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6.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C均在格点上.
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)求△ABC的面积.
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)求△ABC的面积.
答案
6.解:(1)△ABC为直角三角形.理由如下：
由勾股定理,得$AB^2=1^2+2^2=5$,$BC^2=2^2+4^2=20$,$AC^2=3^2+4^2=25$,
所以$AB^2+BC^2=AC^2$.
所以△ABC为直角三角形.
(2)因为$AB^2=5$,$BC^2=20$,
所以$AB=\sqrt{5}$,$BC=2\sqrt{5}$.
所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$.
由勾股定理,得$AB^2=1^2+2^2=5$,$BC^2=2^2+4^2=20$,$AC^2=3^2+4^2=25$,
所以$AB^2+BC^2=AC^2$.
所以△ABC为直角三角形.
(2)因为$AB^2=5$,$BC^2=20$,
所以$AB=\sqrt{5}$,$BC=2\sqrt{5}$.
所以$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$.
解析
【分析】
(1)要判断△ABC的形状，可先借助网格特征，用勾股定理分别计算出AB、BC、AC三边的平方，再利用勾股定理的逆定理验证是否满足两边平方和等于第三边的平方，即可判断三角形形状；(2)确认△ABC是直角三角形后，直接利用直角三角形面积等于两直角边乘积的一半计算面积即可。
【解析】
(1)△ABC为直角三角形，理由如下：
由勾股定理，得$AB^2=1^2+2^2=5$，$BC^2=2^2+4^2=20$，$AC^2=3^2+4^2=25$，
所以$AB^2+BC^2=5+20=25=AC^2$，根据勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形。
(2)由$AB^2=5$，$BC^2=20$，可得$AB=\sqrt{5}$，$BC=2\sqrt{5}$，
△ABC为直角三角形，AB、BC为直角边，因此面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$。
【答案】
(1)△ABC是直角三角形；(2)△ABC的面积为5。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于网格类基础几何题，解题关键是准确数出各边对应的水平、竖直格长，利用勾股定理计算边长平方，再结合逆定理判断三角形形状，计算时注意避免数格错误和运算失误。
【难度系数】
0.8
(1)要判断△ABC的形状，可先借助网格特征，用勾股定理分别计算出AB、BC、AC三边的平方，再利用勾股定理的逆定理验证是否满足两边平方和等于第三边的平方，即可判断三角形形状；(2)确认△ABC是直角三角形后，直接利用直角三角形面积等于两直角边乘积的一半计算面积即可。
【解析】
(1)△ABC为直角三角形，理由如下：
由勾股定理，得$AB^2=1^2+2^2=5$，$BC^2=2^2+4^2=20$，$AC^2=3^2+4^2=25$，
所以$AB^2+BC^2=5+20=25=AC^2$，根据勾股定理的逆定理可得△ABC为直角三角形。
(2)由$AB^2=5$，$BC^2=20$，可得$AB=\sqrt{5}$，$BC=2\sqrt{5}$，
△ABC为直角三角形，AB、BC为直角边，因此面积为：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$。
【答案】
(1)△ABC是直角三角形；(2)△ABC的面积为5。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于网格类基础几何题，解题关键是准确数出各边对应的水平、竖直格长，利用勾股定理计算边长平方，再结合逆定理判断三角形形状，计算时注意避免数格错误和运算失误。
【难度系数】
0.8
7.如图,在△ABC和△CDE中,若∠ACB=∠CED=90°,AB=CD,AC=CE,则下列结论中一定正确的是（
A.E为BC的中点
B.2BE=CD
C.△ABC≌△CDE
D.CB=CD
C
）A.E为BC的中点
B.2BE=CD
C.△ABC≌△CDE
D.CB=CD
答案
7. C
解析
【分析】
首先观察到△ABC和△CDE都是直角三角形，题目给出了一组斜边相等（AB=CD）、一组直角边相等（AC=CE），可先利用直角三角形特有的全等判定定理HL判断两个三角形是否全等，再结合已知条件逐一验证其余选项是否成立。
【解析】
解：
∵∠ACB=∠CED=90°，
∴△ABC和△CDE均为直角三角形。
在$Rt△ ABC$和$Rt△ CDE$中：
$\begin{cases}AB=CD \\AC=CE\end{cases}$
∴$Rt△ ABC ≌ Rt△ CDE$（HL），故C选项结论正确。
题干未给出BC与CE的长度关系，无法证明E为BC中点，也无法推导2BE=CD、CB=CD，因此A、B、D选项结论均不一定正确。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形全等的判定，全等三角形的判定
【点评】
本题重点考查直角三角形全等的HL判定定理，解题时需先明确三角形的类型，匹配对应的全等判定条件，结合排除法即可快速得到正确答案。
