6. 如图,已知∠A=∠D=90°,E,F在线段BC上,DE与AF相交于点O,且AB=DC,BE=CF.求证:Rt△ABF≌Rt△DCE.

证明:因为$BE=CF$,
所以$BE+EF=CF+EF$,即$BF=CE$.
因为$∠A=∠D=90°$,
所以$△ABF$与$△DCE$都为直角三角形,
在$\mathrm{Rt}△ABF$和$\mathrm{Rt}△DCE$中,$\begin{cases} BF=CE,\\ AB=DC, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ABF≌\mathrm{Rt}△DCE(\mathrm{HL}).$

【分析】
要证明两个直角三角形全等，首先回忆直角三角形全等的判定方法，题目已经给出一组直角边$AB=DC$，若用HL定理判定，还需要证明两个三角形的斜边$BF=CE$。已知$BE=CF$，观察线段$BF$、$CE$的组成，$BF=BE+EF$，$CE=CF+EF$，给相等的$BE$和$CF$同时加上公共线段$EF$，即可得到$BF=CE$，满足HL的判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明:因为$BE=CF$,
所以$BE+EF=CF+EF$,即$BF=CE$.
因为$∠A=∠D=90°$,
所以$△ABF$与$△DCE$都为直角三角形,
在$\mathrm{Rt}△ABF$和$\mathrm{Rt}△DCE$中,$\begin{cases} BF=CE,\\ AB=DC, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ABF≌\mathrm{Rt}△DCE(\mathrm{HL}).$
【答案】
证明:因为$BE=CF$,
所以$BE+EF=CF+EF$,即$BF=CE$.
因为$∠A=∠D=90°$,
所以$△ABF$与$△DCE$都为直角三角形,
在$\mathrm{Rt}△ABF$和$\mathrm{Rt}△DCE$中,$\begin{cases} BF=CE,\\ AB=DC, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△ABF≌\mathrm{Rt}△DCE(\mathrm{HL}).$
【知识点】
1. HL定理
2. 线段和差计算
【点评】
本题属于基础的全等证明题型，解题的核心是先通过线段的和差关系得到全等判定所需的等边，再结合直角三角形特有的HL判定定理完成证明，侧重考察学生对基础定理的掌握和简单的几何推导能力。
【难度系数】
0.8

7. (2025上饶模拟)如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,AD=AC,DE⊥ AB$交$BC$于点$E$,若$∠ B=34°$,则$∠ AEC$的度数为 ()


A.$34°$
B.$56°$
C.$60°$
D.$62°$

7. D

【分析】
解题时先从已知的直角三角形角度条件入手，首先利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数；再观察图形发现有公共斜边AE、相等的直角边AC=AD，可通过HL判定定理证明两个直角三角形全等，得到AE是∠BAC的角平分线，算出∠CAE的度数；最后再在Rt△ACE中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠AEC的度数。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=34°$，
$\therefore ∠ BAC=90°-∠ B=90°-34°=56°$。
$\because DE⊥ AB$，$\therefore ∠ ADE=∠ C=90°$。
在$Rt△ ACE$和$Rt△ ADE$中：
$\begin{cases}AC=AD \\AE=AE\end{cases}$
$\therefore Rt△ ACE≌ Rt△ ADE(HL)$，
$\therefore ∠ CAE=∠ DAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×56°=28°$。
在$Rt△ ACE$中，$∠ AEC=90°-∠ CAE=90°-28°=62°$。
【答案】
D
【知识点】
HL判定直角三角形全等；直角三角形两锐角互余；全等三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算类题型，核心是通过全等三角形得到角的等量关系，再结合直角三角形的角度性质求解，解题关键是准确识别全等的直角三角形，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7

8. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ C=90°,BC=3$, $AC=4$,线段 $PQ=AB=5$,$P,Q$ 两点分别在线段 $AC$ 和过点 $A$ 且垂直于线段 $AC$ 的射线 $AX$ 上运动.若以 $A,P,Q$ 为顶点的三角形与 $△ ABC$ 全等,则 $AP=$ .

