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异分母分式的加减运算法则
异分母的分式相加(减),取各个分母的所有因式的
异分母的分式相加(减),取各个分母的所有因式的
最高次幂的积
作为公分母(这样的公分母称为最简公分母),利用分式的基本性质,把它们化成同分母
的分式(这个过程叫作通分),然后再相加(减).答案
最高次幂的积，同分母
解析
【分析】
本题考查异分母分式加减法的基础概念，解题思路如下：首先回忆异分母分式加减的运算流程：异分母分式不能直接相加减，需要先通分，通分时为了计算简便，要选用最简公分母，回忆最简公分母的定义，就能填出第一个空；再回忆通分的目的，就是把不同分母的分式转化为分母相同的分式，这样就能按同分母分式加减法则计算，即可填出第二个空。
【解析】
根据异分母分式的加减运算法则：异分母的分式相加（减），首先要确定最简公分母，最简公分母的取法是取各个分母的所有因式的最高次幂的积；之后利用分式的基本性质进行通分，通分是把异分母分式化成同分母的分式的过程，通分后就可以按照同分母分式的加减法则进行运算。因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
最高次幂的积，同分母
【知识点】
异分母分式加减法则；最简公分母；通分
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考察对异分母分式加减运算相关核心概念的记忆与理解，是进行分式混合运算的重要基础，只有熟练掌握相关概念，才能准确完成分式的加减运算。
【难度系数】
0.9
本题考查异分母分式加减法的基础概念，解题思路如下：首先回忆异分母分式加减的运算流程：异分母分式不能直接相加减，需要先通分，通分时为了计算简便，要选用最简公分母，回忆最简公分母的定义，就能填出第一个空；再回忆通分的目的，就是把不同分母的分式转化为分母相同的分式，这样就能按同分母分式加减法则计算，即可填出第二个空。
【解析】
根据异分母分式的加减运算法则：异分母的分式相加（减），首先要确定最简公分母，最简公分母的取法是取各个分母的所有因式的最高次幂的积；之后利用分式的基本性质进行通分，通分是把异分母分式化成同分母的分式的过程，通分后就可以按照同分母分式的加减法则进行运算。因此两个空依次填入对应内容即可。
【答案】
最高次幂的积，同分母
【知识点】
异分母分式加减法则；最简公分母；通分
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考察对异分母分式加减运算相关核心概念的记忆与理解，是进行分式混合运算的重要基础，只有熟练掌握相关概念，才能准确完成分式的加减运算。
【难度系数】
0.9
【例1】(南通模拟)三个分式：$\frac{y}{2x^2}$，$\frac{1}{3yz}$，$\frac{1}{5xy}$的最简公分母是
$30x^2yz$
。答案
$30x^2yz$
解析
【分析】
求几个异分母分式的最简公分母，可按三步思考：①先找各个分母系数的最小公倍数；②再找出所有分母中出现过的字母；③对每个出现的字母，取它在各个分母里的最高次幂；最后将最小公倍数和各字母的最高次幂相乘，所得结果就是最简公分母。本题中三个分式的分母分别是$2x^2$、$3yz$、$5xy$，按上述步骤计算即可。
【解析】
解：第一步，确定分母系数的最小公倍数：三个分母的系数分别为2、3、5，三个互质数的最小公倍数为$2×3×5=30$；
第二步，找所有出现的字母：三个分母中出现的字母有$x$、$y$、$z$；
第三步，取各字母的最高次幂：$x$在各分母中的最高次幂为$x^2$，$y$在各分母中的最高次幂为$y$，$z$在各分母中的最高次幂为$z$；
第四步，将上述结果相乘，得到最简公分母为$30 × x^2 × y × z = 30x^2yz$。
【答案】
$30x^2yz$
【知识点】
1. 最简公分母的求法 2. 最小公倍数的计算
【点评】
本题是求异分母分式最简公分母的基础题型，解题核心是牢记最简公分母的求解规则，注意不要遗漏仅在单个分母中出现的字母，也不要选错同一字母的最高次幂。
【难度系数】
0.8
求几个异分母分式的最简公分母，可按三步思考：①先找各个分母系数的最小公倍数；②再找出所有分母中出现过的字母；③对每个出现的字母，取它在各个分母里的最高次幂；最后将最小公倍数和各字母的最高次幂相乘，所得结果就是最简公分母。本题中三个分式的分母分别是$2x^2$、$3yz$、$5xy$，按上述步骤计算即可。
