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【变式】将$\frac{x}{x^2 - 1} - \frac{1}{x + 1}$化简的结果是
$\frac{1}{x^2-1}$
，当$x=2$时，该式子的值是$\frac{1}{3}$
。答案
$\frac{1}{x^2-1}$，$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题考查异分母分式的化简与求值，解题思路如下：首先对第一个分式的分母利用平方差公式因式分解，确定两个分式的最简公分母；再将异分母分式通分转化为同分母分式，按照同分母分式减法法则计算，分子相减后化简得到最简结果；最后将x=2代入化简后的式子计算对应值即可。注意计算分子减法时要正确去括号，避免符号错误。
【解析】
1. 化简分式：
首先对分母因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，可得两个分式的最简公分母为$x^2-1$。
将第二个分式通分：$\frac{1}{x+1}=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}=\frac{x-1}{x^2-1}$
按照同分母分式减法法则（分母不变，分子相减）计算：
$\frac{x}{x^2 - 1} - \frac{1}{x + 1}=\frac{x}{x^2-1}-\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{x-(x-1)}{x^2-1}=\frac{x-x+1}{x^2-1}=\frac{1}{x^2-1}$
2. 代入$x=2$求值：
把$x=2$代入$\frac{1}{x^2-1}$得：$\frac{1}{2^2-1}=\frac{1}{4-1}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{x^2-1}$，$\frac{1}{3}$
【知识点】
异分母分式加减法；平方差公式因式分解；分式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握异分母分式加减的运算步骤，易错点是通分后分子相减时漏加括号导致符号错误，熟练掌握通分方法和去括号规则即可准确作答。
【难度系数】
0.8
本题考查异分母分式的化简与求值，解题思路如下：首先对第一个分式的分母利用平方差公式因式分解，确定两个分式的最简公分母；再将异分母分式通分转化为同分母分式，按照同分母分式减法法则计算，分子相减后化简得到最简结果；最后将x=2代入化简后的式子计算对应值即可。注意计算分子减法时要正确去括号，避免符号错误。
【解析】
1. 化简分式：
首先对分母因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，可得两个分式的最简公分母为$x^2-1$。
将第二个分式通分：$\frac{1}{x+1}=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}=\frac{x-1}{x^2-1}$
按照同分母分式减法法则（分母不变，分子相减）计算：
$\frac{x}{x^2 - 1} - \frac{1}{x + 1}=\frac{x}{x^2-1}-\frac{x-1}{x^2-1}=\frac{x-(x-1)}{x^2-1}=\frac{x-x+1}{x^2-1}=\frac{1}{x^2-1}$
2. 代入$x=2$求值：
把$x=2$代入$\frac{1}{x^2-1}$得：$\frac{1}{2^2-1}=\frac{1}{4-1}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{x^2-1}$，$\frac{1}{3}$
【知识点】
异分母分式加减法；平方差公式因式分解；分式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握异分母分式加减的运算步骤，易错点是通分后分子相减时漏加括号导致符号错误，熟练掌握通分方法和去括号规则即可准确作答。
【难度系数】
0.8
1. 分式$\frac{1}{x^2 - y^2}, \frac{1}{x^2 + xy}$的最简公分母是（
A.$x^2 - y^2$
B.$x^2 + xy$
C.$(x+y)(x-y)$
D.$x(x+y)(x-y)$
D
）A.$x^2 - y^2$
B.$x^2 + xy$
C.$(x+y)(x-y)$
D.$x(x+y)(x-y)$
答案
1. D
解析
【分析】
要确定两个分式的最简公分母，首先需要对每个分式的分母进行因式分解，再提取各分母中所有出现过的不同因式，将这些因式的最高次幂相乘，得到的结果就是最简公分母。第一步先分解两个分母：第一个分母是平方差形式，用平方差公式分解；第二个分母有公因式x，先提取公因式分解。第二步找所有不同的因式，相乘即可得到答案。
【解析】
第一步：对两个分式的分母分别因式分解：
① 分母$x^2 - y^2$符合平方差公式，分解得：$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$；
② 分母$x^2 + xy$提取公因式$x$，分解得：$x^2 + xy=x(x+y)$。
第二步：确定最简公分母：
