【变式1】如图，$∠ C=∠ D=90°$，只添加下列条件中的一个：①$AC=AD$；②$∠ ABC=∠ ABD$；③$∠ BAC=∠ BAD$；④$BC=BD$. 能判定$△ ABC ≌ △ ABD$的条件的个数是（）

A.1
B.2
C.3
D.4

【变式1】 D

【分析】
首先明确已知条件：$△ ABC$和$△ ABD$均为直角三角形，$∠ C=∠ D=90°$，且$AB$是两个三角形的公共斜边，即$AB=AB$。判定两个三角形全等既可以使用普通三角形的全等判定定理（AAS、ASA、SAS、SSS），也可以使用直角三角形特有的HL判定定理，我们只需逐个验证4个添加条件是否符合某一判定定理即可。
【解析】
已知$∠ C=∠ D=90°$，$AB=AB$（公共边）：
1. 添条件①$AC=AD$：在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ ABD$中，斜边$AB=AB$，直角边$AC=AD$，符合HL判定定理，可判定$△ ABC ≌ △ ABD$；
2. 添条件②$∠ ABC=∠ ABD$：在$△ ABC$和$△ ABD$中，$∠ C=∠ D$，$∠ ABC=∠ ABD$，$AB=AB$，符合AAS判定定理，可判定$△ ABC ≌ △ ABD$；
3. 添条件③$∠ BAC=∠ BAD$：在$△ ABC$和$△ ABD$中，$∠ C=∠ D$，$∠ BAC=∠ BAD$，$AB=AB$，符合AAS判定定理，可判定$△ ABC ≌ △ ABD$；
4. 添条件④$BC=BD$：在$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ ABD$中，斜边$AB=AB$，直角边$BC=BD$，符合HL判定定理，可判定$△ ABC ≌ △ ABD$。
综上，4个条件都可以判定全等。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定；直角三角形全等判定
【点评】
本题考查全等三角形的判定，解题时要注意挖掘题目隐含的公共边相等的条件，熟练掌握普通三角形和直角三角形的全等判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8

【变式2】(昆明模拟)如图,在$△ ABC$中,$CE⊥ AD$,$BF⊥ AD$,垂足分别为$E$,$F$.
(1)能证明$△ BDF$和$△ CDE$全等吗?为什么?
(2)若不能证明$△ BDF$和$△ CDE$全等,在不增加辅助线的情况下,请添加一个适当的条件,使这两个三角形全等,这个条件是,写出证明过程.

【变式2】 解:(1)不能证明$△BDF≌△CDE$. 理由如下：
因为$CE⊥AD,BF⊥AD$,所以$∠BFD=∠CED=90°$.
因为$∠BDF=∠CDE$,所以$∠ECD=∠FBD$,
因为角角无法得到三角形全等，
故不能证明$△BDF≌△CDE$.
(2)(答案不唯一)添加条件为:$BD=CD$.
在$△BDF$和$△CDE$中,$\begin{cases} ∠BFD=∠CED=90°,\\ ∠BDF=∠CDE,\\ BD=CD, \end{cases}$
所以$△BDF≌△CDE(\mathrm{AAS}).$

