1. 角平分线的性质定理
角的平分线上的点到角的两边的距离
.

1. 相等

【分析】
本题考查角平分线性质定理的直接应用，解题思路是回忆角平分线性质定理的内容，也可以通过构造全等三角形的方式推导结论：首先在角平分线上任取一点，向角的两边作垂线段，也就是该点到角两边的距离，再通过证明两个直角三角形全等，即可得到两条距离的数量关系。
【解析】
我们可以通过全等证明推导该性质：
设OC为∠AOB的角平分线，点P是OC上任意一点，过P作PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E。
则∠PDO=∠PEO=90°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠DOP=∠EOP，
在△DOP和△EOP中：
$\{\begin{array}{l}∠ PDO=∠ PEO\\ ∠ DOP=∠ EOP\\ OP=OP\end{array} $
∴△DOP≌△EOP（AAS），
∴PD=PE，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
因此横线处应填相等。
【答案】
相等
【知识点】
角平分线的性质定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心考查对教材基础定理的识记与简单推导，难度较低，熟练掌握课本核心定理即可快速解答。
【难度系数】
0.9

2. 角平分线的性质定理的逆定理
角的内部到角的两边距离的点在
角的平分线上。

2. 相等

【分析】
解题时先回忆角平分线的性质定理内容，再根据逆定理的逻辑（将原定理的条件和结论互换）推导逆定理的表述。角平分线的性质定理为“角平分线上的点到角的两边距离相等”，其逆定理需要保留“角的内部”这个适用前提，把条件和结论互换后，即可得到空缺处需要填写的内容。
【解析】
首先回顾角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。
逆定理是将原定理的条件和结论互换，且限定适用范围为角的内部，因此完整表述为：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
因此横线处应填“相等”。
【答案】
相等
【知识点】
角平分线性质的逆定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对教材中角平分线相关定理的识记，只要熟练掌握课本基础定理内容就能准确作答。
【难度系数】
0.9

【例1】如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是高，$DE⊥ AB$于点$E$，$DF⊥ AC$于点$F$. 求证：$DE=DF$.

规律总结 如图，$OC$平分$∠ AOB$，$PD⊥ OA$于点$D$，$PE⊥ OB$于点$E$，$DE$交$OC$于点$F$，可以得到以下结论：
(1)角的相等关系：
$∠ AOC = ∠ BOC = ∠ PDF = ∠ PEF$；
$∠ ODP = ∠ OEP = ∠ DFO = ∠ EFO = ∠ DFP = ∠ EFP$；
$∠ DPO = ∠ EPO = ∠ ODF = ∠ OEF$.
(2)线段的相等关系：
$OD=OE, DP=EP, DF=EF$.

证明:因为 $AB=AC,AD$ 是高，所以 $AD$ 是$△ ABC$ 的角平分线，所以$∠ BAD=∠ CAD$, 又 $DE⊥ AB,DF⊥ AC$,所以 $DE=DF$.

【分析】
要证明DE=DF，观察可知DE、DF分别是点D到∠BAC两边AB、AC的垂线段，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此只需先证明AD是∠BAC的角平分线即可。结合已知条件△ABC中AB=AC，属于等腰三角形，且AD是底边上的高，根据等腰三角形三线合一的性质，可直接推出AD平分顶角∠BAC，满足角平分线性质的应用条件，即可推导得出结论。
【解析】
证明：
∵ $AB=AC$，$AD$ 是$△ ABC$ 的高，
∴ $AD$ 是$△ ABC$ 的角平分线，即$∠ BAD=∠ CAD$，
又
∵ $DE⊥ AB$，$DF⊥ AC$，
∴ $DE=DF$。
【答案】
证明过程如上，可证得$DE=DF$。
【知识点】
1.等腰三角形三线合一
2.角平分线的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题关键是先利用等腰三角形的性质得到角平分线，再结合角平分线的性质即可快速求证，熟练掌握基础几何定理是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8

【变式1】(2025天津模拟)如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，AD平分$∠ BAC$，交BC于点D，$AB=10$，$S_{△ ABD}=15$，则CD的长为（）