两个分母中出现的不同因式有$x$、$(x+y)$、$(x-y)$，且每个因式的最高次幂都是1次，因此最简公分母为$x(x+y)(x-y)$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，因式分解，最简公分母的确定
【点评】
本题考查最简公分母的确定，解题核心是先将各分母正确因式分解，再取所有不同因式的最高次幂的乘积，熟练掌握因式分解的方法是解决此类题的基础。
【难度系数】
0.8
要确定两个分式的最简公分母，首先需要对每个分式的分母进行因式分解，再提取各分母中所有出现过的不同因式，将这些因式的最高次幂相乘，得到的结果就是最简公分母。第一步先分解两个分母：第一个分母是平方差形式，用平方差公式分解；第二个分母有公因式x，先提取公因式分解。第二步找所有不同的因式，相乘即可得到答案。
【解析】
第一步：对两个分式的分母分别因式分解：
① 分母$x^2 - y^2$符合平方差公式，分解得：$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$；
② 分母$x^2 + xy$提取公因式$x$，分解得：$x^2 + xy=x(x+y)$。
第二步：确定最简公分母：
两个分母中出现的不同因式有$x$、$(x+y)$、$(x-y)$，且每个因式的最高次幂都是1次，因此最简公分母为$x(x+y)(x-y)$。
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，因式分解，最简公分母的确定
【点评】
本题考查最简公分母的确定，解题核心是先将各分母正确因式分解，再取所有不同因式的最高次幂的乘积，熟练掌握因式分解的方法是解决此类题的基础。
【难度系数】
0.8
2. 对分式$\frac{1}{a-b},\frac{1}{a+b},\frac{1}{a^2 - b^2}$通分后，$\frac{1}{a+b}$的结果是（
A.$\frac{a+b}{a^2 - b^2}$
B.$\frac{a-b}{a^2 - b^2}$
C.$\frac{a^2 - b^2}{(a+b)(a^2 - b^2)}$
D.$\frac{(a+b)(a-b)}{(a^2 - b^2)^2}$
B
）A.$\frac{a+b}{a^2 - b^2}$
B.$\frac{a-b}{a^2 - b^2}$
C.$\frac{a^2 - b^2}{(a+b)(a^2 - b^2)}$
D.$\frac{(a+b)(a-b)}{(a^2 - b^2)^2}$
答案
2. B
解析
【分析】
要解决这道通分题，首先需要明确通分的步骤：第一步先找几个分式的最简公分母，第二步利用分式的基本性质，把各分式的分母转化为最简公分母，同时分子做相同的变形。首先观察三个分式的分母：$a-b$、$a+b$、$a^2-b^2$，利用平方差公式可将$a^2-b^2$分解为$(a+b)(a-b)$，因此三个分式的最简公分母就是$a^2-b^2$。接下来对$\frac{1}{a+b}$变形，要让分母从$a+b$变为$a^2-b^2$，需要给分母乘$(a-b)$，为保证分式的值不变，分子也要同时乘$(a-b)$，即可得到通分后的结果。
【解析】
1. 分解各分母因式：
分母$a-b$、$a+b$已是最简因式，由平方差公式得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，因此三个分式的最简公分母为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
2. 对$\frac{1}{a+b}$通分：
根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘$(a-b)$，得：
$\frac{1}{a+b}=\frac{1×(a-b)}{(a+b)(a-b)}=\frac{a-b}{a^2-b^2}$
因此对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式通分；平方差公式；分式的基本性质
【点评】
本题是异分母分式通分的基础题型，解题核心是准确找到最简公分母，熟练掌握因式分解的方法和分式的基本性质是正确解题的关键。
【难度系数】
0.8
要解决这道通分题，首先需要明确通分的步骤：第一步先找几个分式的最简公分母，第二步利用分式的基本性质，把各分式的分母转化为最简公分母，同时分子做相同的变形。首先观察三个分式的分母：$a-b$、$a+b$、$a^2-b^2$，利用平方差公式可将$a^2-b^2$分解为$(a+b)(a-b)$，因此三个分式的最简公分母就是$a^2-b^2$。接下来对$\frac{1}{a+b}$变形，要让分母从$a+b$变为$a^2-b^2$，需要给分母乘$(a-b)$，为保证分式的值不变，分子也要同时乘$(a-b)$，即可得到通分后的结果。
【解析】
1. 分解各分母因式：
分母$a-b$、$a+b$已是最简因式，由平方差公式得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，因此三个分式的最简公分母为$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。
2. 对$\frac{1}{a+b}$通分：
根据分式的基本性质，给分子、分母同时乘$(a-b)$，得：
$\frac{1}{a+b}=\frac{1×(a-b)}{(a+b)(a-b)}=\frac{a-b}{a^2-b^2}$
因此对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式通分；平方差公式；分式的基本性质
