、击掌）的计数差异，前者无需除以2，后者需要除以2，避免混淆导致错选。
【难度系数】
0.8
5.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场.设共有x队参加比赛，则下列方程符合题意的是(
A.$\frac{1}{2}x(x+1)=90$
B.$x(x+1)=90$
C.$\frac{1}{2}x(x-1)=90$
D.$x(x-1)=90$
D
).A.$\frac{1}{2}x(x+1)=90$
B.$x(x+1)=90$
C.$\frac{1}{2}x(x-1)=90$
D.$x(x-1)=90$
答案
5. D
解析
【分析】
这是一道一元二次方程应用的比赛计数问题，解题时首先要明确赛制：题目规定每两队之间进行两场比赛，属于双循环赛制。首先思考：若有x支队伍，每支队伍需要和除自身外的其余(x-1)支队伍对阵，双循环赛制下每两队的两次对阵不需要去除重复计数，直接用队伍数乘以每队的对阵数就能得到总比赛场次，再结合总场次为90场即可列出对应方程。
【解析】
设共有x队参加比赛。
每支队伍需要与除自己之外的(x-1)支队伍比赛，因为每两队之间要进行两场比赛（不存在重复计数的情况），因此总比赛场次为x(x-1)场。
已知共要比赛90场，因此可列方程：$x(x-1)=90$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 双循环比赛计数
【点评】
本题是比赛类计数的典型应用题，解题核心是区分单循环和双循环赛制的计数规则：单循环赛制每两队仅赛1场，需要除以2去除重复计数，双循环赛制每两队赛2场，无需除以2，掌握两类赛制的区别即可快速解题。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程应用的比赛计数问题，解题时首先要明确赛制：题目规定每两队之间进行两场比赛，属于双循环赛制。首先思考：若有x支队伍，每支队伍需要和除自身外的其余(x-1)支队伍对阵，双循环赛制下每两队的两次对阵不需要去除重复计数，直接用队伍数乘以每队的对阵数就能得到总比赛场次，再结合总场次为90场即可列出对应方程。
【解析】
设共有x队参加比赛。
每支队伍需要与除自己之外的(x-1)支队伍比赛，因为每两队之间要进行两场比赛（不存在重复计数的情况），因此总比赛场次为x(x-1)场。
已知共要比赛90场，因此可列方程：$x(x-1)=90$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 双循环比赛计数
【点评】
本题是比赛类计数的典型应用题，解题核心是区分单循环和双循环赛制的计数规则：单循环赛制每两队仅赛1场，需要除以2去除重复计数，双循环赛制每两队赛2场，无需除以2，掌握两类赛制的区别即可快速解题。
【难度系数】
0.7
6.俗语有云:一天不练手脚慢,两天不练丢一半,三天不练门外汉,四天不练瞪眼看.其大意为:知识和技艺在学习后,如果不及时复习,那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比为$x$,根据“两天不练丢一半”,可列方程(
A.$(1-x)^2=50\%$
B.$(1+x)^2=50\%$
C.$1-2x=50\%$
D.$(1-x)(1+x)=50\%$
A
).A.$(1-x)^2=50\%$
B.$(1+x)^2=50\%$
C.$1-2x=50\%$
D.$(1-x)(1+x)=50\%$
答案
6. A
解析
【分析】
解决这道题首先要明确平均变化率问题的思考逻辑：第一步确定变化类型，本题是“遗忘”即知识量减少，所以每天剩余的知识比例为(1-遗忘率x)；第二步确定变化次数，题干要求的是两天后的情况，即连续变化2次；第三步理解“丢一半”的含义，指两天后剩余的知识量是最初的50%，结合以上三点就能列出对应方程。
【解析】
将最初掌握的知识总量看作单位1：
1. 第一天结束后，遗忘了x，剩余知识量为原来的$1-x$；
2. 第二天结束后，是在第一天剩余知识量的基础上再遗忘x，因此剩余知识量为$(1-x)×(1-x)=(1-x)^2$；