A.3
B.4
C.5
D.6

A

【分析】
遇到角平分线相关的线段长度求解问题，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中AD是∠BAC的角平分线，点D在AD上，因此D到AB的距离与D到AC的距离（即CD）相等。已知△ABD的面积和底AB的长度，可先通过三角形面积公式求出AB边上的高（即D到AB的距离），即可得到CD的长度。
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵AD平分∠BAC，∠C=90°（即DC⊥AC），
∴根据角平分线的性质可得：$DE = CD$。
已知$S_{△ABD}=15$，$AB=10$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE=15$
将$AB=10$代入上式：
$\frac{1}{2}×10×DE=15$
解得$DE=3$，
又
∵$DE=CD$，
∴$CD=3$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的核心是通过作辅助线构造点D到AB的垂线段，将所求CD的长度转化为三角形AB边上的高，巧妙运用转化思想简化计算。
【难度系数】
0.8

【变式2】如图，OP平分$∠ AOB$，$∠ AOP=15°$，$PC// OB$，$PD⊥ OB$于点D，$PC=2$，则PD的长为。

1

【分析】
解题时首先关注题干中的角平分线条件，回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此我们可以过点P作PE⊥OA于E，得到PD=PE，只需先求出PE的长度即可。接下来根据角平分线定义由∠AOP=15°算出∠AOB=30°，再结合PC//OB的条件，利用平行线的同位角相等得到∠PCE=30°，最后在直角三角形PCE中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出PE，即可得到PD的长度。
【解析】
解：过点P作PE⊥OA于点E。
∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵OP平分∠AOB，∠AOP=15°，
∴∠AOB=2∠AOP=30°。
∵PC//OB，
∴∠PCE=∠AOB=30°（两直线平行，同位角相等）。
在Rt△PCE中，∠PEC=90°，∠PCE=30°，PC=2，
∴PE=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∴PD=PE=1。
【答案】
1
【知识点】
角平分线的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是通过作辅助线构造特殊直角三角形，再结合角平分线的性质进行等量代换求解，能很好地考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

【例2】如图，P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠PAB=∠PBA.求证:OP平分∠MON.

证明:因为$∠ PAB=∠ PBA$,所以 $PA=PB$.因为 $PA⊥ OM$ 于点 $A$,$PB⊥ ON$ 于点 $B$,所以点 $P$ 在$∠ MON$ 的平分线上，所以 $OP$ 平分$∠ MON$.

【分析】
要证明OP平分∠MON，可借助角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此只需证明点P到OM、ON的距离PA和PB相等即可。已知∠PAB=∠PBA，在△PAB中，根据“等角对等边”的性质可直接推出PA=PB，结合PA⊥OM、PB⊥ON的条件，即可判定点P在∠MON的平分线上，进而得到结论。
【解析】
证明：因为∠PAB=∠PBA，所以PA=PB。因为PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，所以点P在∠MON的平分线上，所以OP平分∠MON。
【答案】
证明:因为$∠ PAB=∠ PBA$,所以 $PA=PB$.因为 $PA⊥ OM$ 于点 $A$,$PB⊥ ON$ 于点 $B$,所以点 $P$ 在$∠ MON$ 的平分线上，所以 $OP$ 平分$∠ MON$.
【知识点】
等角对等边；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础证明题，核心考察等腰三角形判定与角平分线判定的结合应用，解题关键是先通过角相等得到点到角两边的距离相等，再利用角平分线判定定理推导结论，逻辑链条清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

【变式1】如图，P是△ABC内一点，PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，PD=PE，则下列结论一定正确的是

A.点P在∠A的平分线上
B.点P在∠B的平分线上
C.点P在∠C的平分线上
D.点P是∠A,∠B,∠C平分线的交点
( )

B

【分析】
解题时首先回忆角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。接下来分析已知条件：PD⊥AB，说明PD是点P到AB边的距离；PE⊥BC，说明PE是点P到BC边的距离。AB和BC是∠B的两条边，且题目给出PD=PE，满足角平分线判定的条件，即可判断点P的位置。其余选项需要对应距离相等的条件，题目未给出，因此无法成立。
【解析】
根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
已知PD⊥AB，PE⊥BC，因此PD是点P到∠B的边AB的距离，PE是点P到∠B的边BC的距离。
又
∵PD=PE，
∴点P在∠B的平分线上。
要判断点P在∠A的平分线上，需满足PD=PF；要判断点P在∠C的平分线上，需满足PE=PF，题目均未给出相关条件，因此A、C、D结论不一定正确。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定定理
【点评】
本题是角平分线判定定理的基础应用题，解题的核心是准确识别相等的两个距离对应哪个角的两条边，避免混淆不同角的边和对应距离。
【难度系数】
0.8