登录
7. 如图，OC平分∠MON，过点C作DA⊥OM，分别交OM，ON于点A，D，过点C作EB⊥ON，分别交ON，OM于点B，E。求证：CE=CD。
答案
证明:因为 $OC$ 平分$∠ MON$,$CA⊥ OM$,$CB⊥ ON$,所以 $CA=CB$,$∠ EAC=∠ DBC=90°$.
在$△ ACE$ 和$△ BCD$ 中,$\begin{cases} ∠ CAE=∠ CBD,\\ CA=CB,\\ ∠ ACE=∠ BCD, \end{cases}$
所以$△ ACE≌△ BCD(\mathrm{ASA})$,所以 $CE=CD$.
在$△ ACE$ 和$△ BCD$ 中,$\begin{cases} ∠ CAE=∠ CBD,\\ CA=CB,\\ ∠ ACE=∠ BCD, \end{cases}$
所以$△ ACE≌△ BCD(\mathrm{ASA})$,所以 $CE=CD$.
解析
【分析】
要证明CE=CD，通常可以通过证明两条线段所在的三角形全等来实现，本题中CE在△ACE中，CD在△BCD中，因此目标是证明△ACE≌△BCD。首先根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知CA⊥OM、CB⊥ON，可得到CA=CB，同时得到两个直角∠CAE=∠CBD=90°，再结合对顶角∠ACE=∠BCD，即可通过ASA判定两个三角形全等，进而得到对应边相等。
【解析】
证明：因为OC平分∠MON，CA⊥OM，CB⊥ON，所以CA=CB，∠EAC=∠DBC=90°。
在△ACE和△BCD中，
$\begin{cases} ∠CAE=∠CBD,\\ CA=CB,\\ ∠ACE=∠BCD, \end{cases}$
所以△ACE≌△BCD（ASA），所以CE=CD。
【答案】
证明见上述解析，CE=CD得证。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定（ASA）；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是先利用角平分线的性质得到相等的线段，再结合直角、对顶角相等的条件证明三角形全等，进而得到对应边相等，是几何部分的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
要证明CE=CD，通常可以通过证明两条线段所在的三角形全等来实现，本题中CE在△ACE中，CD在△BCD中，因此目标是证明△ACE≌△BCD。首先根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，结合已知CA⊥OM、CB⊥ON，可得到CA=CB，同时得到两个直角∠CAE=∠CBD=90°，再结合对顶角∠ACE=∠BCD，即可通过ASA判定两个三角形全等，进而得到对应边相等。
【解析】
证明：因为OC平分∠MON，CA⊥OM，CB⊥ON，所以CA=CB，∠EAC=∠DBC=90°。
在△ACE和△BCD中，
$\begin{cases} ∠CAE=∠CBD,\\ CA=CB,\\ ∠ACE=∠BCD, \end{cases}$
所以△ACE≌△BCD（ASA），所以CE=CD。
【答案】
证明见上述解析，CE=CD得证。
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定（ASA）；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是先利用角平分线的性质得到相等的线段，再结合直角、对顶角相等的条件证明三角形全等，进而得到对应边相等，是几何部分的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
8. 如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等.若∠A=40°,则∠BOC的度数为（
A.110°
B.115°
C.125°
D.130°
A
）A.110°
B.115°
C.125°
D.130°
答案
8. A
解析
【分析】
解题时首先根据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，判断出点O是△ABC三个内角的角平分线交点，即BO平分∠ABC、CO平分∠ACB；接下来结合已知∠A的度数，利用三角形内角和定理先求出∠ABC与∠ACB的度数和，再推导得到∠OBC与∠OCB的度数和；最后在△BOC中再次利用三角形内角和定理，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O到△ABC三边的距离相等
∴BO是∠ABC的角平分线，CO是∠ACB的角平分线
∴$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，$∠ A=40°$，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 40° = 140°$
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×140° = 70°$
在△BOC中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 70° = 110°$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线相关性质与三角形内角和的综合基础题，解题的关键是根据点到三边距离相等判断出该点是三角形内角平分线的交点，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，判断出点O是△ABC三个内角的角平分线交点，即BO平分∠ABC、CO平分∠ACB；接下来结合已知∠A的度数，利用三角形内角和定理先求出∠ABC与∠ACB的度数和，再推导得到∠OBC与∠OCB的度数和；最后在△BOC中再次利用三角形内角和定理，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O到△ABC三边的距离相等