【解析】
解：第一步，确定分母系数的最小公倍数：三个分母的系数分别为2、3、5，三个互质数的最小公倍数为$2×3×5=30$；
第二步，找所有出现的字母：三个分母中出现的字母有$x$、$y$、$z$；
第三步，取各字母的最高次幂：$x$在各分母中的最高次幂为$x^2$，$y$在各分母中的最高次幂为$y$，$z$在各分母中的最高次幂为$z$；
第四步，将上述结果相乘，得到最简公分母为$30 × x^2 × y × z = 30x^2yz$。
【答案】
$30x^2yz$
【知识点】
1. 最简公分母的求法 2. 最小公倍数的计算
【点评】
本题是求异分母分式最简公分母的基础题型，解题核心是牢记最简公分母的求解规则，注意不要遗漏仅在单个分母中出现的字母，也不要选错同一字母的最高次幂。
【难度系数】
0.8
【例2】分别把下列各组分式通分：
(1)$\frac{b}{3a^2c^2},\frac{c}{-2ab},\frac{a}{5cb^3}$；
(2)$\frac{b}{a^2-ab},\frac{a-b}{a^2+ab}$；
(3)$\frac{2}{9-3a},\frac{a-1}{a^2-9},\frac{a}{a^2-6a+9}$。
规律总结 分式通分的步骤:(1)求出各分式的最简公分母;(2)用最简公分母除以各个分母,得到商式;(3)用商式分别乘各个分式的分子和分母。
(1)$\frac{b}{3a^2c^2},\frac{c}{-2ab},\frac{a}{5cb^3}$；
(2)$\frac{b}{a^2-ab},\frac{a-b}{a^2+ab}$；
(3)$\frac{2}{9-3a},\frac{a-1}{a^2-9},\frac{a}{a^2-6a+9}$。
规律总结 分式通分的步骤:(1)求出各分式的最简公分母;(2)用最简公分母除以各个分母,得到商式;(3)用商式分别乘各个分式的分子和分母。
答案
解:(1)因为最简公分母为 $30a^2b^3c^2$,
所以$\frac{b}{3a^2c^2}=\frac{b·10b^3}{3a^2c^2·10b^3}=\frac{10b^4}{30a^2b^3c^2}$,
$\frac{c}{-2ab}=-\frac{c·15ab^2c^2}{2ab·15ab^2c^2}=-\frac{15ab^2c^3}{30a^2b^3c^2}$,
$\frac{a}{5cb^3}=\frac{a·6a^2c}{5cb^3·6a^2c}=\frac{6a^3c}{30a^2b^3c^2}$.
(2)因为最简公分母为 $a(a+b)(a-b)$,
所以$\frac{b}{a^2-ab}=\frac{b}{a(a-b)}=\frac{b(a+b)}{a(a-b)(a+b)}$,
$\frac{a-b}{a^2+ab}=\frac{a-b}{a(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{a(a+b)(a-b)}$.
(3)因为最简公分母为 $3(a+3)(a-3)^2$,
所以$\frac{2}{9-3a}=-\frac{2}{3(a-3)}=-\frac{2·(a+3)(a-3)}{3(a-3)·(a+3)(a-3)}=-\frac{2(a+3)(a-3)}{3(a+3)(a-3)^2}$,
$\frac{a-1}{a^2-9}=\frac{a-1}{(a+3)(a-3)}=\frac{(a-1)·3(a-3)}{(a+3)(a-3)·3(a-3)}=\frac{3(a-1)(a-3)}{3(a+3)(a-3)^2}$,
$\frac{a}{a^2-6a+9}=\frac{a}{(a-3)^2}=\frac{a·3(a+3)}{(a-3)^2·3(a+3)}=\frac{3a(a+3)}{3(a+3)(a-3)^2}$.
所以$\frac{b}{3a^2c^2}=\frac{b·10b^3}{3a^2c^2·10b^3}=\frac{10b^4}{30a^2b^3c^2}$,
$\frac{c}{-2ab}=-\frac{c·15ab^2c^2}{2ab·15ab^2c^2}=-\frac{15ab^2c^3}{30a^2b^3c^2}$,
$\frac{a}{5cb^3}=\frac{a·6a^2c}{5cb^3·6a^2c}=\frac{6a^3c}{30a^2b^3c^2}$.
