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1. 下列方程是二元一次方程的为 (
A.$ x - xy = 1 $
B.$ x^{2} - y - 2x = 1 $
C.$ 3x - y = 1 $
D.$ \frac{1}{x} - 2y = 1 $
C
)A.$ x - xy = 1 $
B.$ x^{2} - y - 2x = 1 $
C.$ 3x - y = 1 $
D.$ \frac{1}{x} - 2y = 1 $
答案
1. C
2. (教材 P88 练习 1 变式)下列 4 组数中，不是二元一次方程 $ 2x + y = 4 $ 的解的为 (
A.$ \begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x = 2, \\ y = 0 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x = 0.5, \\ y = 3 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x = -2, \\ y = 4 \end{cases} $
D
)A.$ \begin{cases} x = 1, \\ y = 2 \end{cases} $
B.$ \begin{cases} x = 2, \\ y = 0 \end{cases} $
C.$ \begin{cases} x = 0.5, \\ y = 3 \end{cases} $
D.$ \begin{cases} x = -2, \\ y = 4 \end{cases} $
答案
2. D
3. (2025·四川南充)我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……问物几何?”意思如下：有一些物体不知个数，每 3 个一数，剩余 2 个；每 5 个一数，剩余 3 个……问这些物体共有多少个?设 3 个一数共数了 $ x $ 次，5 个一数共数了 $ y $ 次，其中 $ x $，$ y $ 为正整数，则依题意可列方程为 (
A.$ 3x + 2 = 5y + 3 $
B.$ 5x + 2 = 3y + 3 $
C.$ 3x - 2 = 5y - 3 $
D.$ 5x - 2 = 3y - 3 $
A
)A.$ 3x + 2 = 5y + 3 $
B.$ 5x + 2 = 3y + 3 $
C.$ 3x - 2 = 5y - 3 $
D.$ 5x - 2 = 3y - 3 $
答案
3. A
4. 已知二元一次方程 $ x + 3y = 14 $，请写出该方程的一组整数解：.
答案
4. (答案不唯一) $\begin{cases}x = 2,\\y = 4\end{cases}$
5. 已知 $ \begin{cases}x = 1, \\ y = 2\end{cases}$ 是方程 $ ax + by = 3 $ 的解，则代数式 $ 2a + 4b - 5 $ 的值为 ______ .
答案
5. 1
6. (2024·黑龙江齐齐哈尔改编)校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出 200 元钱全部用于购买单价分别为 8 元/本和 10 元/本的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则不同的购买方案有
4
种.答案
6. 4 解析:设单价为 8 元/本的笔记本购买 x 本,单价为 10 元/本的笔记本购买 y 本. 由题意,得 $8x + 10y = 200$,即 $4x + 5y = 100$. 因为 x,y 均为正整数,所以 $\begin{cases}x = 5,\\y = 16\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 10,\\y = 12\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 15,\\y = 8\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 20,\\y = 4.\end{cases}$ 故不同的购买方案有 4 种.
7. 已知关于 $ x $，$ y $ 的方程 $ (|m| - 2)x^{2} + (m + 2)x + (m + 6)y = m + 5 $.
(1) 当 $ m $ 为何值时，它是关于 $ y $ 的一元一次方程? 并解这个方程；
(2) 当 $ m $ 为何值时，它是关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程? 并求代数式 $ (m^{2})^{3} - 2m $ 的值.
(1) 当 $ m $ 为何值时，它是关于 $ y $ 的一元一次方程? 并解这个方程；
(2) 当 $ m $ 为何值时，它是关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程? 并求代数式 $ (m^{2})^{3} - 2m $ 的值.
答案
7. (1) 由题意,得 $|m| - 2 = 0$,且 $m + 2 = 0,m + 6 ≠ 0$,解得 $m = - 2$,此时原方程可化为 $4y = 3$,解得 $y = \frac{3}{4}$. 故当 $m = - 2$ 时,这个方程是关于 y 的一元一次方程,且这个方程的解为 $y = \frac{3}{4}$.
(2) 由题意,得 $|m| - 2 = 0$ 且 $m + 2 ≠ 0,m + 6 ≠ 0$,解得 $m = 2$. 故当 $m = 2$ 时,这个方程是关于 x,y 的二元一次方程. 当 $m = 2$ 时,$(m^{2})^{3} - 2m = m^{6} - 2m = 2^{6} - 2 × 2 = 60$.
(2) 由题意,得 $|m| - 2 = 0$ 且 $m + 2 ≠ 0,m + 6 ≠ 0$,解得 $m = 2$. 故当 $m = 2$ 时,这个方程是关于 x,y 的二元一次方程. 当 $m = 2$ 时,$(m^{2})^{3} - 2m = m^{6} - 2m = 2^{6} - 2 × 2 = 60$.
8. 若 $ 2x^{|k|} + (k - 1)y = 3 $ 是关于 $ x $，$ y $ 的二元一次方程，则 $ k $ 的值为 (
A.$ -1 $
B.$ 1 $
C.$ 1 $ 或 $ -1 $
D.$ 0 $
A
)A.$ -1 $
B.$ 1 $
C.$ 1 $ 或 $ -1 $
D.$ 0 $
答案
8. A
9. 若 $ \begin{cases}x = a, \\ y = b\end{cases}(a ≠ 0) $ 是方程 $ 2x + y = 0 $ 的一个解，则下列结论正确的是 ( )
A.$ a $ 和 $ b $ 同号
B.$ a $ 和 $ b $ 异号
C.$ a $ 和 $ b $ 可能同号也可能异号
D.$ a ≠ 0 $，$ b = 0 $
A.$ a $ 和 $ b $ 同号
B.$ a $ 和 $ b $ 异号
C.$ a $ 和 $ b $ 可能同号也可能异号
D.$ a ≠ 0 $，$ b = 0 $
答案
9. B