【难度系数】
0.8
首先观察到△ABC和△CDE都是直角三角形，题目给出了一组斜边相等（AB=CD）、一组直角边相等（AC=CE），可先利用直角三角形特有的全等判定定理HL判断两个三角形是否全等，再结合已知条件逐一验证其余选项是否成立。
【解析】
解：
∵∠ACB=∠CED=90°，
∴△ABC和△CDE均为直角三角形。
在$Rt△ ABC$和$Rt△ CDE$中：
$\begin{cases}AB=CD \\AC=CE\end{cases}$
∴$Rt△ ABC ≌ Rt△ CDE$（HL），故C选项结论正确。
题干未给出BC与CE的长度关系，无法证明E为BC中点，也无法推导2BE=CD、CB=CD，因此A、B、D选项结论均不一定正确。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形全等的判定，全等三角形的判定
【点评】
本题重点考查直角三角形全等的HL判定定理，解题时需先明确三角形的类型，匹配对应的全等判定条件，结合排除法即可快速得到正确答案。
【难度系数】
0.8
8.（杭州模拟）如图，在$△ ABC$中，$AD ⊥ BC$于点$D$，$AD$与$BE$相交于点$H$。若$BH=AC=2$，$DH=DC=1$，则$AB=$
$\sqrt{6}$
。答案
8. $\sqrt{6}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先由AD⊥BC可知△BDH和△ADC均为直角三角形，结合已知条件BH=AC、DH=DC，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到BD=AD的等量关系；接着在Rt△ADC中利用勾股定理求出AD的长度，也就得到了BD的长度；最后在Rt△ABD中再次运用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵$AD⊥BC$，
∴$∠ BDH=∠ ADC=90°$
在$Rt△ BDH$和$Rt△ ADC$中：
$\begin{cases}BH=AC \\DH=DC\end{cases}$
∴$Rt△ BDH≌Rt△ ADC\mathrm{(HL)}$，可得$BD=AD$
在$Rt△ ADC$中，$AC=2$，$DC=1$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-DC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
∴$BD=AD=\sqrt{3}$
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}$
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
直角三角形全等的判定；勾股定理
【点评】
本题是典型的几何综合计算题，解题的核心是先通过全等三角形转化边的等量关系，再两次运用勾股定理计算边长，对全等判定和勾股定理的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先由AD⊥BC可知△BDH和△ADC均为直角三角形，结合已知条件BH=AC、DH=DC，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，得到BD=AD的等量关系；接着在Rt△ADC中利用勾股定理求出AD的长度，也就得到了BD的长度；最后在Rt△ABD中再次运用勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
解：
∵$AD⊥BC$，
∴$∠ BDH=∠ ADC=90°$
在$Rt△ BDH$和$Rt△ ADC$中：
$\begin{cases}BH=AC \\DH=DC\end{cases}$
∴$Rt△ BDH≌Rt△ ADC\mathrm{(HL)}$，可得$BD=AD$
在$Rt△ ADC$中，$AC=2$，$DC=1$，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-DC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$
∴$BD=AD=\sqrt{3}$
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}$
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
直角三角形全等的判定；勾股定理
【点评】
本题是典型的几何综合计算题，解题的核心是先通过全等三角形转化边的等量关系，再两次运用勾股定理计算边长，对全等判定和勾股定理的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
9. 如图，$AB=CD$，$DE⊥ AC$，$BF⊥ AC$，垂足分别为$E,F$，$DE=BF$. 求证：
(1)$AF=CE$；
(2)$AB// CD$.
(1)$AF=CE$；
(2)$AB// CD$.
答案
9. 证明:(1)因为$DE⊥AC$,$BF⊥AC$,所以$∠AFB=∠CED=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ABF$和$\mathrm{Rt}△CDE$中,$\begin{cases} AB=CD, \\ BF=DE, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ABF≌\mathrm{Rt}△CDE(\mathrm{HL})$,所以$AF=CE$.