(2)因为最简公分母为 $a(a+b)(a-b)$,
所以$\frac{b}{a^2-ab}=\frac{b}{a(a-b)}=\frac{b(a+b)}{a(a-b)(a+b)}$,
$\frac{a-b}{a^2+ab}=\frac{a-b}{a(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{a(a+b)(a-b)}$.
(3)因为最简公分母为 $3(a+3)(a-3)^2$,
所以$\frac{2}{9-3a}=-\frac{2}{3(a-3)}=-\frac{2·(a+3)(a-3)}{3(a-3)·(a+3)(a-3)}=-\frac{2(a+3)(a-3)}{3(a+3)(a-3)^2}$,
$\frac{a-1}{a^2-9}=\frac{a-1}{(a+3)(a-3)}=\frac{(a-1)·3(a-3)}{(a+3)(a-3)·3(a-3)}=\frac{3(a-1)(a-3)}{3(a+3)(a-3)^2}$,
$\frac{a}{a^2-6a+9}=\frac{a}{(a-3)^2}=\frac{a·3(a+3)}{(a-3)^2·3(a+3)}=\frac{3a(a+3)}{3(a+3)(a-3)^2}$.
解析
【分析】
要完成分式通分，首先需确定各组分式的最简公分母：若分母是单项式，取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂，所有出现的字母都要纳入公分母；若分母是多项式，先将每个分母因式分解，再取所有不同因式的最高次幂的乘积作为最简公分母。得到最简公分母后，将每个分式的分子、分母同乘最简公分母与原分母的商式，即可将分式化为同分母分式，过程中注意负号的正确处理。
【解析】
(1) 三个分式的分母为$3a^2c^2$、$-2ab$、$5cb^3$，系数最小公倍数为30，字母$a$最高次为$a^2$，$b$最高次为$b^3$，$c$最高次为$c^2$，因此最简公分母为$30a^2b^3c^2$。
对各分式变形：
$\frac{b}{3a^2c^2}=\frac{b·10b^3}{3a^2c^2·10b^3}=\frac{10b^4}{30a^2b^3c^2}$；
$\frac{c}{-2ab}=-\frac{c·15ab^2c^2}{2ab·15ab^2c^2}=-\frac{15ab^2c^3}{30a^2b^3c^2}$；
$\frac{a}{5cb^3}=\frac{a·6a^2c}{5cb^3·6a^2c}=\frac{6a^3c}{30a^2b^3c^2}$。
(2) 先对分母因式分解：$a^2-ab=a(a-b)$，$a^2+ab=a(a+b)$，因此最简公分母为$a(a+b)(a-b)$。
对各分式变形：
$\frac{b}{a^2-ab}=\frac{b}{a(a-b)}=\frac{b(a+b)}{a(a-b)(a+b)}$；
$\frac{a-b}{a^2+ab}=\frac{a-b}{a(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{a(a+b)(a-b)}$。
(3) 先对分母因式分解：$9-3a=-3(a-3)$，$a^2-9=(a+3)(a-3)$，$a^2-6a+9=(a-3)^2$，因此最简公分母为$3(a+3)(a-3)^2$。
对各分式变形：
$\frac{2}{9-3a}=-\frac{2}{3(a-3)}=-\frac{2·(a+3)(a-3)}{3(a-3)·(a+3)(a-3)}=-\frac{2(a+3)(a-3)}{3(a+3)(a-3)^2}$；
$\frac{a-1}{a^2-9}=\frac{a-1}{(a+3)(a-3)}=\frac{(a-1)·3(a-3)}{(a+3)(a-3)·3(a-3)}=\frac{3(a-1)(a-3)}{3(a+3)(a-3)^2}$；
$\frac{a}{a^2-6a+9}=\frac{a}{(a-3)^2}=\frac{a·3(a+3)}{(a-3)^2·3(a+3)}=\frac{3a(a+3)}{3(a+3)(a-3)^2}$。
【答案】
(1) $\frac{10b^4}{30a^2b^3c^2}$，$-\frac{15ab^2c^3}{30a^2b^3c^2}$，$\frac{6a^3c}{30a^2b^3c^2}$；
(2) $\frac{b(a+b)}{a(a-b)(a+b)}$，$\frac{(a-b)^2}{a(a+b)(a-b)}$；