∴BO是∠ABC的角平分线，CO是∠ACB的角平分线
∴$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，$∠ A=40°$，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 40° = 140°$
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×140° = 70°$
在△BOC中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° - 70° = 110°$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线相关性质与三角形内角和的综合基础题，解题的关键是根据点到三边距离相等判断出该点是三角形内角平分线的交点，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
9.如图，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,且OD⊥BC于点D，△ABC的周长为18 cm，OD=3 cm，则△ABC的面积为
27
cm²。答案
9. 27
解析
【分析】
首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，因此O到△ABC三边AB、BC、AC的距离都等于OD的长度。要求△ABC的面积，可将其拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高均为OD，底之和恰好是△ABC的周长，代入面积公式即可计算出结果。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，连接OA。
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=3cm（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，
∵CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OF=OD=3cm。
△ABC的面积为三个小三角形面积之和：
$ S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC} $
$ =\frac{1}{2}×AB×OE + \frac{1}{2}×BC×OD + \frac{1}{2}×AC×OF $
代入OE=OF=OD=3cm，△ABC周长$ AB+BC+AC=18cm $，得：
$ =\frac{1}{2}×3×(AB+BC+AC) $
$ =\frac{1}{2}×3×18=27(cm^2) $
【答案】
27
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题目，解题的核心是通过拆分大三角形面积，结合角平分线性质得到三个小三角形的高相等，再利用整体代入周长的方式简化计算，避免分别求各边长度，能很好地考查对性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中O是∠ABC和∠ACB的角平分线交点，因此O到△ABC三边AB、BC、AC的距离都等于OD的长度。要求△ABC的面积，可将其拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形的面积之和，三个小三角形的高均为OD，底之和恰好是△ABC的周长，代入面积公式即可计算出结果。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，连接OA。
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=3cm（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
同理，
∵CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OF=OD=3cm。
△ABC的面积为三个小三角形面积之和：
$ S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC} $
$ =\frac{1}{2}×AB×OE + \frac{1}{2}×BC×OD + \frac{1}{2}×AC×OF $
代入OE=OF=OD=3cm，△ABC周长$ AB+BC+AC=18cm $，得：
$ =\frac{1}{2}×3×(AB+BC+AC) $
$ =\frac{1}{2}×3×18=27(cm^2) $
【答案】
27
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用题目，解题的核心是通过拆分大三角形面积，结合角平分线性质得到三个小三角形的高相等，再利用整体代入周长的方式简化计算，避免分别求各边长度，能很好地考查对性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图, 在 Rt△ABC 中, ∠ABC = 90°, AB = 3, BC=6, BD 为△ABC 的平分线, 若 DE⊥AB, 垂足为 E, 则 DE=
2
.答案
10. 2
解析
【分析】
