【变式2】如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC.
(1)求证:AE平分∠BAD;
(2)若AD=10,CB=8,求$S_{△ ADE}$.

(1)证明:如图,过点 E 作 $EF⊥ DA$ 于点 F.
因为$∠ C=90°$,$DE$ 平分$∠ ADC$,所以 $CE=EF$.
因为 $E$ 是 $BC$ 的中点，所以 $BE=CE$，所以 $BE=EF$.
又因为$∠ B=90°$,$EF⊥ AD$，所以 $AE$ 平分$∠ BAD$.
(2)解:因为 $E$ 是 $BC$ 的中点,$CB=8$，所以 $CE=\frac{1}{2}BC=4$.
根据(1)可知,$EF=CE=4$，所以 $S_{△ ADE}=\frac{1}{2}AD· EF=\frac{1}{2}×10×4=20$.

【分析】
(1)要证明AE平分∠BAD，可利用角平分线的判定定理：在角内部，到角两边距离相等的点在该角的平分线上。已知∠B=90°即EB⊥AB，因此只需证明点E到AD的距离等于EB即可。结合DE平分∠ADC、∠C=90°，根据角平分线的性质可得CE等于点E到AD的距离，再由E是BC中点推出CE=BE，即可完成证明。
(2)求△ADE的面积时，已知底AD的长度，只需找到AD边上的高即可。由(1)的推导可知AD边上的高为EF，EF与CE长度相等，CE是BC的一半，代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
(1)证明：过点E作$EF⊥DA$于点F。
∵∠C=90°，DE平分∠ADC，
∴由角平分线的性质可得$CE=EF$。
∵E是BC的中点，
∴$BE=CE$，
∴$BE=EF$。
又
∵∠B=90°，$EF⊥AD$，
∴由角平分线的判定定理可得AE平分∠BAD。
(2)解：
∵E是BC的中点，$CB=8$，
∴$CE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×8=4$。
由(1)可知$EF=CE=4$，
∴$S_{△ADE}=\frac{1}{2}AD·EF=\frac{1}{2}×10×4=20$。
【答案】
(1)证明:如图,过点 E 作 $EF⊥ DA$ 于点 F.
因为$∠ C=90°$,$DE$ 平分$∠ ADC$,所以 $CE=EF$.
因为 $E$ 是 $BC$ 的中点，所以 $BE=CE$，所以 $BE=EF$.
又因为$∠ B=90°$,$EF⊥ AD$，所以 $AE$ 平分$∠ BAD$.
(2)解:因为 $E$ 是 $BC$ 的中点,$CB=8$，所以 $CE=\frac{1}{2}BC=4$.
根据(1)可知,$EF=CE=4$，所以 $S_{△ ADE}=\frac{1}{2}AD· EF=\frac{1}{2}×10×4=20$.
【知识点】
角平分线的性质与判定、三角形面积计算
【点评】
本题核心考查角平分线性质和判定的综合应用，构造垂线段的辅助线是解题的关键，解题过程渗透了转化思想，能帮助学生加深对角平分线相关定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7

1. (2025安康模拟)如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，且PD⊥OB于点D，PE⊥OA于点E，若PD=3，则PE=（）

A.2
B.$\frac{3}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.3

1. D

【分析】
解题时先梳理已知条件：首先OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OB、PE⊥OA，说明PD、PE分别是角平分线上的点P到角两边OB、OA的距离。此时回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，即可直接得到PE和PD的等量关系，代入PD的数值就能求出PE的长度。
【解析】
∵ OC是∠AOB的平分线，P在OC上，且PD⊥OB，PE⊥OA，
∴ 根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得PE = PD。
又
∵ PD = 3，
∴ PE = 3，故选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题属于基础题，直接考查角平分线性质的直接应用，解题关键是准确识别角平分线上的点到角两边的垂线段，熟记对应性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

2.如图，在$△ ABC$中，$AC=5$，$AB=7$，$AD$平分$∠ BAC$，$DE ⊥ AC$于点$E$，$DE=2$，则$△ ABD$的面积为（）


A.14
B.12
C.10
D.7

2. D

【分析】
要求△ABD的面积，已知AB的边长，只需要求出AB边上的高即可。已知AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，我们过D作AB的垂线，这条垂线段的长度就等于DE的长度，再代入三角形面积公式就能计算出△ABD的面积。
【解析】
解：过点D作DF⊥AB，垂足为F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴根据角平分线的性质可得DF=DE=2。
已知AB=7，根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DF = \frac{1}{2} × 7 × 2 =7$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题关键是通过作辅助线得到△ABD的高，结合已知条件直接计算即可，熟练掌握角平分线的性质能快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8

3. 如图,一把直尺压住射线OB,另一把完全一样的直尺压住射线OA,并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的平分线.”这样说的依据是 ()

A.全等三角形的对应角相等
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形的角平分线相交于一点
D.角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上

3. D

【分析】
解题时首先明确两把完全相同的直尺宽度是相等的，交点P到射线OA的距离等于上方直尺的宽度，到射线OB的距离等于下方直尺的宽度，因此可得到P到∠AOB两边的距离相等。接下来回忆角平分线的相关定理：角平分线的性质是“角平分线上的点到角两边距离相等”，是由角平分线推距离相等；而本题是由距离相等推射线是角平分线，对应角平分线的判定定理，再对应选项即可找到答案。
【解析】
过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F。
∵两把直尺完全相同，
∴直尺的宽度相等，即PE=PF，且点P在∠AOB的内部。
根据角平分线的判定定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可得射线OP就是∠BOA的平分线，因此选D。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的判定；点到直线的距离
【点评】
本题结合实际操作考查角平分线的判定定理，解题关键是理解直尺的宽度对应点到角两边的距离，要注意区分角平分线的性质和判定，避免二者混淆。
【难度系数】
0.8