(3) $-\frac{2(a+3)(a-3)}{3(a+3)(a-3)^2}$，$\frac{3(a-1)(a-3)}{3(a+3)(a-3)^2}$，$\frac{3a(a+3)}{3(a+3)(a-3)^2}$。
【知识点】
分式的通分，最简公分母的确定，因式分解
【点评】
本题是分式通分的基础训练题，解题核心是准确确定最简公分母，当分母为多项式时要先因式分解再找公分母，同时注意负号的正确处理，熟练掌握通分是后续学习异分母分式加减运算的重要基础。
【难度系数】
0.7
要完成分式通分，首先需确定各组分式的最简公分母：若分母是单项式，取各分母系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂，所有出现的字母都要纳入公分母；若分母是多项式，先将每个分母因式分解，再取所有不同因式的最高次幂的乘积作为最简公分母。得到最简公分母后，将每个分式的分子、分母同乘最简公分母与原分母的商式，即可将分式化为同分母分式，过程中注意负号的正确处理。
【解析】
(1) 三个分式的分母为$3a^2c^2$、$-2ab$、$5cb^3$，系数最小公倍数为30，字母$a$最高次为$a^2$，$b$最高次为$b^3$，$c$最高次为$c^2$，因此最简公分母为$30a^2b^3c^2$。
对各分式变形：
$\frac{b}{3a^2c^2}=\frac{b·10b^3}{3a^2c^2·10b^3}=\frac{10b^4}{30a^2b^3c^2}$；
$\frac{c}{-2ab}=-\frac{c·15ab^2c^2}{2ab·15ab^2c^2}=-\frac{15ab^2c^3}{30a^2b^3c^2}$；
$\frac{a}{5cb^3}=\frac{a·6a^2c}{5cb^3·6a^2c}=\frac{6a^3c}{30a^2b^3c^2}$。
(2) 先对分母因式分解：$a^2-ab=a(a-b)$，$a^2+ab=a(a+b)$，因此最简公分母为$a(a+b)(a-b)$。
对各分式变形：
$\frac{b}{a^2-ab}=\frac{b}{a(a-b)}=\frac{b(a+b)}{a(a-b)(a+b)}$；
$\frac{a-b}{a^2+ab}=\frac{a-b}{a(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{a(a+b)(a-b)}$。
(3) 先对分母因式分解：$9-3a=-3(a-3)$，$a^2-9=(a+3)(a-3)$，$a^2-6a+9=(a-3)^2$，因此最简公分母为$3(a+3)(a-3)^2$。
对各分式变形：
$\frac{2}{9-3a}=-\frac{2}{3(a-3)}=-\frac{2·(a+3)(a-3)}{3(a-3)·(a+3)(a-3)}=-\frac{2(a+3)(a-3)}{3(a+3)(a-3)^2}$；
$\frac{a-1}{a^2-9}=\frac{a-1}{(a+3)(a-3)}=\frac{(a-1)·3(a-3)}{(a+3)(a-3)·3(a-3)}=\frac{3(a-1)(a-3)}{3(a+3)(a-3)^2}$；
$\frac{a}{a^2-6a+9}=\frac{a}{(a-3)^2}=\frac{a·3(a+3)}{(a-3)^2·3(a+3)}=\frac{3a(a+3)}{3(a+3)(a-3)^2}$。
【答案】
(1) $\frac{10b^4}{30a^2b^3c^2}$，$-\frac{15ab^2c^3}{30a^2b^3c^2}$，$\frac{6a^3c}{30a^2b^3c^2}$；
(2) $\frac{b(a+b)}{a(a-b)(a+b)}$，$\frac{(a-b)^2}{a(a+b)(a-b)}$；
(3) $-\frac{2(a+3)(a-3)}{3(a+3)(a-3)^2}$，$\frac{3(a-1)(a-3)}{3(a+3)(a-3)^2}$，$\frac{3a(a+3)}{3(a+3)(a-3)^2}$。
【知识点】
分式的通分，最简公分母的确定，因式分解
【点评】
本题是分式通分的基础训练题，解题核心是准确确定最简公分母，当分母为多项式时要先因式分解再找公分母，同时注意负号的正确处理，熟练掌握通分是后续学习异分母分式加减运算的重要基础。
【难度系数】
0.7
【例3】(江西模拟)计算：
(1)$\frac{3}{a}+\frac{a-15}{5a}$；
(2)$\frac{2}{a-2}-\frac{8}{a^2-4}$.
