10. (2024·四川宜宾)某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装 4 kg 荔枝，每个小箱装 3 kg 荔枝.该果农现采摘有 32 kg 荔枝，根据市场销售需求，大箱和小箱都要装满，则所装的箱数最多为 ()

A.8
B.9
C.10
D.11

10. C 解析:设大箱装 x 箱,小箱装 y 箱. 由题意,得 $4x + 3y = 32$. 因为 x,y 均为自然数,所以 $\begin{cases}x = 2,\\y = 8\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 5,\\y = 4\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 8,\\y = 0.\end{cases}$ 因为 $2 + 8 = 10$(箱),$5 + 4 = 9$(箱),$8 + 0 = 8$(箱),且 $10 ＞ 9 ＞ 8$,所以所装的箱数最多为 10.
·易错警示·
注意列出正确的方程并找出所有的解.

11. 已知 $ \begin{cases}x = 2, \\ y = m\end{cases}$ 是方程 $ 3x + 2y = 10 $ 的一个解，则 $ m $ 的值是 ______ .

11. 2

12. (2025·江苏淮安期末)方程 $ 3x + 2y = 12 $ 的非负整数解有组.

12. 3

13. 新素养 推理能力 由若干个圆组成的形如三角形的图案如图所示，每条边(包括两个顶点)有 $ n(n ＞ 1) $ 个圆，每个图案中圆的总数为 $ s $.按此规律推断，以 $ s $，$ n $ 为未知数的二元一次方程为.

13. $s - 3n + 3 = 0$ 解析:当 $n = 2$ 时,$s = 3 = 3 × 2 - 3$;当 $n = 3$ 时,$s = 6 = 3 × 3 - 3$;当 $n = 4$ 时,$s = 9 = 3 × 4 - 3······$ 依此类推,$s = 3n - 3$,即以 s,n 为未知数的二元一次方程为 $s - 3n + 3 = 0$.

14. 在某网店促销活动中，王阿姨计划用 1 000 元恰好购买每件售价分别为 80 元和 120 元的两种商品，则有几种不同的购买方案可供王阿姨选择? (两种商品都要购买)

14. 设王阿姨购买每件售价为 80 元的商品 x 件,购买每件售价为 120 元的商品 y 件. 由题意,得 $80x + 120y = 1000$,即 $2x + 3y = 25$. 因为 x,y 均为正整数,所以 $\begin{cases}x = 2,\\y = 7\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 5,\\y = 5\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 8,\\y = 3\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 11,\\y = 1.\end{cases}$ 故共有 4 种不同的购买方案可供王阿姨选择.

15. 小慧去花店购买鲜花.若买 5 枝玫瑰和 3 枝百合，则她所带的钱还剩下 10 元；若买 3 枝玫瑰和 5 枝百合，则她所带的钱还差 4 元；若只买 8 枝玫瑰，则她所带的钱还剩下 ()

A.31 元
B.30 元
C.25 元
D.19 元

15. A 解析:设每枝玫瑰 x 元,每枝百合 y 元. 由题意,得 $5x + 3y + 10 = 3x + 5y - 4$,所以 $y = x + 7$,所以 $5x + 3y + 10 - 8x = 5x + 3(x + 7) + 10 - 8x = 31$. 故她所带的钱还剩下 31 元.

16. 新素养 应用意识 某食堂需要购买盒子存放食物，盒子有 $ A $，$ B $ 两种型号，单个盒子的容量和价格如下表所示.现有 15 L 食物需要存放且要求每个盒子都装满，由于 $ A $ 种型号的盒子正做促销活动：购买四个及四个以上可一次性返还现金 7 元，则购买盒子所需要的最少费用为元.

16. 29 解析:设该食堂购买 A 种型号的盒子 x 个,购买 B 种型号的盒子 y 个. 由题意,得 $2x + 3y = 15$. 因为 x,y 为非负整数,所以 $\begin{cases}x = 0,\\y = 5\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 3,\\y = 3\end{cases}$ 或 $\begin{cases}x = 6,\\y = 1.\end{cases}$ 当 $\begin{cases}x = 0,\\y = 5\end{cases}$ 时,费用为 $6 × 5 = 30$(元);当 $\begin{cases}x = 3,\\y = 3\end{cases}$ 时,费用为 $5 × 3 + 6 × 3 = 33$(元);当 $\begin{cases}x = 6,\\y = 1\end{cases}$ 时,费用为 $5 × 6 + 6 × 1 - 7 = 29$(元). 因为 $29 ＜ 30 ＜ 33$,所以购买盒子所需要的最少费用为 29 元.

17. 据中国载人航天工程办公室消息，北京时间 2025 年 10 月 31 日 23 时 44 分，搭载神舟二十一号载人飞船的长征二号 F 遥二十一运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约 10 分钟后，飞船与火箭成功分离，进入预定轨道.航天员乘组状态良好，发射取得圆满成功.某校当月举办了航天知识竞赛，为了表彰获奖者，学校委托王老师购买奖品.他发现：若以 4 支钢笔和 6 本笔记本为一份奖品，则活动经费可购买 60 份奖品；若以 4 支钢笔和 12 本笔记本为一份奖品，则活动经费可购买 40 份奖品.设钢笔的单价为 $ x $ 元/支，笔记本的单价为 $ y $ 元/本.
(1) 请用含 $ x $ 的代数式表示 $ y $；
(2) 若用这些钱全部购买笔记本，则总共可以购买多少本?
(3) 王老师选择 $ a $ 支钢笔和 $ b $ 本笔记本作为一份奖品(钢笔和笔记本都要有)，他用这些钱恰好购买 90 份同样的奖品，求 $ a + b $ 的值.

17. (1) 由题意,得 $60(4x + 6y) = 40(4x + 12y)$. 整理,得 $y = \frac{2}{3}x$.
(2) 由题意,得 $60(4x + 6y) ÷ y = 60(6y + 6y) ÷ y = 720$(本). 故总共可以购买 720 本.
(3) 由题意,得 $60(4x + 6y) = 90(ax + by)$,即 $8x + 12y = 3ax + 3by$. 把 $y = \frac{2}{3}x$ 代入 $8x + 12y = 3ax + 3by$,得 $8x + 8x = 3ax + 2bx$. 整理,得 $3a + 2b = 16$. 因为 a,b 均为正整数,所以 $\begin{cases}a = 2,\\b = 5\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a = 4,\\b = 2,\end{cases}$ 所以 $a + b = 2 + 5 = 7$ 或 $a + b = 4 + 2 = 6$. 故 $a + b$ 的值为 7 或 6.