【点评】
本题是异分母分式通分的基础题型，解题核心是准确找到最简公分母，熟练掌握因式分解的方法和分式的基本性质是正确解题的关键。
【难度系数】
0.8
3. (菏泽模拟)计算$\frac{2}{x+1} - \frac{4x}{x^2 -1}$的结果是（
A.$\frac{2}{x+1}$
B.$-\frac{2}{x+1}$
C.$\frac{2}{x-1}$
D.$-\frac{2}{x-1}$
D
）A.$\frac{2}{x+1}$
B.$-\frac{2}{x+1}$
C.$\frac{2}{x-1}$
D.$-\frac{2}{x-1}$
答案
3. D
解析
【分析】
这是异分母分式的减法运算，解题步骤应遵循异分母分式加减法则：第一步先对各分母因式分解，找到最简公分母；第二步将各分式通分化为同分母分式；第三步按照同分母分式加减法法则计算分子，分母不变；最后对结果约分得到最简分式，过程中要注意符号变化。
【解析】
解：首先对分母因式分解，由平方差公式得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此两个分式的最简公分母为$(x+1)(x-1)$。
将原式通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)} - \frac{4x}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{2(x-1)-4x}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{2x - 2 - 4x}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{-2x - 2}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{-2(x+1)}{(x+1)(x-1)} \quad (x≠\pm1)\\&=-\frac{2}{x-1}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
异分母分式加减法，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是掌握异分母分式加减的运算顺序，易错点在于通分时分子的符号处理、展开计算时的运算错误，以及约分时要注意分子分母的公因式要找全。
【难度系数】
0.7
这是异分母分式的减法运算，解题步骤应遵循异分母分式加减法则：第一步先对各分母因式分解，找到最简公分母；第二步将各分式通分化为同分母分式；第三步按照同分母分式加减法法则计算分子，分母不变；最后对结果约分得到最简分式，过程中要注意符号变化。
【解析】
解：首先对分母因式分解，由平方差公式得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此两个分式的最简公分母为$(x+1)(x-1)$。
将原式通分计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)} - \frac{4x}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{2(x-1)-4x}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{2x - 2 - 4x}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{-2x - 2}{(x+1)(x-1)}\\&=\frac{-2(x+1)}{(x+1)(x-1)} \quad (x≠\pm1)\\&=-\frac{2}{x-1}\end{aligned}$
【答案】
D
【知识点】
异分母分式加减法，平方差公式，分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心是掌握异分母分式加减的运算顺序，易错点在于通分时分子的符号处理、展开计算时的运算错误，以及约分时要注意分子分母的公因式要找全。
【难度系数】
0.7
4. 计算：$\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} =$
$\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
.答案
4. $\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
解析
【分析】
这是异分母分式的减法运算，解题遵循异分母分式加减法的思路：首先确定两个分式的最简公分母，两个分母分别是$4a^2$和$a$，系数最小公倍数是4，字母$a$的最高次幂是$a^2$，因此最简公分母为$4a^2$；再将两个分式通分为同分母分式，通分时注意第二个分式的分子也要乘相应的整式$4a$；最后按照同分母分式减法规则，分母不变，分子相减，验证结果为最简分式即可。
【解析】
解：原式$=\frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2}$
$=\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
【答案】
$\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