4.在$5×5$的正方形网格中，$∠ AOB$的位置如图所示，则到$∠ AOB$两边的距离相等的点应是.(填“C”或“D”)

4. C

【分析】
解题首先要明确考点是角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，反之，到角两边距离相等的点一定在这个角的平分线上。所以本题的核心就是判断C、D两个点哪个在∠AOB的角平分线上。我们结合网格的直观性，观察OA、OB的倾斜角度，可以发现水平方向的射线OC恰好把∠AOB分成两个相等的角，即OC是角平分线，因此位于OC上的C点满足条件，D点不在角平分线上，不满足条件。
【解析】
解：根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，因此我们只需找出落在∠AOB平分线上的点即可。
观察5×5网格中∠AOB的位置：OA向右上方倾斜，OB向右下方倾斜，二者关于过O点的水平射线OC对称，说明OC是∠AOB的角平分线，点C在OC上，因此点C到∠AOB两边的距离相等；点D不在∠AOB的角平分线上，不符合要求。
故应填C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题结合网格考查角平分线性质的应用，解题的关键是理解“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，通过观察网格特征就能快速判断角平分线的位置，进而得到答案。
【难度系数】
0.9

5. (广州模拟)如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.有下列条件：
①∠AOC=∠BOC；②PD=PE；③OD=OE；④∠DPO=∠EPO.
其中能判定OC是∠AOB的平分线的有.(填写序号)

5. ①②③④

【分析】
要判定OC是∠AOB的平分线，核心是证明∠AOC=∠BOC，也可直接利用角平分线的判定定理（角内部到两边距离相等的点在角的平分线上）判断。我们可逐个分析4个已知条件，结合全等三角形的判定和性质，推导是否能得到∠AOC=∠BOC，或满足角平分线判定定理的要求即可。
【解析】
我们逐个分析每个条件：
1. 对于条件①：已知∠AOC=∠BOC，根据角平分线的定义，可直接得出OC是∠AOB的平分线，故①符合要求；
2. 对于条件②：已知PD⊥OA，PE⊥OB，即PD、PE是点P到∠AOB两边的距离，且PD=PE，根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得点P在∠AOB的平分线上，即OC是∠AOB的平分线，故②符合要求；
3. 对于条件③：在$Rt△ ODP$和$Rt△ OEP$中，$\begin{cases}OD=OE\\OP=OP\end{cases}$，根据HL定理可证$Rt△ ODP≌ Rt△ OEP$，由全等三角形对应角相等得∠DOP=∠EOP，即∠AOC=∠BOC，故OC是∠AOB的平分线，③符合要求；
4. 对于条件④：在$△ ODP$和$△ OEP$中，$\begin{cases}∠ ODP=∠ OEP=90°\\∠ DPO=∠ EPO\\OP=OP\end{cases}$，根据AAS定理可证$△ ODP≌△ OEP$，由全等三角形对应角相等得∠DOP=∠EOP，即∠AOC=∠BOC，故OC是∠AOB的平分线，④符合要求。
综上，4个条件都能判定OC是∠AOB的平分线。
【答案】
①②③④
【知识点】
角平分线的判定；全等三角形的判定与性质；HL定理
【点评】
本题是角平分线判定的经典基础题，既考查了角平分线定义、判定定理的直接应用，也考查了通过证明三角形全等推导角相等的转化思路，需要对每个条件逐一验证，避免漏选。
【难度系数】
0.8

6. 如图，$BE=CF$，$DE⊥AB$，交$AB$的延长线于点$E$，$DF⊥AC$于点$F$，且$DB=DC$，求证：$AD$是$∠ BAC$的平分线。

证明:因为 $DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,所以$∠ BED=∠ CFD=90°$,所以$△ BDE$ 与$△ CDF$ 都是直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△ BDE$ 和$\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,$\begin{cases} BD=CD,\\ BE=CF, \end{cases}$
所以 $\mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$,所以 $DE=DF$,所以 $AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线.

【分析】
要证明AD是∠BAC的平分线，可根据角平分线的判定定理，只需证点D到AB、AC的距离DE与DF相等即可。观察图形，DE和DF分别在Rt△BDE和Rt△CDF中，题目已知两个直角三角形的斜边BD=DC、直角边BE=CF，可通过HL判定定理证明两个直角三角形全等，得到DE=DF，即可推出AD是角平分线。
【解析】
第一步：判定△BDE和△CDF为直角三角形
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，△BDE和△CDF均为直角三角形。
第二步：证明两个直角三角形全等
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
$\begin{cases} BD=CD \\ BE=CF \end{cases}$
根据HL判定定理，可得Rt△BDE≌Rt△CDF。
第三步：推导结论
由全等三角形对应边相等得DE=DF，又DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的判定定理，可知AD是∠BAC的平分线。
【答案】
证明:因为 $DE⊥ AB$,$DF⊥ AC$,所以$∠ BED=∠ CFD=90°$,所以$△ BDE$ 与$△ CDF$ 都是直角三角形.
在$\mathrm{Rt}△ BDE$ 和$\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,$\begin{cases} BD=CD,\\ BE=CF, \end{cases}$
所以 $\mathrm{Rt}△ BDE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL})$,所以 $DE=DF$,所以 $AD$ 是$∠ BAC$ 的平分线.
【知识点】
1. HL判定直角三角形全等
2. 全等三角形的性质
3. 角平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，可通过逆推法从待证结论出发逐步推导所需条件，重点考查直角三角形全等的判定和角平分线判定定理的应用，熟练掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8