3. 根据“两天不练丢一半”，即两天后剩余知识量为最初的50%，可列方程：$(1-x)^2=50\%$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均变化率问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题结合生活化的俗语考查方程应用，解题关键是找准每次变化的基数，区分平均变化和线性变化的区别，属于基础应用型习题，掌握平均变化率的通用公式就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确平均变化率问题的思考逻辑：第一步确定变化类型，本题是“遗忘”即知识量减少，所以每天剩余的知识比例为(1-遗忘率x)；第二步确定变化次数，题干要求的是两天后的情况，即连续变化2次；第三步理解“丢一半”的含义，指两天后剩余的知识量是最初的50%，结合以上三点就能列出对应方程。
【解析】
将最初掌握的知识总量看作单位1：
1. 第一天结束后，遗忘了x，剩余知识量为原来的$1-x$；
2. 第二天结束后，是在第一天剩余知识量的基础上再遗忘x，因此剩余知识量为$(1-x)×(1-x)=(1-x)^2$；
3. 根据“两天不练丢一半”，即两天后剩余知识量为最初的50%，可列方程：$(1-x)^2=50\%$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
平均变化率问题，一元二次方程的实际应用
【点评】
本题结合生活化的俗语考查方程应用，解题关键是找准每次变化的基数，区分平均变化和线性变化的区别，属于基础应用型习题，掌握平均变化率的通用公式就能快速求解。
【难度系数】
0.8
7.某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为
10%
。答案
7. 10%
解析
【分析】
这是平均下调百分率的应用题，解题思路如下：1. 明确平均变化率的数量关系：若原价为a，每次下调的百分率为x，则第一次下调后的价格为$a(1-x)$，第二次下调是在第一次下调后价格的基础上进行的，因此两次下调后的价格为$a(1-x)^2$；2. 结合题目给出的原价、两次下调后的售价，代入关系式列出一元二次方程；3. 求解方程后，结合下调百分率的实际意义（$0＜x＜1$）舍去不合理的根，即可得到结果。
【解析】
解：设平均每次下调的百分率为$ x $，根据题意可列方程：
$ 60(1-x)^2 = 48.6 $
方程两边同时除以60，得：
$ (1-x)^2 = 0.81 $
开平方，得：
$ 1-x = \pm 0.9 $
当$ 1-x = 0.9 $时，解得$ x = 0.1 = 10\% $；
当$ 1-x = -0.9 $时，解得$ x = 1.9 $，不符合下调百分率的实际意义，舍去。
所以平均每次下调的百分率为10%。
【答案】
10%
【知识点】
平均变化率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于典型的平均变化率类实际应用题，核心是掌握两次变化后的量的计算公式，求解方程后要注意结合实际情景对根进行取舍，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.8
这是平均下调百分率的应用题，解题思路如下：1. 明确平均变化率的数量关系：若原价为a，每次下调的百分率为x，则第一次下调后的价格为$a(1-x)$，第二次下调是在第一次下调后价格的基础上进行的，因此两次下调后的价格为$a(1-x)^2$；2. 结合题目给出的原价、两次下调后的售价，代入关系式列出一元二次方程；3. 求解方程后，结合下调百分率的实际意义（$0＜x＜1$）舍去不合理的根，即可得到结果。
【解析】
解：设平均每次下调的百分率为$ x $，根据题意可列方程：
$ 60(1-x)^2 = 48.6 $
方程两边同时除以60，得：
$ (1-x)^2 = 0.81 $
开平方，得：
$ 1-x = \pm 0.9 $
当$ 1-x = 0.9 $时，解得$ x = 0.1 = 10\% $；
当$ 1-x = -0.9 $时，解得$ x = 1.9 $，不符合下调百分率的实际意义，舍去。
所以平均每次下调的百分率为10%。
【答案】
10%
【知识点】
平均变化率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于典型的平均变化率类实际应用题，核心是掌握两次变化后的量的计算公式，求解方程后要注意结合实际情景对根进行取舍，避免出现不符合常识的结果。
【难度系数】
0.8