【知识点】
异分母分式加减法；分式通分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是正确找到最简公分母，通分时要避免漏乘分子的常见错误，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.8
这是异分母分式的减法运算，解题遵循异分母分式加减法的思路：首先确定两个分式的最简公分母，两个分母分别是$4a^2$和$a$，系数最小公倍数是4，字母$a$的最高次幂是$a^2$，因此最简公分母为$4a^2$；再将两个分式通分为同分母分式，通分时注意第二个分式的分子也要乘相应的整式$4a$；最后按照同分母分式减法规则，分母不变，分子相减，验证结果为最简分式即可。
【解析】
解：原式$=\frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2}$
$=\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
【答案】
$\frac{b^2-4ac}{4a^2}$
【知识点】
异分母分式加减法；分式通分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是正确找到最简公分母，通分时要避免漏乘分子的常见错误，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.8
5.已知$x+y=8,xy=4$,则代数式$\frac{2}{x}+\frac{2}{y}$的值是
4
.答案
5. 4
解析
【分析】
要求异分母分式$\frac{2}{x}+\frac{2}{y}$的值，首先按照异分母分式加减法的运算规则，先通分化为同分母分式再计算，化简后观察式子结构，发现可以直接用已知的$x+y$和$xy$整体代入求值，无需单独求出x、y的具体值，能简化计算过程。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\frac{2}{x}+\frac{2}{y}=\frac{2y}{xy}+\frac{2x}{xy}$（通分，取公分母为$xy$）
$=\frac{2x+2y}{xy}$（同分母分式相加，分母不变，分子相加）
$=\frac{2(x+y)}{xy}$（分子提取公因式2）
将$x+y=8$，$xy=4$代入化简后的式子：
原式$=\frac{2×8}{4}=\frac{16}{4}=4$
【答案】
4
【知识点】
异分母分式加减法；代数式化简求值；整体代入求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握异分母分式的通分化简方法，运用整体代入的思想可以快速得到结果，避免了单独求解x、y的不必要运算。
【难度系数】
0.9
要求异分母分式$\frac{2}{x}+\frac{2}{y}$的值，首先按照异分母分式加减法的运算规则，先通分化为同分母分式再计算，化简后观察式子结构，发现可以直接用已知的$x+y$和$xy$整体代入求值，无需单独求出x、y的具体值，能简化计算过程。
【解析】
先对代数式进行化简：
$\frac{2}{x}+\frac{2}{y}=\frac{2y}{xy}+\frac{2x}{xy}$（通分，取公分母为$xy$）
$=\frac{2x+2y}{xy}$（同分母分式相加，分母不变，分子相加）
$=\frac{2(x+y)}{xy}$（分子提取公因式2）
将$x+y=8$，$xy=4$代入化简后的式子：
原式$=\frac{2×8}{4}=\frac{16}{4}=4$
【答案】
4
【知识点】
异分母分式加减法；代数式化简求值；整体代入求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握异分母分式的通分化简方法，运用整体代入的思想可以快速得到结果，避免了单独求解x、y的不必要运算。
【难度系数】
0.9
6.计算：
(1)$\frac{1}{x+3}+\frac{6}{x^2 -9}$；
(2)$\frac{a}{a^2 +2a +1}+(\frac{1}{a+1}+1)$.
(1)$\frac{1}{x+3}+\frac{6}{x^2 -9}$；
(2)$\frac{a}{a^2 +2a +1}+(\frac{1}{a+1}+1)$.
答案
解: (1) 原式 $= \frac{x-3}{(x+3)(x-3)} + \frac{6}{(x+3)(x-3)} = \frac{x-3+6}{(x+3)(x-3)}=\frac{x+3}{(x+3)(x-3)}=\frac{1}{x-3}$.
(2) 原式$=\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{1+a+1}{a+1}=\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{(a+2)(a+1)}{(a+1)^2}=\frac{a^2+4a+2}{(a+1)^2}$.
(2) 原式$=\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{1+a+1}{a+1}=\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{(a+2)(a+1)}{(a+1)^2}=\frac{a^2+4a+2}{(a+1)^2}$.