(2)因为$\mathrm{Rt}△ABF≌\mathrm{Rt}△CDE$,
所以$∠BAC=∠DCA$,所以$AB// CD$.
在$\mathrm{Rt}△ABF$和$\mathrm{Rt}△CDE$中,$\begin{cases} AB=CD, \\ BF=DE, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ABF≌\mathrm{Rt}△CDE(\mathrm{HL})$,所以$AF=CE$.
(2)因为$\mathrm{Rt}△ABF≌\mathrm{Rt}△CDE$,
所以$∠BAC=∠DCA$,所以$AB// CD$.
解析
【分析】
(1) 要证$AF=CE$，可先证明两条线段所在的直角三角形全等。由已知的垂直条件可得$△ ABF$和$△ CDE$都是直角三角形，再结合题中给出的斜边$AB=CD$、直角边$BF=DE$，可通过HL判定两个直角三角形全等，根据全等三角形对应边相等即可得$AF=CE$。
(2) 要证$AB// CD$，根据平行线的判定规则，只需证明$AB$、$CD$被$AC$所截形成的内错角$∠ BAC$和$∠ DCA$相等即可，由(1)的全等结论可直接得到这组对应角相等，进而推出两直线平行。
【解析】
证明：
(1) $\because DE⊥ AC$，$BF⊥ AC$，
$\therefore ∠ AFB=∠ CED=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中，
$\begin{cases} AB=CD \\ BF=DE \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABF≌\mathrm{Rt}△ CDE(\mathrm{HL})$，
$\therefore AF=CE$。
(2) $\because \mathrm{Rt}△ ABF≌\mathrm{Rt}△ CDE$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DCA$，
$\therefore AB// CD$。
【答案】
(1) 证明见解析，可得$AF=CE$；
(2) 证明见解析，可得$AB// CD$。
【知识点】
直角三角形全等的判定、全等三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形与平行线判定结合的基础题型，解题核心是先通过HL证明直角三角形全等，以全等为桥梁得到相等的边和角，进而完成待证结论，属于几何证明的基础必掌握题型。
【难度系数】
0.8
(1) 要证$AF=CE$，可先证明两条线段所在的直角三角形全等。由已知的垂直条件可得$△ ABF$和$△ CDE$都是直角三角形，再结合题中给出的斜边$AB=CD$、直角边$BF=DE$，可通过HL判定两个直角三角形全等，根据全等三角形对应边相等即可得$AF=CE$。
(2) 要证$AB// CD$，根据平行线的判定规则，只需证明$AB$、$CD$被$AC$所截形成的内错角$∠ BAC$和$∠ DCA$相等即可，由(1)的全等结论可直接得到这组对应角相等，进而推出两直线平行。
【解析】
证明：
(1) $\because DE⊥ AC$，$BF⊥ AC$，
$\therefore ∠ AFB=∠ CED=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABF$和$\mathrm{Rt}△ CDE$中，
$\begin{cases} AB=CD \\ BF=DE \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABF≌\mathrm{Rt}△ CDE(\mathrm{HL})$，
$\therefore AF=CE$。
(2) $\because \mathrm{Rt}△ ABF≌\mathrm{Rt}△ CDE$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DCA$，
$\therefore AB// CD$。
【答案】
(1) 证明见解析，可得$AF=CE$；
(2) 证明见解析，可得$AB// CD$。
【知识点】
直角三角形全等的判定、全等三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形与平行线判定结合的基础题型，解题核心是先通过HL证明直角三角形全等，以全等为桥梁得到相等的边和角，进而完成待证结论，属于几何证明的基础必掌握题型。
【难度系数】
0.8
10. (重庆模拟)如图，$AB=AD$，$AC=AE$，$AC⊥BC$，$AE⊥DE$，垂足分别为$C$，$E$，$DE$分别交$AB$，$CB$于点$F$，$G$.
(1)求证：$△ ABC≌△ ADE$；
(2)若$∠ D=30°$，$∠ DAB=28°$，求$∠ DGB$的度数.
(1)求证：$△ ABC≌△ ADE$；
(2)若$∠ D=30°$，$∠ DAB=28°$，求$∠ DGB$的度数.