首先观察题干条件：BD是∠ABC的角平分线，且DE⊥AB，根据角平分线的性质，我们可以得到点D到BC的距离与DE长度相等；接下来我们可以利用面积法，将Rt△ABC的面积拆分为△ABD和△CBD的面积之和，两个小三角形的高分别为DE和点D到BC的距离，二者相等，代入已知边长即可建立关于DE的方程，求解即可得到结果。
【解析】
过点D作DF⊥BC，垂足为F。
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
设DE的长度为$ x $，则DF$ =x $。
根据三角形面积公式：
$ S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ CBD} $
其中$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×3×6=9 $，
$ S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE=\frac{1}{2}×3x=\frac{3}{2}x $，
$ S_{△ CBD}=\frac{1}{2}× BC× DF=\frac{1}{2}×6x=3x $。
代入面积等式得：
$ \frac{3}{2}x + 3x =9 $
合并同类项得$ \frac{9}{2}x=9 $，解得$ x=2 $。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用问题，通过面积法建立等量关系求解较为简便，也可通过证明平行线得到相似三角形求解，解题方法灵活，能很好地考查对基础知识的运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察题干条件：BD是∠ABC的角平分线，且DE⊥AB，根据角平分线的性质，我们可以得到点D到BC的距离与DE长度相等；接下来我们可以利用面积法，将Rt△ABC的面积拆分为△ABD和△CBD的面积之和，两个小三角形的高分别为DE和点D到BC的距离，二者相等，代入已知边长即可建立关于DE的方程，求解即可得到结果。
【解析】
过点D作DF⊥BC，垂足为F。
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
设DE的长度为$ x $，则DF$ =x $。
根据三角形面积公式：
$ S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ CBD} $
其中$ S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×3×6=9 $，
$ S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE=\frac{1}{2}×3x=\frac{3}{2}x $，
$ S_{△ CBD}=\frac{1}{2}× BC× DF=\frac{1}{2}×6x=3x $。
代入面积等式得：
$ \frac{3}{2}x + 3x =9 $
合并同类项得$ \frac{9}{2}x=9 $，解得$ x=2 $。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的典型应用问题，通过面积法建立等量关系求解较为简便，也可通过证明平行线得到相似三角形求解，解题方法灵活，能很好地考查对基础知识的运用能力。
【难度系数】
0.7
11. (东莞模拟)已知:如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,D是边AB的中点,点E,F分别在边BC,AC上,且$EF=EC$,$DF=DA$.求证:点D在$∠ BEF$的平分线上.
答案
证明:如图,连接 ED,
因为 $EF=EC$,$DF=DA$,所以$∠ C=∠ CFE$,$∠ A=∠ AFD$.
因为$∠ B=90°$,所以$∠ C+∠ A=90°$,所以$∠ CFE+∠ AFD=90°$,所以$∠ DFE=90°$.
因为 $D$ 是边 $AB$ 的中点,所以 $AD=DB$,所以 $DB=DF$,所以点 $D$ 在$∠ BEF$ 的平分线上.
解析
【分析】
要证明点D在∠BEF的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到∠BEF的两边EB、EF的距离相等即可。已知∠B=90°，因此DB⊥EB，DB是点D到EB的距离，接下来只需证明点D到EF的距离等于DB。首先连接辅助线ED，利用等边对等角的性质，结合直角三角形两锐角互余的性质推导∠DFE=90°，得到DF⊥EF，再结合D是AB中点、DF=DA的条件，即可得到DF=DB，满足角平分线的判定条件。
【解析】
证明：如图，连接ED，
∵ $EF=EC$，$DF=DA$，
∴ $∠C=∠CFE$，$∠A=∠AFD$（等边对等角）。
∵ $∠B=90°$，
∴ $∠C+∠A=90°$（直角三角形两锐角互余），
∴ $∠CFE+∠AFD=90°$，
∴ $∠DFE=180°-(∠CFE+∠AFD)=90°$，即$DF⊥EF$。
∵ D是边AB的中点，
∴ $AD=DB$，
又
∵ $DF=DA$，
∴ $DB=DF$。
∵ $DB⊥BE$，$DF⊥EF$，
∴ 点D在∠BEF的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
【答案】
证明:如图,连接 ED,
因为 $EF=EC$,$DF=DA$,所以$∠ C=∠ CFE$,$∠ A=∠ AFD$.
因为$∠ B=90°$,所以$∠ C+∠ A=90°$,所以$∠ CFE+∠ AFD=90°$,所以$∠ DFE=90°$.
因为 $D$ 是边 $AB$ 的中点,所以 $AD=DB$,所以 $DB=DF$,所以点 $D$ 在$∠ BEF$ 的平分线上.