解析
【分析】
(1) 计算异分母分式加法时，先对分母因式分解确定最简公分母：$x^2-9$是平方差形式，可分解为$(x+3)(x-3)$，因此最简公分母为$(x+3)(x-3)$；再将第一个分式通分转化为同分母分式，按同分母分式加法法则计算，最后约分得到最简结果即可。
(2) 本题含有括号，遵循先算括号内再算括号外的顺序：先将括号内的1通分为分母是$a+1$的分式，和$\frac{1}{a+1}$相加；再对括号外的分母因式分解，$a^2+2a+1$是完全平方式，分解为$(a+1)^2$，确定最简公分母为$(a+1)^2$，通分后按同分母加法计算，合并分子即可得到结果。
【解析】
(1) 先对分母因式分解：$x^2-9=(x+3)(x-3)$，最简公分母为$(x+3)(x-3)$
$\begin{aligned}原式 &= \frac{x-3}{(x+3)(x-3)} + \frac{6}{(x+3)(x-3)} \\&= \frac{x-3+6}{(x+3)(x-3)} \\&=\frac{x+3}{(x+3)(x-3)} \\&=\frac{1}{x-3} \quad (x≠\pm3)\end{aligned}$
(2) 先计算括号内的加法，同时对分母因式分解：$a^2+2a+1=(a+1)^2$
$\begin{aligned}原式&=\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{1+a+1}{a+1} \\&=\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{a+2}{a+1} \\&=\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{(a+2)(a+1)}{(a+1)^2} \\&=\frac{a+a^2+3a+2}{(a+1)^2} \\&=\frac{a^2+4a+2}{(a+1)^2} \quad (a≠-1)\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{\dfrac{1}{x-3}}$；(2) $\boxed{\dfrac{a^2+4a+2}{(a+1)^2}}$
【知识点】
异分母分式加减法、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，核心是掌握异分母分式加减的运算顺序：有括号先算括号内，再通分化为同分母分式加减，最后将结果化为最简分式。运算中要熟练运用平方差、完全平方公式进行因式分解，注意通分、约分的规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
(1) 计算异分母分式加法时，先对分母因式分解确定最简公分母：$x^2-9$是平方差形式，可分解为$(x+3)(x-3)$，因此最简公分母为$(x+3)(x-3)$；再将第一个分式通分转化为同分母分式，按同分母分式加法法则计算，最后约分得到最简结果即可。
(2) 本题含有括号，遵循先算括号内再算括号外的顺序：先将括号内的1通分为分母是$a+1$的分式，和$\frac{1}{a+1}$相加；再对括号外的分母因式分解，$a^2+2a+1$是完全平方式，分解为$(a+1)^2$，确定最简公分母为$(a+1)^2$，通分后按同分母加法计算，合并分子即可得到结果。
【解析】
(1) 先对分母因式分解：$x^2-9=(x+3)(x-3)$，最简公分母为$(x+3)(x-3)$
$\begin{aligned}原式 &= \frac{x-3}{(x+3)(x-3)} + \frac{6}{(x+3)(x-3)} \\&= \frac{x-3+6}{(x+3)(x-3)} \\&=\frac{x+3}{(x+3)(x-3)} \\&=\frac{1}{x-3} \quad (x≠\pm3)\end{aligned}$
(2) 先计算括号内的加法，同时对分母因式分解：$a^2+2a+1=(a+1)^2$
$\begin{aligned}原式&=\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{1+a+1}{a+1} \\&=\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{a+2}{a+1} \\&=\frac{a}{(a+1)^2}+\frac{(a+2)(a+1)}{(a+1)^2} \\&=\frac{a+a^2+3a+2}{(a+1)^2} \\&=\frac{a^2+4a+2}{(a+1)^2} \quad (a≠-1)\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{\dfrac{1}{x-3}}$；(2) $\boxed{\dfrac{a^2+4a+2}{(a+1)^2}}$
【知识点】