答案
10. (1)证明:因为$AC⊥BC$,$AE⊥DE$,所以$∠C=∠E=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△ADE$中,$\begin{cases} AB=AD, \\ AC=AE, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△ADE(\mathrm{HL})$.
(2)解:因为$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△ADE$,
所以$∠B=∠D=30°$.
因为$∠DAB=28°$,
所以$∠DFB=∠D+∠DAB=30°+28°=58°$,
所以$∠DGB=∠DFB+∠B=58°+30°=88°$.
在$\mathrm{Rt}△ABC$和$\mathrm{Rt}△ADE$中,$\begin{cases} AB=AD, \\ AC=AE, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△ADE(\mathrm{HL})$.
(2)解:因为$\mathrm{Rt}△ABC≌\mathrm{Rt}△ADE$,
所以$∠B=∠D=30°$.
因为$∠DAB=28°$,
所以$∠DFB=∠D+∠DAB=30°+28°=58°$,
所以$∠DGB=∠DFB+∠B=58°+30°=88°$.
解析
【分析】
(1) 要证明$△ ABC≌△ ADE$，先观察已知条件：$AC⊥BC$、$AE⊥DE$，说明两个三角形都是直角三角形，题目还给出斜边$AB=AD$，直角边$AC=AE$，符合直角三角形全等的HL判定定理，因此可通过HL证明两个直角三角形全等。
(2) 要求$∠ DGB$的度数，首先利用全等三角形的对应角相等可得$∠ B=∠ D=30°$；再结合三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，先求$∠ DFB$（是$△ ADF$的外角，等于$∠ D+∠ DAB$），再求$∠ DGB$（是$△ BFG$的外角，等于$∠ DFB+∠ B$），逐步计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：$\because AC⊥ BC$，$AE⊥ DE$，$\therefore ∠ C=∠ E=90°$，即$△ ABC$和$△ ADE$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ ADE$中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ AC=AE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ ADE(\mathrm{HL})$。
(2) 解：$\because \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ ADE$，$\therefore ∠ B=∠ D=30°$。
$\because ∠ DFB$是$△ ADF$的外角，$\therefore ∠ DFB=∠ D+∠ DAB=30°+28°=58°$。
又$\because ∠ DGB$是$△ BFG$的外角，$\therefore ∠ DGB=∠ DFB+∠ B=58°+30°=88°$。
【答案】
(1) $△ ABC≌△ ADE$，证明成立；
(2) $∠ DGB=88°$
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础题，解题核心是先通过HL定理证明三角形全等，得到对应角相等的结论，再结合三角形外角的性质逐步推导所求角度，解题时要注意准确识别外角对应的不相邻内角。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$△ ABC≌△ ADE$，先观察已知条件：$AC⊥BC$、$AE⊥DE$，说明两个三角形都是直角三角形，题目还给出斜边$AB=AD$，直角边$AC=AE$，符合直角三角形全等的HL判定定理，因此可通过HL证明两个直角三角形全等。
(2) 要求$∠ DGB$的度数，首先利用全等三角形的对应角相等可得$∠ B=∠ D=30°$；再结合三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，先求$∠ DFB$（是$△ ADF$的外角，等于$∠ D+∠ DAB$），再求$∠ DGB$（是$△ BFG$的外角，等于$∠ DFB+∠ B$），逐步计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：$\because AC⊥ BC$，$AE⊥ DE$，$\therefore ∠ C=∠ E=90°$，即$△ ABC$和$△ ADE$都是直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ ADE$中，
$\begin{cases} AB=AD, \\ AC=AE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ ADE(\mathrm{HL})$。
(2) 解：$\because \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ ADE$，$\therefore ∠ B=∠ D=30°$。
$\because ∠ DFB$是$△ ADF$的外角，$\therefore ∠ DFB=∠ D+∠ DAB=30°+28°=58°$。
又$\because ∠ DGB$是$△ BFG$的外角，$\therefore ∠ DGB=∠ DFB+∠ B=58°+30°=88°$。
【答案】
(1) $△ ABC≌△ ADE$，证明成立；
(2) $∠ DGB=88°$
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础题，解题核心是先通过HL定理证明三角形全等，得到对应角相等的结论，再结合三角形外角的性质逐步推导所求角度，解题时要注意准确识别外角对应的不相邻内角。
【难度系数】
0.7