8. 3或4

【分析】
首先观察图形可知∠C和∠PAQ都是直角，所以△ABC和△APQ都是直角三角形，且已知斜边PQ=AB。根据直角三角形全等的HL判定定理，只要再有一组直角边对应相等，两个三角形就全等。接下来分两种情况讨论对应边：①AP与BC是对应边；②AP与AC是对应边，分别计算AP的长度即可，注意不要漏解。
【解析】
解：
∵AX⊥AC，
∴∠PAQ=90°，
∴∠PAQ=∠C=90°，即△ABC和△APQ均为直角三角形，
又已知PQ=AB=5，分两种情况讨论：
1. 当AP=BC=3时，
在Rt△APQ和Rt△CBA中，
$\{\begin{array}{l}AP=BC\\ PQ=AB\end{array} $
∴Rt△APQ≌Rt△CBA（HL），符合题意；
2. 当AP=AC=4时，
在Rt△APQ和Rt△CAB中，
$\{\begin{array}{l}AP=AC\\ PQ=AB\end{array} $
∴Rt△APQ≌Rt△CAB（HL），符合题意；
综上，AP的长为3或4。
【答案】
3或4
【知识点】
直角三角形全等的判定，分类讨论思想
【点评】
本题考查直角三角形全等的判定，解题的关键是明确全等时对应边的两种可能情况，避免因漏解导致错误。
【难度系数】
0.7

9.如图,在△ABC中,OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F,且OE=OF.
(1)如图1,当O为BC的中点时,求证: AB=AC;
(2)如图2,当点O在△ABC内部,且OB=OC时,试判断线段AB与AC的数量关系,并说明理由.

解:(1)因为$OE⊥AB,OF⊥AC$,
所以$∠BEO=∠CFO=90°$.
因为$O$为$BC$的中点,所以$BO=CO$.
在$\mathrm{Rt}△BOE$和$\mathrm{Rt}△COF$中,$\begin{cases} BO=CO,\\ OE=OF, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△BOE≌\mathrm{Rt}△COF(\mathrm{HL}),$
所以$∠B=∠C$,所以$AB=AC$.
(2)$AB=AC$. 理由如下：
因为$OB=OC$,所以$∠OBC=∠OCB$.
在$\mathrm{Rt}△BOE$和$\mathrm{Rt}△COF$中,$\begin{cases} BO=CO,\\ OE=OF, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△BOE≌\mathrm{Rt}△COF(\mathrm{HL}),$
所以$∠OBE=∠OCF$,
所以$∠OBE+∠OBC=∠OCF+∠OCB$,即$∠ABC=∠ACB$,
所以$AB=AC.$

【分析】
(1)要证明AB=AC，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，只需证明∠B=∠C。已知OE⊥AB、OF⊥AC可得两个直角相等，结合O是BC中点得BO=CO，再加上已知OE=OF，可利用HL证明Rt△BOE≌Rt△COF，由全等三角形对应角相等得到∠B=∠C，即可推出AB=AC。
(2)判断AB=AC，依然要证∠ABC=∠ACB。首先由OB=OC可得∠OBC=∠OCB，再通过HL证明Rt△BOE≌Rt△COF，得到∠OBE=∠OCF，将两组等角相加即可得到∠ABC=∠ACB，进而推出AB=AC。
【解析】
(1)因为$OE⊥AB,OF⊥AC$，
所以$∠BEO=∠CFO=90°$。
因为$O$为$BC$的中点，所以$BO=CO$。
在$\mathrm{Rt}△BOE$和$\mathrm{Rt}△COF$中，$\begin{cases} BO=CO,\\ OE=OF, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△BOE≌\mathrm{Rt}△COF(\mathrm{HL}),$
所以$∠B=∠C$，所以$AB=AC$。
(2)$AB=AC$。理由如下：
因为$OB=OC$，所以$∠OBC=∠OCB$。
在$\mathrm{Rt}△BOE$和$\mathrm{Rt}△COF$中，$\begin{cases} BO=CO,\\ OE=OF, \end{cases}$
所以$\mathrm{Rt}△BOE≌\mathrm{Rt}△COF(\mathrm{HL}),$
所以$∠OBE=∠OCF$,
所以$∠OBE+∠OBC=∠OCF+∠OCB$，即$∠ABC=∠ACB$,
所以$AB=AC$。
【答案】
(1)AB=AC，证明成立；(2)$AB=AC$
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题核心考查直角三角形全等的HL判定方法、全等三角形的性质以及等腰三角形的判定，解题的关键是通过已知条件找到全等三角形的判定条件，借助全等转化角的相等关系，最终推导得到边的数量关系，是巩固三角形全等和等腰三角形相关知识的典型习题。
【难度系数】
0.7