异分母分式加减法、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，核心是掌握异分母分式加减的运算顺序：有括号先算括号内，再通分化为同分母分式加减，最后将结果化为最简分式。运算中要熟练运用平方差、完全平方公式进行因式分解，注意通分、约分的规则，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
7. (上海模拟)A、B两地相距$x$ m，通讯员原计划用$t$ h从A地到达B地，现需提前$n$ h到达，则每小时要多走（
A.$\dfrac{x}{t - n}$ m
B.$\dfrac{x - n}{t - n}$ m
C.$\dfrac{xn}{nt - t^2}$ m
D.$\dfrac{xn}{t^2 - nt}$ m
D
）A.$\dfrac{x}{t - n}$ m
B.$\dfrac{x - n}{t - n}$ m
C.$\dfrac{xn}{nt - t^2}$ m
D.$\dfrac{xn}{t^2 - nt}$ m
答案
7. D
解析
【分析】
这是一道结合行程问题的分式运算题，解题思路如下：首先回忆行程问题的核心公式“速度=路程÷时间”，第一步先求出原计划的行驶速度，第二步求出提前到达时实际需要的行驶速度，第三步用实际速度减去原计划速度，得到每小时多走的路程，最后对得到的分式进行通分化简，匹配正确选项即可。要注意区分“实际速度”和“多走的速度”，避免误选直接表示实际速度的选项，同时通分计算时要注意符号处理。
【解析】
解：①计算原计划的速度：
由速度=路程÷时间，得原计划每小时走 $\dfrac{x}{t}$ m。
②计算实际行驶的速度：
现需提前$n$ h到达，故实际用时为$(t-n)$ h，实际每小时走 $\dfrac{x}{t-n}$ m。
③计算每小时多走的路程：
用实际速度减去原计划速度，列式为：
$\dfrac{x}{t-n} - \dfrac{x}{t}$
对异分母分式通分，公分母为$t(t-n)$，得：
$=\dfrac{xt}{t(t-n)} - \dfrac{x(t-n)}{t(t-n)}$
分子合并计算：
$=\dfrac{xt - x(t-n)}{t(t-n)}$
$=\dfrac{xt - xt + xn}{t^2 - nt}$
$=\dfrac{xn}{t^2 - nt}$
因此每小时要多走$\dfrac{xn}{t^2 - nt}$ m。
【答案】
D
【知识点】
行程问题公式，异分母分式加减，分式化简
【点评】
本题结合实际行程场景考查分式的运算，解题的关键是正确表示出两个速度，再做差计算，计算时要注意通分的规则和符号的处理，避免混淆实际速度和速度差，也不要出现分母符号写错的问题。
【难度系数】
0.6
这是一道结合行程问题的分式运算题，解题思路如下：首先回忆行程问题的核心公式“速度=路程÷时间”，第一步先求出原计划的行驶速度，第二步求出提前到达时实际需要的行驶速度，第三步用实际速度减去原计划速度，得到每小时多走的路程，最后对得到的分式进行通分化简，匹配正确选项即可。要注意区分“实际速度”和“多走的速度”，避免误选直接表示实际速度的选项，同时通分计算时要注意符号处理。
【解析】
解：①计算原计划的速度：
由速度=路程÷时间，得原计划每小时走 $\dfrac{x}{t}$ m。
②计算实际行驶的速度：
现需提前$n$ h到达，故实际用时为$(t-n)$ h，实际每小时走 $\dfrac{x}{t-n}$ m。
③计算每小时多走的路程：
用实际速度减去原计划速度，列式为：
$\dfrac{x}{t-n} - \dfrac{x}{t}$
对异分母分式通分，公分母为$t(t-n)$，得：
$=\dfrac{xt}{t(t-n)} - \dfrac{x(t-n)}{t(t-n)}$
分子合并计算：
$=\dfrac{xt - x(t-n)}{t(t-n)}$
$=\dfrac{xt - xt + xn}{t^2 - nt}$
$=\dfrac{xn}{t^2 - nt}$
因此每小时要多走$\dfrac{xn}{t^2 - nt}$ m。
【答案】
D
【知识点】
行程问题公式，异分母分式加减，分式化简
【点评】
本题结合实际行程场景考查分式的运算，解题的关键是正确表示出两个速度，再做差计算，计算时要注意通分的规则和符号的处理，避免混淆实际速度和速度差，也不要出现分母符号写错的问题。
【难度系数】
0.6
8. (恩施模拟)先化简，再求值：$m+2+\dfrac{m^2}{2-m}$，其中$m=-1.$
答案
解:原式$=\frac{(m+2)(2-m)}{2-m}+\frac{m^2}{2-m}=\frac{4-m^2+m^2}{2-m}=\frac{4}{2-m}$,
当$m=-1$时,原式$=\frac{4}{2+1}=\frac{4}{3}$.
当$m=-1$时,原式$=\frac{4}{2+1}=\frac{4}{3}$.