【分析】
（1）要判断两个三角形是否全等，首先回忆三角形全等的判定定理：所有判定定理都要求至少有一组对应边相等。先梳理已知条件：由$CE⊥AD$、$BF⊥AD$可得$∠BFD=∠CED=90°$，再加上对顶角$∠BDF=∠CDE$，仅得到两组角对应相等，没有对应边相等的条件，不满足全等判定要求，因此无法证明两个三角形全等。
（2）目前已有两组角对应相等，只需补充一组对应边相等即可满足AAS或ASA的全等判定条件，可选的条件有$BD=CD$、$BF=CE$、$DF=DE$等，选择最直观的$BD=CD$为例进行证明即可。
【解析】
(1) 不能证明$△ BDF≌△ CDE$，理由如下：
$\because CE⊥ AD$，$BF⊥ AD$，$\therefore ∠ BFD=∠ CED=90°$，
又$\because ∠ BDF$与$∠ CDE$是对顶角，$\therefore ∠ BDF=∠ CDE$，
此时仅存在两组角对应相等，无对应边相等的条件，不符合三角形全等的判定规则，故无法证明$△ BDF≌△ CDE$。
(2) 添加条件：$BD=CD$（答案不唯一），证明过程如下：
在$△ BDF$和$△ CDE$中：
$\begin{cases}∠ BFD=∠ CED=90°, \\∠ BDF=∠ CDE, \\BD=CD,\end{cases}$
$\therefore △ BDF≌△ CDE(\mathrm{AAS})$。
【答案】
(1) 不能证明$△ BDF≌△ CDE$，理由见解析；
(2) $BD=CD$（答案不唯一），证明见解析。
【知识点】
全等三角形的判定、垂直的性质、对顶角的性质
【点评】
本题考查全等三角形的判定，需牢记全等三角形的判定必须包含至少一组对应边相等的条件，开放性补充条件的问题只需满足判定定理要求即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.7

1. 如图，$AC=BC$，$AC⊥OA$，$BC⊥OB$，则$\mathrm{Rt}△ AOC ≌ \mathrm{Rt}△ BOC$的依据是（）

A.SSS
B.ASA
C.SAS
D.HL

1. D

【分析】
解题时首先从已知的垂直关系入手，可判断出△AOC和△BOC都是直角三角形；再结合已知AC=BC，且两个三角形有公共边OC（为两个直角三角形的斜边），回忆直角三角形全等的判定方法，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL），即可对应找到判定依据。
【解析】
∵$AC⊥OA$，$BC⊥OB$，
∴$∠ A=∠ B=90°$，即$\mathrm{Rt}△ AOC$和$\mathrm{Rt}△ BOC$均为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ AOC$和$\mathrm{Rt}△ BOC$中：
$\begin{cases}AC=BC \\OC=OC\quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ AOC ≌ \mathrm{Rt}△ BOC$的依据是HL，故选D。
【答案】
D
【知识点】
HL判定定理，垂直的定义
【点评】
本题是基础题，重点考查直角三角形全等的HL判定定理，解题时需注意HL仅适用于直角三角形的全等判定，先确定三角形为直角三角形，再对应边的相等条件即可快速得到答案。
【难度系数】
0.9

2. 如图，已知$∠ C=∠ C'=90°$，要用“HL”判定$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$全等的条件是
（）

A.$AC=A'C'$，$BC=B'C'$
B.$∠ A=∠ A'$，$AB=A'B'$
C.$AC=A'C'$，$AB=A'B'$
D.$∠ B=∠ B'$，$BC=B'C'$

2. C

【分析】
首先明确“HL”判定定理的内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。本题中已知两个三角形都是直角三角形，直角顶点为C和C'，因此两个三角形的斜边分别是AB、A'B'，直角边分别是AC、BC和A'C'、B'C'。要使用HL判定全等，需要满足一组斜边相等+一组对应直角边相等的条件，接下来逐一分析选项即可找到正确答案。
【解析】
“HL”判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
已知$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$的直角顶点为C、C'，因此斜边为AB、A'B'，直角边为AC、BC、A'C'、B'C'。
对各选项逐一判断：
A. $AC=A'C'$，$BC=B'C'$，是两组直角边对应相等，属于SAS判定，不符合HL要求；
B. $∠ A=∠ A'$，$AB=A'B'$，是一组角+斜边对应相等，属于AAS判定，不符合HL要求；
C. $AC=A'C'$（直角边对应相等），$AB=A'B'$（斜边对应相等），完全符合HL的判定条件；
D. $∠ B=∠ B'$，$BC=B'C'$，是一组角+直角边对应相等，属于ASA判定，不符合HL要求。
【答案】
C
【知识点】
HL判定定理，直角三角形全等判定
【点评】
本题重点考查HL判定定理的适用条件，要注意HL是直角三角形特有的全等判定方法，使用时需准确区分直角边和斜边，不要和一般三角形的全等判定方法混淆。
【难度系数】
0.8