方法归纳 (1)当一个分式的分母可因式分解时，应先因式分解，以便于寻找最简公分母和通分；(2)在分式的加减法算式中出现整式时，应将整式当成一个整体，看成是分母为1的“分式”，再变形通分.
(1)$\frac{3}{a}+\frac{a-15}{5a}$；
(2)$\frac{2}{a-2}-\frac{8}{a^2-4}$.
方法归纳 (1)当一个分式的分母可因式分解时，应先因式分解，以便于寻找最简公分母和通分；(2)在分式的加减法算式中出现整式时，应将整式当成一个整体，看成是分母为1的“分式”，再变形通分.
答案
解:(1)原式$=\frac{15}{5a}+\frac{a-15}{5a}=\frac{a}{5a}=\frac{1}{5}$.
(2)原式$=\frac{2(a+2)}{a^2-4}-\frac{8}{a^2-4}=\frac{2a-4}{(a+2)(a-2)}=\frac{2}{a+2}$.
(2)原式$=\frac{2(a+2)}{a^2-4}-\frac{8}{a^2-4}=\frac{2a-4}{(a+2)(a-2)}=\frac{2}{a+2}$.
解析
【分析】
这两道题都是异分母分式的加减法运算，解题思路遵循异分母分式加减法则：①先找各分母的最简公分母，将异分母分式通分为同分母分式；②同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；③最后将结果约分为最简分式或整式。
第(1)题：两个分母分别为a和5a，最简公分母为5a，先把第一个分式通分为分母是5a的分式，再按同分母加法计算后约分即可。
第(2)题：先将第二个分母$a^2-4$用平方差公式因式分解为$(a+2)(a-2)$，可得最简公分母为$(a+2)(a-2)$，将第一个分式通分后按同分母减法计算，分子合并后因式分解再约分得到最简结果。
【解析】
(1) 先通分，将$\frac{3}{a}$的分子分母同乘5，化为同分母分式：
原式$=\frac{15}{5a}+\frac{a-15}{5a}$
同分母分式相加，分母不变，分子相加：
$=\frac{15+a-15}{5a}=\frac{a}{5a}$
约分得：
$=\frac{1}{5}$
(2) 先对分母因式分解：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，将$\frac{2}{a-2}$的分子分母同乘$(a+2)$通分：
原式$=\frac{2(a+2)}{(a+2)(a-2)}-\frac{8}{(a+2)(a-2)}$
同分母分式相减，分母不变，分子相减：
$=\frac{2(a+2)-8}{(a+2)(a-2)}=\frac{2a+4-8}{(a+2)(a-2)}=\frac{2a-4}{(a+2)(a-2)}$
将分子因式分解后约分：
$=\frac{2(a-2)}{(a+2)(a-2)}=\frac{2}{a+2}$
【答案】
(1)$\boxed{\frac{1}{5}}$；(2)$\boxed{\frac{2}{a+2}}$
【知识点】
异分母分式加减法，分式约分，平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查异分母分式的加减运算规则，解题的关键是准确找到最简公分母完成通分，遇到可因式分解的分母要先分解，既方便找公分母，也便于最后约分得到最简结果，运算时要注意分子加减的符号不要出错。
【难度系数】
0.8
这两道题都是异分母分式的加减法运算，解题思路遵循异分母分式加减法则：①先找各分母的最简公分母，将异分母分式通分为同分母分式；②同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；③最后将结果约分为最简分式或整式。
第(1)题：两个分母分别为a和5a，最简公分母为5a，先把第一个分式通分为分母是5a的分式，再按同分母加法计算后约分即可。
第(2)题：先将第二个分母$a^2-4$用平方差公式因式分解为$(a+2)(a-2)$，可得最简公分母为$(a+2)(a-2)$，将第一个分式通分后按同分母减法计算，分子合并后因式分解再约分得到最简结果。
【解析】
(1) 先通分，将$\frac{3}{a}$的分子分母同乘5，化为同分母分式：
原式$=\frac{15}{5a}+\frac{a-15}{5a}$
同分母分式相加，分母不变，分子相加：
$=\frac{15+a-15}{5a}=\frac{a}{5a}$
约分得：
$=\frac{1}{5}$
(2) 先对分母因式分解：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，将$\frac{2}{a-2}$的分子分母同乘$(a+2)$通分：
原式$=\frac{2(a+2)}{(a+2)(a-2)}-\frac{8}{(a+2)(a-2)}$