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简式子，观察式子是整式与分式相加，需先进行通分，将整式转化为与后面分式同分母的分式，再按照同分母分式加减法法则计算，化简为最简分式；第二步将给定的m值代入最简分式计算结果即可。通分时公分母为$(2-m)$，将整式$m+2$看作分母为1的分式，分子分母同乘$(2-m)$即可完成通分，分子计算时可利用平方差公式简化运算。
【解析】
解：先对原式通分，公分母为$2-m$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(m+2)(2-m)}{2-m}+\frac{m^2}{2-m}\\&=\frac{4-m^2+m^2}{2-m}\\&=\frac{4}{2-m}\end{aligned}$
将$m=-1$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=\frac{4}{2-(-1)}=\frac{4}{3}$
【答案】
$\dfrac{4}{3}$
【知识点】
异分母分式加减法；分式化简求值；平方差公式
【点评】
本题核心考查异分母分式的加减运算，解题的关键是正确对整式部分通分，运算过程中注意符号的处理，通分时不要漏乘整式部分的分子，代入求值时注意负数的运算规则，是分式运算中的基础常规题型。
【难度系数】
0.8
这是一道分式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简式子，观察式子是整式与分式相加，需先进行通分，将整式转化为与后面分式同分母的分式，再按照同分母分式加减法法则计算，化简为最简分式；第二步将给定的m值代入最简分式计算结果即可。通分时公分母为$(2-m)$，将整式$m+2$看作分母为1的分式，分子分母同乘$(2-m)$即可完成通分，分子计算时可利用平方差公式简化运算。
【解析】
解：先对原式通分，公分母为$2-m$：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(m+2)(2-m)}{2-m}+\frac{m^2}{2-m}\\&=\frac{4-m^2+m^2}{2-m}\\&=\frac{4}{2-m}\end{aligned}$
将$m=-1$代入化简后的式子：
$\mathrm{原式}=\frac{4}{2-(-1)}=\frac{4}{3}$
【答案】
$\dfrac{4}{3}$
【知识点】
异分母分式加减法；分式化简求值；平方差公式
【点评】
本题核心考查异分母分式的加减运算，解题的关键是正确对整式部分通分，运算过程中注意符号的处理，通分时不要漏乘整式部分的分子，代入求值时注意负数的运算规则，是分式运算中的基础常规题型。
【难度系数】
0.8
9. (昭通模拟)对于两个非零实数$m,n$,定义运算“※”如下：$m※n=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}$.例如：$2※3=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$.若$x※2y=2$,则$\frac{x-2y}{xy}$的值为
-4
.答案
9. -4
解析
【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的新运算“※”的规则，将x※2y转化为常规的分式减法算式，得到关于x、y的等式后，对等式进行通分化简，再观察化简结果和待求代数式$\frac{x-2y}{xy}$的结构关联，通过整体变形即可求出目标式的值，不需要单独求解x、y的具体数值。
【解析】
根据新运算的定义$m※n=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}$，可得：
$x※2y=\frac{1}{x}-\frac{1}{2y}$
已知$x※2y=2$，因此有：
$\frac{1}{x}-\frac{1}{2y}=2$
对左边的异分母分式通分，最简公分母为$2xy$：
$\frac{2y}{2xy}-\frac{x}{2xy}=2$
合并分子得：
$\frac{2y-x}{2xy}=2$
将分子变形为$2y-x=-(x-2y)$，代入上式：
$\frac{-(x-2y)}{2xy}=2$
等式两边同时乘2，得：
$\frac{-(x-2y)}{xy}=4$
等式两边同时乘$-1$，可得：
$\frac{x-2y}{xy}=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
新定义运算，异分母分式加减法，代数式求值
【点评】
本题将新定义运算和分式运算结合，解题核心是正确转化新运算规则，再通过通分、整体变形求解目标式，重点考查对分式运算法则的掌握和整体思想的应用。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确理解题目给出的新运算“※”的规则，将x※2y转化为常规的分式减法算式，得到关于x、y的等式后，对等式进行通分化简，再观察化简结果和待求代数式$\frac{x-2y}{xy}$的结构关联，通过整体变形即可求出目标式的值，不需要单独求解x、y的具体数值。
【解析】
根据新运算的定义$m※n=\frac{1}{m}-\frac{1}{n}$，可得：
$x※2y=\frac{1}{x}-\frac{1}{2y}$
已知$x※2y=2$，因此有：
$\frac{1}{x}-\frac{1}{2y}=2$
对左边的异分母分式通分，最简公分母为$2xy$：
$\frac{2y}{2xy}-\frac{x}{2xy}=2$
合并分子得：
$\frac{2y-x}{2xy}=2$
将分子变形为$2y-x=-(x-2y)$，代入上式：
$\frac{-(x-2y)}{2xy}=2$
等式两边同时乘2，得：
$\frac{-(x-2y)}{xy}=4$
等式两边同时乘$-1$，可得：
$\frac{x-2y}{xy}=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
新定义运算，异分母分式加减法，代数式求值
【点评】
本题将新定义运算和分式运算结合，解题核心是正确转化新运算规则，再通过通分、整体变形求解目标式，重点考查对分式运算法则的掌握和整体思想的应用。
【难度系数】
0.7