【知识点】
角平分线的判定；等边对等角；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查角平分线判定定理的应用，通过作辅助线、角度推导得到点到角两边的距离相等是解题的关键，能有效检验学生对基础几何定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
要证明点D在∠BEF的平分线上，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到∠BEF的两边EB、EF的距离相等即可。已知∠B=90°，因此DB⊥EB，DB是点D到EB的距离，接下来只需证明点D到EF的距离等于DB。首先连接辅助线ED，利用等边对等角的性质，结合直角三角形两锐角互余的性质推导∠DFE=90°，得到DF⊥EF，再结合D是AB中点、DF=DA的条件，即可得到DF=DB，满足角平分线的判定条件。
【解析】
证明：如图，连接ED，
∵ $EF=EC$，$DF=DA$，
∴ $∠C=∠CFE$，$∠A=∠AFD$（等边对等角）。
∵ $∠B=90°$，
∴ $∠C+∠A=90°$（直角三角形两锐角互余），
∴ $∠CFE+∠AFD=90°$，
∴ $∠DFE=180°-(∠CFE+∠AFD)=90°$，即$DF⊥EF$。
∵ D是边AB的中点，
∴ $AD=DB$，
又
∵ $DF=DA$，
∴ $DB=DF$。
∵ $DB⊥BE$，$DF⊥EF$，
∴ 点D在∠BEF的平分线上（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）。
【答案】
证明:如图,连接 ED,
因为 $EF=EC$,$DF=DA$,所以$∠ C=∠ CFE$,$∠ A=∠ AFD$.
因为$∠ B=90°$,所以$∠ C+∠ A=90°$,所以$∠ CFE+∠ AFD=90°$,所以$∠ DFE=90°$.
因为 $D$ 是边 $AB$ 的中点,所以 $AD=DB$,所以 $DB=DF$,所以点 $D$ 在$∠ BEF$ 的平分线上.
【知识点】
角平分线的判定；等边对等角；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何证明题，核心考查角平分线判定定理的应用，通过作辅助线、角度推导得到点到角两边的距离相等是解题的关键，能有效检验学生对基础几何定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
12. 如图，在$△ ABC$和$△ ADE$中，$∠ E=∠ C$，$DE=BC$，$EA=CA$，过点$A$作$AF ⊥ DE$，垂足为$F$，$DE$交$CB$的延长线于点$G$，连接$AG$。
(1)求证：$GA$平分$∠ DGB$；
(2)若$S_{\mathrm{四边形}DGBA}=6$，$AF=\dfrac{3}{2}$，求$FG$的长。
(1)求证：$GA$平分$∠ DGB$；
(2)若$S_{\mathrm{四边形}DGBA}=6$，$AF=\dfrac{3}{2}$，求$FG$的长。
答案
(1)证明:如图,过点 $A$ 作 $AH⊥ BC$ 于点 $H$.
在$△ ABC$ 和$△ ADE$ 中,$\begin{cases} BC=DE,\\ ∠ C=∠ E,\\ AC=AE, \end{cases}$
所以$△ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS})$,所以 $S_{△ ABC}=S_{△ ADE}$.
又因为 $AF⊥ DE$,即 $\frac{1}{2}DE· AF=\frac{1}{2}BC· AH$,所以 $AF=AH$.
又因为 $AF⊥ DE$,$AH⊥ BC$,所以 $GA$ 平分$∠ DGB$.
(2)解:由(1)知,$△ ABC≌△ ADE$,所以 $AD=AB$.
又因为 $AF⊥ DE$,$AH⊥ BC$,$AF=AH$,所以 $\mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ ABH(\mathrm{HL})$,所以 $S_{\mathrm{四边形}DGBA}=S_{\mathrm{四边形}AFGH}=6$.
易得 $\mathrm{Rt}△ AFG≌\mathrm{Rt}△ AHG$,所以 $S_{△ AFG}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}AFGH}=3$.
因为 $AF=\frac{3}{2}$,所以 $\frac{1}{2}· FG· \frac{3}{2}=3$,解得 $FG=4$.
所以 $FG$ 的长为 $4$.
解析
【分析】
(1)要证明GA平分∠DGB，可利用角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在该角的平分线上，因此过点A作AH⊥BC于H，只需证明AF=AH即可。首先根据已知条件证明△ABC≌△ADE，得到两三角形面积相等，结合三角形面积公式和DE=BC的条件，可推出两条高AF=AH，进而证得GA是角平分线。
(2)要求FG的长，已知AF的长度，可通过求△AFG的面积，结合面积公式计算FG。首先由△ABC≌△ADE得AD=AB，结合AF=AH可证Rt△ADF≌Rt△ABH，将四边形DGBA的面积转化为四边形AFGH的面积；再证Rt△AFG≌Rt△AHG，可得△AFG的面积是四边形AFGH面积的一半，最后代入面积公式求解即可。
【解析】
(1)证明:如图,过点 $A$ 作 $AH⊥ BC$ 于点 $H$.
