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1. (2025吉林模拟)如图,有一个直角三角形纸板破损了一个角,如果把它补成一个完整的三角形纸板,需要补的角的度数是(
A.$45°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$25°$
B
)A.$45°$
B.$35°$
C.$55°$
D.$25°$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决本题，首先明确补全后的图形仍然是直角三角形，根据三角形内角和固定为180°的性质，已知直角三角形的直角为90°，图中还给出了一个内角为55°，只需要用内角和减去两个已知角的度数，即可求出需要补的角的度数。
【解析】
补全后的三角形为直角三角形，有一个内角为90°，已知另一个内角为55°。
根据三角形内角和为180°，可得需要补的角的度数为：
$180° - 90° - 55° = 35°$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是基础类题目，重点考查对三角形内角和定理的掌握和应用，结合直角三角形的特征即可快速求解，难度较低，主要检验学生对基础知识点的熟练程度。
【难度系数】
0.9
要解决本题，首先明确补全后的图形仍然是直角三角形，根据三角形内角和固定为180°的性质，已知直角三角形的直角为90°，图中还给出了一个内角为55°，只需要用内角和减去两个已知角的度数，即可求出需要补的角的度数。
【解析】
补全后的三角形为直角三角形，有一个内角为90°，已知另一个内角为55°。
根据三角形内角和为180°，可得需要补的角的度数为：
$180° - 90° - 55° = 35°$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是基础类题目，重点考查对三角形内角和定理的掌握和应用，结合直角三角形的特征即可快速求解，难度较低，主要检验学生对基础知识点的熟练程度。
【难度系数】
0.9
2.有下列条件:①$∠ A+∠ B=∠ C$;②$∠ A:∠ B:∠ C=5:3:2$;③$∠ A=90°-∠ B$;④$∠ A=2∠ B=3∠ C$.其中能判定$△ ABC$是直角三角形的条件有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2. C
解析
【分析】
要判定△ABC为直角三角形，只需验证三角形存在90°的内角即可，核心依据是三角形内角和为180°。我们可将每个条件分别结合内角和定理，通过等量代换或设未知数列式计算，判断是否能得到90°的内角，逐个验证即可。
【解析】
已知任意三角形内角和为$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，逐个分析条件：
1. 对条件①：$∠ A + ∠ B = ∠ C$，代入内角和公式得$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，可判定是直角三角形；
2. 对条件②：$∠ A:∠ B:∠ C=5:3:2$，设$∠ A=5x$，$∠ B=3x$，$∠ C=2x$，代入内角和得$5x+3x+2x=180°$，解得$x=18°$，则$∠ A=5×18°=90°$，可判定是直角三角形；
3. 对条件③：$∠ A=90°-∠ B$，移项得$∠ A+∠ B=90°$，则$∠ C=180°-(∠ A+∠ B)=90°$，可判定是直角三角形；
4. 对条件④：$∠ A=2∠ B=3∠ C$，可得$∠ B=\frac{1}{2}∠ A$，$∠ C=\frac{1}{3}∠ A$，代入内角和得$∠ A+\frac{1}{2}∠ A+\frac{1}{3}∠ A=180°$，通分计算得$\frac{11}{6}∠ A=180°$，解得$∠ A=\frac{1080}{11}°\approx98.2°$，没有90°内角，不能判定是直角三角形。
综上，能判定的是①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题围绕三角形形状判断设计，核心是灵活运用三角形内角和定理，解题时注意根据角的数量关系选择合适的计算方法，遇到比例关系可设未知数简化计算，遇到倍数关系要正确统一变量后再代入计算，避免因变量转换错误失分。
【难度系数】
0.7
要判定△ABC为直角三角形，只需验证三角形存在90°的内角即可，核心依据是三角形内角和为180°。我们可将每个条件分别结合内角和定理，通过等量代换或设未知数列式计算，判断是否能得到90°的内角，逐个验证即可。
【解析】
已知任意三角形内角和为$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，逐个分析条件：
1. 对条件①：$∠ A + ∠ B = ∠ C$，代入内角和公式得$∠ C + ∠ C = 180°$，解得$∠ C=90°$，可判定是直角三角形；
2. 对条件②：$∠ A:∠ B:∠ C=5:3:2$，设$∠ A=5x$，$∠ B=3x$，$∠ C=2x$，代入内角和得$5x+3x+2x=180°$，解得$x=18°$，则$∠ A=5×18°=90°$，可判定是直角三角形；
3. 对条件③：$∠ A=90°-∠ B$，移项得$∠ A+∠ B=90°$，则$∠ C=180°-(∠ A+∠ B)=90°$，可判定是直角三角形；