3.如图，$∠ C=90°$，M是BC上一点，过点M作$MD ⊥ AB$于点D，且$MC=MD$，如果$AC=8$，$AB=10$，那么BD的长度为（）


A.8
B.2
C.10
D.6

3. B

【分析】
解题时先观察已知条件，已知∠C=90°，MD⊥AB可得∠ADM=90°，又给出MC=MD，且AM是Rt△ACM和Rt△ADM的公共斜边，可先通过HL定理证明这两个直角三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到AD=AC，再结合AB的长度，用AB减去AD即可求出BD的长度。
【解析】
解：
∵MD⊥AB，
∴∠ADM=∠C=90°，
在Rt△ACM和Rt△ADM中：
$\{\begin{array}{l}AM=AM\quad(\mathrm{公共边})\\MC=MD\quad(\mathrm{已知})\end{array} $
∴Rt△ACM≌Rt△ADM（HL），
∴AD=AC=8，
∵AB=10，
∴BD=AB-AD=10-8=2。
故选：B。
【答案】B
【知识点】
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质；线段和差计算
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查直角三角形全等的HL判定方法及全等三角形的性质，解题的突破口是找到两个全等的直角三角形，得出AD与AC的等量关系，再结合已知线段长计算即可。
【难度系数】
0.8

4.(大连模拟)如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，BE=CF，若要依据“HL”证明△BAE≌△CDF，则需添加的一个条件是。

4. AB=CD

【分析】
要使用“HL”证明两个直角三角形全等，首先明确“HL”的判定规则：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。解题思路如下：第一步先确定两个三角形是直角三角形，由AE⊥BC、DF⊥BC可得△BAE和△CDF都是直角三角形；第二步梳理已知相等的边，已知BE=CF，这是一组直角边对应相等；第三步对照HL的判定要求，还缺少斜边对应相等的条件，△BAE的斜边为AB，△CDF的斜边为CD，因此添加AB=CD即可满足HL的判定条件。
【解析】
解：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠AEB=∠DFC=90°，即△BAE和△CDF均为直角三角形。
已知BE=CF，这是一组直角边对应相等，根据“HL”判定定理，要证明两个直角三角形全等，还需要斜边对应相等，即添加AB=CD。
在$\mathrm{Rt}△ BAE$和$\mathrm{Rt}△ CDF$中：
$\begin{cases} AB=CD \\ BE=CF \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ BAE≌\mathrm{Rt}△ CDF$（HL）。
【答案】
AB=CD
【知识点】
HL判定定理，垂直的定义
【点评】
本题是对直角三角形全等判定方法的基础考查，解题关键是牢记HL仅适用于直角三角形，且需要斜边和一条直角边两组边对应相等，结合已知条件推导缺失的对应边即可。
【难度系数】
0.8

5. 如图,有两个长度相同的滑梯(即 $BC=EF$),左边滑梯的高度 $AC$ 与右边滑梯水平方向的长度 $DF$ 相等,若 $∠ ABC=25°$,则 $∠ DFE$ 的度数为 .

5. 65°

【分析】
首先观察图形可知，△ABC和△DEF都是直角三角形，已知两个滑梯长度相等即斜边BC=EF，左边滑梯高度AC与右边滑梯水平长度DF相等即一组直角边相等，因此可先用HL定理判定两个直角三角形全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DEF的度数，最后利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠DFE的度数。
【解析】
∵AC⊥AB，ED⊥DF，
∴∠BAC=∠EDF=90°，即△ABC和△DEF均为直角三角形。
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
$\{\begin{array}{l} BC=EF\\ AC=DF\end{array} $
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。
∴∠DEF=∠ABC=25°。
在Rt△DEF中，∠EDF=90°，
∴∠DFE=90°-∠DEF=90°-25°=65°。
【答案】
65°
【知识点】
直角三角形全等的判定，全等三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是结合题意找到全等的条件，先证明直角三角形全等，再利用直角三角形的内角性质计算角度，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8