同分母分式相减，分母不变，分子相减：
$=\frac{2(a+2)-8}{(a+2)(a-2)}=\frac{2a+4-8}{(a+2)(a-2)}=\frac{2a-4}{(a+2)(a-2)}$
将分子因式分解后约分：
$=\frac{2(a-2)}{(a+2)(a-2)}=\frac{2}{a+2}$
【答案】
(1)$\boxed{\frac{1}{5}}$；(2)$\boxed{\frac{2}{a+2}}$
【知识点】
异分母分式加减法，分式约分，平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查异分母分式的加减运算规则，解题的关键是准确找到最简公分母完成通分，遇到可因式分解的分母要先分解，既方便找公分母，也便于最后约分得到最简结果，运算时要注意分子加减的符号不要出错。
【难度系数】
0.8
【变式】计算：
(1)$\frac{1}{ab}+\frac{2}{ab^2}$；(2)$\frac{3}{2x}-\frac{2}{3y}$；(3)$a-b+\frac{2b^2}{a+b}$。
(1)$\frac{1}{ab}+\frac{2}{ab^2}$；(2)$\frac{3}{2x}-\frac{2}{3y}$；(3)$a-b+\frac{2b^2}{a+b}$。
答案
解:(1)原式$=\frac{b}{ab^2}+\frac{2}{ab^2}=\frac{b+2}{ab^2}$.
(2)原式$=\frac{9y}{6xy}-\frac{4x}{6xy}=\frac{9y-4x}{6xy}$.
(3)原式$=\frac{(a-b)(a+b)}{a+b}+\frac{2b^2}{a+b}=\frac{a^2-b^2+2b^2}{a+b}=\frac{a^2+b^2}{a+b}$.
(2)原式$=\frac{9y}{6xy}-\frac{4x}{6xy}=\frac{9y-4x}{6xy}$.
(3)原式$=\frac{(a-b)(a+b)}{a+b}+\frac{2b^2}{a+b}=\frac{a^2-b^2+2b^2}{a+b}=\frac{a^2+b^2}{a+b}$.
解析
【分析】
这三道题属于分式加减法运算，解题遵循异分母分式加减法的通用思路：第一步先找各分式的最简公分母，将异分母分式通分为同分母分式；第二步按照同分母分式“分母不变，分子相加减”的法则计算；第三步将最终结果化简为最简分式或整式。各小题具体思考方向：(1)两个分式的最简公分母为$ab^2$，只需将第一个分式通分后合并分子即可；(2)两个分式的最简公分母为$6xy$，分别通分后分子相减；(3)可将整式$a-b$看作分母为1的分式，最简公分母为$a+b$，通分后利用平方差公式展开分子，再合并同类项化简。
【解析】
(1) 确定最简公分母为$ab^2$，对第一个分式通分：
原式$=\frac{b}{ab^2}+\frac{2}{ab^2}=\frac{b+2}{ab^2}$
(2) 确定最简公分母为$6xy$，对两个分式分别通分：
原式$=\frac{3×3y}{2x×3y}-\frac{2×2x}{3y×2x}=\frac{9y}{6xy}-\frac{4x}{6xy}=\frac{9y-4x}{6xy}$
(3) 将$a-b$变形为$\frac{a-b}{1}$，确定最简公分母为$a+b$，通分后计算：
原式$=\frac{(a-b)(a+b)}{a+b}+\frac{2b^2}{a+b}=\frac{a^2 - b^2 + 2b^2}{a+b}=\frac{a^2 + b^2}{a+b}$
【答案】
(1)$\frac{b+2}{ab^2}$；(2)$\frac{9y-4x}{6xy}$；(3)$\frac{a^2+b^2}{a+b}$
【知识点】
异分母分式加减法，分式通分，平方差公式
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，核心是准确找到最简公分母完成通分，需注意整式参与分式运算时，可将整式看作分母为1的分式参与通分，最终运算结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.75
这三道题属于分式加减法运算，解题遵循异分母分式加减法的通用思路：第一步先找各分式的最简公分母，将异分母分式通分为同分母分式；第二步按照同分母分式“分母不变，分子相加减”的法则计算；第三步将最终结果化简为最简分式或整式。各小题具体思考方向：(1)两个分式的最简公分母为$ab^2$，只需将第一个分式通分后合并分子即可；(2)两个分式的最简公分母为$6xy$，分别通分后分子相减；(3)可将整式$a-b$看作分母为1的分式，最简公分母为$a+b$，通分后利用平方差公式展开分子，再合并同类项化简。
【解析】
(1) 确定最简公分母为$ab^2$，对第一个分式通分：