4. 对条件④：$∠ A=2∠ B=3∠ C$，可得$∠ B=\frac{1}{2}∠ A$，$∠ C=\frac{1}{3}∠ A$，代入内角和得$∠ A+\frac{1}{2}∠ A+\frac{1}{3}∠ A=180°$，通分计算得$\frac{11}{6}∠ A=180°$，解得$∠ A=\frac{1080}{11}°\approx98.2°$，没有90°内角，不能判定是直角三角形。
综上，能判定的是①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题围绕三角形形状判断设计，核心是灵活运用三角形内角和定理，解题时注意根据角的数量关系选择合适的计算方法，遇到比例关系可设未知数简化计算，遇到倍数关系要正确统一变量后再代入计算，避免因变量转换错误失分。
【难度系数】
0.7
3.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=∠ C=60°$,D是BC的中点,E是AC的中点,$EF// AD$,若$CF=2$,则AB的长为 (
A.2
B.4
C.6
D.8
D
)A.2
B.4
C.6
D.8
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先根据三角形内角和与已知角的度数，判定△ABC是等边三角形，得到三边相等、三线合一的性质；再结合平行线的性质推出△EFC是直角三角形，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出CE的长度，再结合E是AC中点的条件求出AC长度，最终得到AB的长度。
【解析】
1. 判定△ABC的形状：
在△ABC中，∠B=∠C=60°，则∠BAC=180°-60°-60°=60°，因此∠B=∠C=∠BAC，△ABC是等边三角形，故AB=BC=AC。
2. 推导AD与BC的位置关系：
因为D是等边△ABC底边BC的中点，根据等边三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，即∠ADC=90°。
3. 推导△EFC的形状：
已知EF//AD，根据平行线的同位角相等，可得∠EFC=∠ADC=90°，因此△EFC是直角三角形。
4. 计算CE的长度：
在Rt△EFC中，∠C=60°，则∠CEF=90°-60°=30°。根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，已知CF=2，因此CE=2CF=2×2=4。
5. 计算AB的长度：
因为E是AC的中点，所以AC=2CE=2×4=8。又因为△ABC是等边三角形，AB=AC，因此AB=8。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是特殊三角形性质的基础综合应用题，解题核心是先准确判定等边三角形，再结合平行线性质构造含30°角的直角三角形，利用特殊三角形的边长关系逐步推导，需要熟练掌握各类特殊三角形的基础性质，能够快速找到边角的对应关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据三角形内角和与已知角的度数，判定△ABC是等边三角形，得到三边相等、三线合一的性质；再结合平行线的性质推出△EFC是直角三角形，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出CE的长度，再结合E是AC中点的条件求出AC长度，最终得到AB的长度。
【解析】
1. 判定△ABC的形状：
在△ABC中，∠B=∠C=60°，则∠BAC=180°-60°-60°=60°，因此∠B=∠C=∠BAC，△ABC是等边三角形，故AB=BC=AC。
2. 推导AD与BC的位置关系：
因为D是等边△ABC底边BC的中点，根据等边三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，即∠ADC=90°。
3. 推导△EFC的形状：
已知EF//AD，根据平行线的同位角相等，可得∠EFC=∠ADC=90°，因此△EFC是直角三角形。
4. 计算CE的长度：
在Rt△EFC中，∠C=60°，则∠CEF=90°-60°=30°。根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，已知CF=2，因此CE=2CF=2×2=4。
5. 计算AB的长度：
因为E是AC的中点，所以AC=2CE=2×4=8。又因为△ABC是等边三角形，AB=AC，因此AB=8。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是特殊三角形性质的基础综合应用题，解题核心是先准确判定等边三角形，再结合平行线性质构造含30°角的直角三角形，利用特殊三角形的边长关系逐步推导，需要熟练掌握各类特殊三角形的基础性质，能够快速找到边角的对应关系。
【难度系数】
0.7
4.下列长度的线段不能首尾相接构成直角三角形的是（
A.8,15,17
B.2,2,3
C.3,4,5
D.5,12,13
B
）A.8,15,17
B.2,2,3
C.3,4,5
D.5,12,13
答案
4. B
解析
【分析】