在$△ ABC$ 和$△ ADE$ 中,
$\begin{cases} BC=DE,\\ ∠ C=∠ E,\\ AC=AE, \end{cases}$
所以$△ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS})$,所以 $S_{△ ABC}=S_{△ ADE}$.
又因为 $AF⊥ DE$,即 $\frac{1}{2}DE· AF=\frac{1}{2}BC· AH$,所以 $AF=AH$.
又因为 $AF⊥ DE$,$AH⊥ BC$,所以 $GA$ 平分$∠ DGB$.
(2)解:由(1)知,$△ ABC≌△ ADE$,所以 $AD=AB$.
又因为 $AF⊥ DE$,$AH⊥ BC$,$AF=AH$,所以 $\mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ ABH(\mathrm{HL})$,所以 $S_{\mathrm{四边形}DGBA}=S_{\mathrm{四边形}AFGH}=6$.
易得 $\mathrm{Rt}△ AFG≌\mathrm{Rt}△ AHG$,所以 $S_{△ AFG}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}AFGH}=3$.
因为 $AF=\dfrac{3}{2}$,所以 $\frac{1}{2}· FG· \frac{3}{2}=3$,解得 $FG=4$.
【答案】
(1) GA平分$∠DGB$，证明成立；
(2) $FG$的长为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了全等三角形、角平分线和面积转化的相关知识，解题关键是合理构造辅助线，利用全等性质实现线段和面积的等量转换，有助于提升几何综合题的分析推理能力。
【难度系数】
0.6
(1)要证明GA平分∠DGB，可利用角平分线的判定定理：在角的内部，到角两边距离相等的点在该角的平分线上，因此过点A作AH⊥BC于H，只需证明AF=AH即可。首先根据已知条件证明△ABC≌△ADE，得到两三角形面积相等，结合三角形面积公式和DE=BC的条件，可推出两条高AF=AH，进而证得GA是角平分线。
(2)要求FG的长，已知AF的长度，可通过求△AFG的面积，结合面积公式计算FG。首先由△ABC≌△ADE得AD=AB，结合AF=AH可证Rt△ADF≌Rt△ABH，将四边形DGBA的面积转化为四边形AFGH的面积；再证Rt△AFG≌Rt△AHG，可得△AFG的面积是四边形AFGH面积的一半，最后代入面积公式求解即可。
【解析】
(1)证明:如图,过点 $A$ 作 $AH⊥ BC$ 于点 $H$.
在$△ ABC$ 和$△ ADE$ 中,
$\begin{cases} BC=DE,\\ ∠ C=∠ E,\\ AC=AE, \end{cases}$
所以$△ ABC≌△ ADE(\mathrm{SAS})$,所以 $S_{△ ABC}=S_{△ ADE}$.
又因为 $AF⊥ DE$,即 $\frac{1}{2}DE· AF=\frac{1}{2}BC· AH$,所以 $AF=AH$.
又因为 $AF⊥ DE$,$AH⊥ BC$,所以 $GA$ 平分$∠ DGB$.
(2)解:由(1)知,$△ ABC≌△ ADE$,所以 $AD=AB$.
又因为 $AF⊥ DE$,$AH⊥ BC$,$AF=AH$,所以 $\mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ ABH(\mathrm{HL})$,所以 $S_{\mathrm{四边形}DGBA}=S_{\mathrm{四边形}AFGH}=6$.
易得 $\mathrm{Rt}△ AFG≌\mathrm{Rt}△ AHG$,所以 $S_{△ AFG}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{四边形}AFGH}=3$.
因为 $AF=\dfrac{3}{2}$,所以 $\frac{1}{2}· FG· \frac{3}{2}=3$,解得 $FG=4$.
【答案】
(1) GA平分$∠DGB$，证明成立；
(2) $FG$的长为$\boldsymbol{4}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了全等三角形、角平分线和面积转化的相关知识，解题关键是合理构造辅助线，利用全等性质实现线段和面积的等量转换，有助于提升几何综合题的分析推理能力。
【难度系数】
0.6