原式$=\frac{b}{ab^2}+\frac{2}{ab^2}=\frac{b+2}{ab^2}$
(2) 确定最简公分母为$6xy$，对两个分式分别通分：
原式$=\frac{3×3y}{2x×3y}-\frac{2×2x}{3y×2x}=\frac{9y}{6xy}-\frac{4x}{6xy}=\frac{9y-4x}{6xy}$
(3) 将$a-b$变形为$\frac{a-b}{1}$，确定最简公分母为$a+b$，通分后计算：
原式$=\frac{(a-b)(a+b)}{a+b}+\frac{2b^2}{a+b}=\frac{a^2 - b^2 + 2b^2}{a+b}=\frac{a^2 + b^2}{a+b}$
【答案】
(1)$\frac{b+2}{ab^2}$；(2)$\frac{9y-4x}{6xy}$；(3)$\frac{a^2+b^2}{a+b}$
【知识点】
异分母分式加减法，分式通分，平方差公式
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，核心是准确找到最简公分母完成通分，需注意整式参与分式运算时，可将整式看作分母为1的分式参与通分，最终运算结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.75
【例4】先化简再求值：$1-\dfrac{a}{a+1}$，其中$a=-2$。
规律总结 (1)解化简求值类问题时，必须先化简再求值，切忌直接代入求值；(2)化简时，先考虑因式分解和约分；(3)除法要化成乘法再计算。
规律总结 (1)解化简求值类问题时，必须先化简再求值，切忌直接代入求值；(2)化简时，先考虑因式分解和约分；(3)除法要化成乘法再计算。
答案
解:$1-\frac{a}{a+1}=\frac{a+1}{a+1}-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{a+1}$.
当$a=-2$时,$\frac{1}{a+1}=\frac{1}{-2+1}=-1$.
当$a=-2$时,$\frac{1}{a+1}=\frac{1}{-2+1}=-1$.
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，需遵循先化简再求值的原则解题。首先观察式子结构，属于整数减异分母分式的运算，我们可以将1转化为分母为$(a+1)$的同分母分式$\frac{a+1}{a+1}$，再根据同分母分式减法法则：分母不变，分子相减完成化简，最后将$a=-2$代入化简后的式子计算结果即可，先化简再代入能有效降低计算量、减少错误。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}1-\frac{a}{a+1}&=\frac{a+1}{a+1}-\frac{a}{a+1}\\&=\frac{(a+1)-a}{a+1}\\&=\frac{1}{a+1}\end{aligned}$
再将$a=-2$代入化简后的式子：
当$a=-2$时，
原式$=\frac{1}{-2+1}=\frac{1}{-1}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
异分母分式加减法，分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查异分母分式的通分、运算能力，解题时牢记先化简再求值的规则，代入数值计算时注意符号运算即可。
【难度系数】
0.9
这是一道分式化简求值题，需遵循先化简再求值的原则解题。首先观察式子结构，属于整数减异分母分式的运算，我们可以将1转化为分母为$(a+1)$的同分母分式$\frac{a+1}{a+1}$，再根据同分母分式减法法则：分母不变，分子相减完成化简，最后将$a=-2$代入化简后的式子计算结果即可，先化简再代入能有效降低计算量、减少错误。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}1-\frac{a}{a+1}&=\frac{a+1}{a+1}-\frac{a}{a+1}\\&=\frac{(a+1)-a}{a+1}\\&=\frac{1}{a+1}\end{aligned}$
再将$a=-2$代入化简后的式子：
当$a=-2$时，
原式$=\frac{1}{-2+1}=\frac{1}{-1}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
异分母分式加减法，分式化简求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心考查异分母分式的通分、运算能力，解题时牢记先化简再求值的规则，代入数值计算时注意符号运算即可。
【难度系数】
0.9