这道题考查勾股定理逆定理的应用，要判断三条线段能否构成直角三角形，解题思路为：先找出每组线段中的最长边，再计算两条较短边的平方和，将其与最长边的平方比较，若二者相等则能构成直角三角形，反之则不能，我们逐一验证四个选项即可得到答案。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形三边满足$a^2+b^2=c^2$（$c$为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一判断：
A选项：最长边为17，$8^2+15^2=64+225=289$，$17^2=289$，即$8^2+15^2=17^2$，可以构成直角三角形；
B选项：最长边为3，$2^2+2^2=4+4=8$，$3^2=9$，$8≠9$，不满足勾股定理逆定理，不能构成直角三角形；
C选项：最长边为5，$3^2+4^2=9+16=25$，$5^2=25$，即$3^2+4^2=5^2$，可以构成直角三角形；
D选项：最长边为13，$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，即$5^2+12^2=13^2$，可以构成直角三角形。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是明确勾股定理逆定理的使用规则，验证时要以最长边作为斜边对应的边长，避免因边长对应错误导致判断失误。
【难度系数】
0.9
这道题考查勾股定理逆定理的应用，要判断三条线段能否构成直角三角形，解题思路为：先找出每组线段中的最长边，再计算两条较短边的平方和，将其与最长边的平方比较，若二者相等则能构成直角三角形，反之则不能，我们逐一验证四个选项即可得到答案。
【解析】
根据勾股定理的逆定理：若三角形三边满足$a^2+b^2=c^2$（$c$为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一判断：
A选项：最长边为17，$8^2+15^2=64+225=289$，$17^2=289$，即$8^2+15^2=17^2$，可以构成直角三角形；
B选项：最长边为3，$2^2+2^2=4+4=8$，$3^2=9$，$8≠9$，不满足勾股定理逆定理，不能构成直角三角形；
C选项：最长边为5，$3^2+4^2=9+16=25$，$5^2=25$，即$3^2+4^2=5^2$，可以构成直角三角形；
D选项：最长边为13，$5^2+12^2=25+144=169$，$13^2=169$，即$5^2+12^2=13^2$，可以构成直角三角形。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是明确勾股定理逆定理的使用规则，验证时要以最长边作为斜边对应的边长，避免因边长对应错误导致判断失误。
【难度系数】
0.9
5.如图所示,是一块由花园小道围成的边长为12 m的正方形绿地,在离C处5 m的绿地旁边B处有健身器材,为保护绿地,不直接穿过绿地从A到B,而是沿小道从A→C→B,这样多走了
4
m. 答案
5. 4
解析
【分析】
要计算沿小道走比直接穿绿地多走的路程，需先分别求出两种走法的路程再作差。首先观察图形可知△ACB是直角三角形，∠C为直角，已知两条直角边AC、BC的长度，可通过勾股定理求出直接走AB的路程；再计算沿小道A→C→B的总路程，两者的差值就是多走的长度。
【解析】
解：由题意得正方形边长为12m，故AC=12m，已知BC=5m，且∠C=90°，△ACB为直角三角形。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AB^2=AC^2+BC^2=12^2+5^2=144+25=169$
因此$AB=\sqrt{169}=13\ \mathrm{m}$
沿小道走的总路程为：$AC+BC=12+5=17\ \mathrm{m}$
多走的路程为：$17-13=4\ \mathrm{m}$
【答案】
4
【知识点】
勾股定理的应用；路程差计算
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际运用，解题关键是识别直角三角形，正确运用勾股定理计算斜边长度，再计算路程差即可得到结果，题型贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.8
要计算沿小道走比直接穿绿地多走的路程，需先分别求出两种走法的路程再作差。首先观察图形可知△ACB是直角三角形，∠C为直角，已知两条直角边AC、BC的长度，可通过勾股定理求出直接走AB的路程；再计算沿小道A→C→B的总路程，两者的差值就是多走的长度。
【解析】
解：由题意得正方形边长为12m，故AC=12m，已知BC=5m，且∠C=90°，△ACB为直角三角形。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$AB^2=AC^2+BC^2=12^2+5^2=144+25=169$
因此$AB=\sqrt{169}=13\ \mathrm{m}$
沿小道走的总路程为：$AC+BC=12+5=17\ \mathrm{m}$
多走的路程为：$17-13=4\ \mathrm{m}$
【答案】
4
【知识点】
勾股定理的应用；路程差计算
【点评】
本题结合生活场景考查几何知识的实际运用，解题关键是识别直角三角形，正确运用勾股定理计算斜边长度，再计算路程差即可得到结果，题型贴近生活，实用性较强。
【难度系数】
0.8
